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1、,3.1 函数的单调性与极值,3.2 极值的几何应用,3.3 边际与弹性,学习目标,教学建议,第三章 导数的应用,3.4 极值的经济应用,3.5 曲线凹凸与拐点,一.函数的单调性,二.函数的极值,3.1 函数的单调性与极值,一. 函数的单调性,设函数 在区间 上有定义，若对于 中的任意两点 和 ,当 时，总有,则称 在 上单调增加.,(1) 若 ,由 知,倾角为锐角,在 处,曲线是上升的,函数 随 增加而增加.,在1.1中,在2.1中,导数的几何意义,在1.1中,在2.1中，导数的几何意义,设函数 在区间 上有定义，若对于 中的任意两点 和 ,当 时，总有,则称 在 上单调减少.,(2) 若
2、,由 知,倾角为钝角,在 处,曲线是下降的,函数 随 增加而减少.,由单调性的判定法则,定理3.1 在函数 可导的区间 内:,(1) 若 , 则函数 单调增加;,(2) 若 , 则函数 单调减少.,解,练习1,函数 的定义域是 因,可知在 内,说明,在函数 可导的区间 内, 是函数,在区间 内单调增加(减少)的充分条件,而非必要条件.,例如,函数 在区间 内是单调增加的,而,此例说明,函数 在区间 内单调增加(减少)时,在个别点 处,可以有,结论,在函数 的可导区间 内,若,或 ,而等号仅在一些点处成立,则函数,在区间 内单调增加或单调减少.,(1)确定函数 的定义域;,(2)求导数 由 确定
3、函数的驻点. 驻点将定义域分成部分区间;,(3)判定函数的增减区间: 考察导数 在各个部分区间内的正负号,便知函数 在各个部分区间内的增减性.,解,(1)函数的定义域是,(2)求导数并确定函数的驻点:,(3)判定函数的增减区间:驻点 将函数的定,义域分成三个部分区间:,在区间 内,函数 单调增加;,在区间 内,函数 单调减少;,在区间 内,函数 单调增加.,二. 函数的极值,定义3.1 设函数 在点 及其左右邻近有定义, 是其中的任一点,但,极大值点,极小值点,极大值点,不是极值点,函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点; 函数的极大值与极小值统称为函数的极值.,均为驻点,若函数 在 可导
4、,且有极值,则一定有,注意:,函数 的驻点却不一定是其极值点.,但 却不是其极值点.,即对可导函数 而言,它的极值点 一定是其驻点.,如, 对函数,上页图中的,那么,究竟哪些点一定是极值点呢?,定理3.2 设函数 在 及其左右邻近可导:,则 是函数 的极大值点.,而在 的右侧邻近,而在 的右侧邻近,则 是函数 的极小值点.,(2) 若在 的左侧邻近,(1) 若在 的左侧邻近,(1)确定函数的定义域;,(2)求导数 由 确定函数的驻点. 驻点将定义域分成部分区间;,(4)求出极值:若函数有极值点 ,求出相应的函数值 , 这就是函数的极值.,对可导函数,解,(1)函数的定义域是,(2)求导数并确定函数的驻点:,练习3,极大值,极小值,解,(1)函数的定义域是,(2)求导数并确定函数的驻点:,练习4,极小值,非极值,