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1、,1 一元函数微分学,1 函数极限的几何解释 2 函数的左极限 3 x 时的极限 4 x+ 时的极限 5 数列的极限 6 无穷大 7 函数的连续性 8 导数的几何意义 9 微分的几何意义,10,17 弧微分ds的几何意义,对函数进行全面讨论并画图：,y = x 2arctan x,11,12,13,14,15,16,主 目 录（1 18）,18 曲率,x,y,0,f (x),A,当,该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,1. 函数的极限,A的邻域, x0的空心 邻域,A+,A,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x的
2、纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域,
3、x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域,当, x0的空心 邻域,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域,当, x0的空心 邻域,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,几何上：函数有极限等价于这种 邻域与空心 邻域之间存在着无限的对
4、应.,1. 函数的极限,因此，函数的极限定义也称函数极限的 定义,.,f (x),该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应的点(x,f(x)落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,f (x),A,该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.,2. 函数的左极限,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A+,A,A,f (x),2. 函数的左极限,.,该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A,f (x),2. 函数的左极限,.,该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A,f
5、(x),2. 函数的左极限,.,该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A,f (x),函数有左极限等价于,这种邻域与左半邻域存在着无限的对应.,2. 函数的左极限,.,几何上：,该邻域内所有点x对应的曲线上的点落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,f (x),A,N, N,其相应的曲线上的点,落在绿色区域内.,3. x 趋于无穷大时的极限,A的邻域, N 0,A+,A,对满足 |x| N 的一切点 x,f (x),N, N,A,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,
6、落在绿色区域内.,f (x),N, N,A,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,此类极限定义也称函数极限的 N定义,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,N,其相应的曲线上的点 落在绿色区域内.,4. x 趋于正无穷大时的极限,对满足 x N的一切
7、点 x,( f (x) A的情况),f (x),A,N,.,4. x 趋于正无穷大时的极限,对满足 x N的一切点 x,( f (x) A的情况),其相应的曲线上的点 落在绿色区域内.,f (x),A,N,.,( 一般情况),4. x 趋于正无穷大时的极限,对满足 x N的一切点 x,其相应的曲线上的点 落在绿色区域内.,当 x = n, 则,相应的点都落在绿色区域内,n,f(n),A,N,1,2,3,N+1,N+2,5. 数列的极限,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,当 x = n, 则,A,N,1,2,3,N+1,N+2,5. 数列的极限,.,相应的点都落在绿色区域内,对一切 n N,
8、自然数 N,A的邻域,当 x = n, 则,A,N,1,2,3,N+1,N+2,5. 数列的极限,.,相应的点都落在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,当 x = n, 则,A,1,2,3,N+1,N+2,.,相应的点都落在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,5. 数列的极限,当 x = n, 则,A,1,2,3,N+1,N+2,因此，数列的极限定义也称数列极限的 N定义,.,相应的点都落在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,5. 数列的极限,f (x),M,M,该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.,6. 无穷大,M 0，, 0，,当 0 |
9、x x0| M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),6. 无穷大,.,y,该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),6. 无穷大,.,y,该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),M,M,6. 无穷大,.,该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),M,M,6. 无穷大,因此，无穷大的定义也称无穷大的M
10、 定义,.,该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内,问题：函数在点x0连续与存在极限的区别？,1 x=x0必须取到,.,7. 函数的连续性,2 A= f (x0),f (x0),f (x0)+,f (x0),并且A= f (x0),f (x)在x0连续,y = f (x),M,x,N,y,.,.,x0,令x0,8. 导数的几何意义,y = f (x),M,x,N,y,x0,令x0,8. 导数的几何意义,.,y = f (x),M,= tan,.,.,x
11、0,令x0,.,8. 导数的几何意义,.,M,N,.,f (x),dy,x,微分是函数的局部线性化,.,用切线增量近似曲线增量,dy,dy =,在图上是哪条线段？,=tan x,9. 微分的几何意义,即：,.,y,问题：何时dy y ?,x,y,o,dy,x,用切线增量近似曲线增量,dy, y,9. 微分的几何意义,.,dy y,微分是函数的局部线性化,哪条线段是dy ？,.,列表,曲线过点(0,0),1,2,(1, 2),0,0,+,x,y,y,+,驻点：x =1,x =2,10. 函数作图,极大值,(拐点),故 y = 0为水平渐近线,因,图形：,1,渐进线 ：y = 0,(0,0),2,
12、.,10.,.,(x +),列表,.,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 x =0,0(拐点),+,+,因,（牛顿三叉戟线）,0,0,+,+,3极小值,+,11.,0,.,间断点,3,牛顿三叉戟线,11.,.,列表,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 y =0，,因,+,+,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0(拐点),间断点,间断点,+,及 x =1，x = 1,x = 0,12.,1,1,12.,.,列表,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 y = ,0,0最小值,+,因,图形关于y轴对称.,=
13、 2, 0, 0,= 2,.,.,arctan2,13.,.,对函数进行全面讨论并画图：,列表,+,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,(在定义域内),所以，曲线有渐近线 y =1及 x =-1,1,0最小值,+,+,因,+, 0,1,14.,1,1,1,渐进线 y =1,(1,0),渐进线 y =1,图形:,.,14.,列表,.,解,故曲线有渐近线 y =x+ 和 y =x.,因,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0(拐点),极大值,极小值,+,+,0,0,+,.,.,对函数进行全面讨论并画图:,y = x 2arctan x,x = 0,15.,1,
14、1,y = x 2arctan x,15.,.,对函数进行全面讨论并画图:,列表,+,0,解,无实根,所以，曲线有渐近线,1极大值,因,函数是周期函数，,而且是偶函数。,周期为2 ；,只须讨论,0,0,+,1极小值,.,对函数进行全面讨论并画图:,x = 0, ,16.,.,1,3,2,由对称性,由周期性,16.,.,对函数进行全面讨论并画图:,1,3,2,由对称性,由周期性,16.,.,-3,对函数进行全面讨论并画图:,M,N,.,f (x),用切线长ds近似曲线长s,s,s=s(x),A,B,.,dy,ds,s,dx,= s,17. 弧微分ds的几何意义,例如，铁轨的曲率就是个关键问题：,18. 曲率,曲线弯曲的程度,18. 曲率,曲线弯曲的程度,.,再看同一条曲线,M1,M2,M3,18. 曲率,曲线弯曲的程度,.,M1,M2,M3,18. 曲率,曲线弯曲的程度,.,M1,M2,M3,1 与切线转角成正比,18. 曲率,曲线弯曲的程度,.,A,B,B,1 与切线转角成正比,S,2 与曲线弧长S成反比,S,故定义曲线AB平均曲率,.,.,.,曲线弯曲的程度,18. 曲率,.,=,.,A,谢谢使用,返回首页,.,