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1、1直线与平面、平面与平面之间的相对位置直线与平面、平面与平面之间的相对位置直线与平面平行、平面与平面平行直线与平面平行、平面与平面平行直线与平面相交、平面与平面相交直线与平面相交、平面与平面相交直线与平面垂直、平面与平面垂直直线与平面垂直、平面与平面垂直基本要求基本要求2基本要求基本要求（一）平行问题（一）平行问题 1 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2 熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1 熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面熟练掌握特殊位置
2、线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线 （其中一平面的投影具有积聚性）。（其中一平面的投影具有积聚性）。 2 熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。握一般位置面、面相交求交线的作图方法。 3 掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方法。3基本要求基本要求（三）垂直问题（三）垂直问题 掌握线面垂、直，面、面垂直的投影特性及掌握线面垂、直，面、面垂直的投影特性及作图方法。作图方法。（四）点、线、面综合题（四）点、
3、线、面综合题 1 熟练掌握点、线、面的基本作图方法；熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2 能对一般画法几何综合题进行空间分析，能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。了解综合题的一般解题步骤和方法。4直线与平面平行、平面与平面平行一、直线与平面平行一、直线与平面平行几何条件：几何条件：若平面外的一条直线与平面内的若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线判别已知线面是
4、否平行；作直线与已知平面平行；包含面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。已知直线作平面与另一已知直线平行。 例题例题1 1 例题例题2 25直线与平面平行、平面与平直线与平面平行、平面与平 面平行面平行二、平面与平面平行二、平面与平面平行几何条件：几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。平行。这是两平面平行的作图依据。有关平面与面平行的作图问题有：有关平面与面平行的作图问题有：判别两已知判别两已知平面是否相互平行；过一点
5、作一平面与已知平平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。投影。 例题例题3 3 例题例题4 4 例题例题5 56若一直线平行于属于定平面的一若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行。直线，则该直线与平面平行。PCDBA一、直线与平面平行一、直线与平面平行7fgfgbaabcededc结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面。不平行于定平面。例题例题1 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面CDE。8baaffbcededkkc例题例题2 试过点试过点K作水平线作水平线AB平行于
6、平行于CDE平面。平面。9若属于一平面的相交两直线对应平行于属于若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行。另一平面的相交两直线，则此两平面平行。PSEFDACB二、平面与平面平行二、平面与平面平行10fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行例题例题3 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。11emnmnfefsrsrddcaacbbkk例题例题4 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定，给定，试过点试过点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。12结论：两平面平行结论：两平面平行efefsr
7、sddcaacbbrPHSH例题例题5 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。13直线与平面相交、平面与平面相交直线与平面相交、平面与平面相交一、一、直线与平面相交的特点直线与平面相交的特点二、二、平面与平面相交的特点平面与平面相交的特点三、三、直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交四、四、一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交五、五、直线与一般位置平面相交直线与一般位置平面相交六、六、两一般两一般位置位置平面相交平面相交14P直线与平面相交只有一个交点，直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。它是直线与平面的共有点。BKA一、直线与平面相交的特点
8、一、直线与平面相交的特点15MBCA二、平面与平面相交的特点二、平面与平面相交的特点FKNL两平面的交线是一条直线，这两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面的共有线。条直线为两平面的共有线。求线面交点、面面交线的实质：求线面交点、面面交线的实质：就是求共有点、共有线的投影。就是求共有点、共有线的投影。 16三、特殊位置线面相交三、特殊位置线面相交特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面特殊位置线面相交，其交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。的积聚性投影直接求出。（l）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚）当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线
9、与平面积聚性投影的交性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。（2）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位）当直线的某个投影具有积聚性，平面为一般位置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另置时，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个一个投影可利用在平面上找点的方法在平面的另一个投影上得到。投影上得到。 直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 判断直线的可见性判断直线的可见性17bbaaccmmnn直线与直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于由
10、于特殊位置特殊位置平面的某些投影有平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。积聚性，交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk18判断直线的可见性判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMbbaaccmmnkkn特殊位置线面相交，根据平面的积聚特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。性投影，能直接判别直线的可见性。 19四、一般位置平面与四、一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题共有点的问题, ,由于由于特殊位置特殊位置平面的某平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。些投影
11、有积聚性，交线可直接求出。 一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交 判断平面的可见性判断平面的可见性20nlmmlnbaccabfkfkVHMmnlPBCacbPHkfFKNL一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交21判断平面的可见性判断平面的可见性VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfk结 果22判断平面的可见性判断平面的可见性bbacnlmcmalnfkfkVHMmnlBCackfFKNL23五、直线与一般五、直线与一般位置位置平面相交平面相交一般位置线、面相交由于直线和平面的投影都没有一般位置线、面相交由于直线和平面的投
12、影都没有积聚性，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通积聚性，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平面法求一般位置线面的交点。一般常要采用辅助平面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的步骤：位置线、面相交求交点的步骤：（l l）含已知直线作特殊位置辅助平面；）含已知直线作特殊位置辅助平面；（2 2）求辅助平面与已知平面的交线；）求辅助平面与已知平面的交线；（3 3）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点判别可见性判别可见性
13、24ABCQ过过MN作平面作平面Q垂直于垂直于V投影面投影面EF以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点25feefbaacbc12以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：步骤：1、过、过EF作正作正垂面垂面Q。2、求、求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3、求交线、求交线与与EF的交点的交点K。26CAB过过MN作作平面平面P垂直于垂直于H投影面投影面FEP以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点2712以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点PH1feefbcaacb步骤：步骤：1、过、过EF作铅作铅垂面垂面
14、P。2、求、求P平面与平面与ABC的交线的交线。3、求交线、求交线与与EF的交的交点点K。kk228利用重影点判别可见性( )feefbaacbc12432134（ ）kk直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性相交，判别可见性29HVabcceaABbCFEffkKke直线直线EF与平面与平面ABC相交，判别可见性示意图相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利用重影点判别可见性30六、两一般位置平面相交六、两一般位置平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个共有求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题点的问题, , 因而可利用求一般位置线面交点因而可利用求一般位置线面交点的方
15、法找出交线上的两个点，将其连线即为的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两平面的交线。求两一般位置平面的交线求两一般位置平面的交线判别可见性判别可见性例题例题6 631求两一般位置平面的交线求两一般位置平面的交线利用求一般位置线面交利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两个点，将其连线即为两平面的交线。两平面的交线。MBCAFKNL32步骤：步骤：1、用直线与、用直线与平面求交点的平面求交点的方法求出两平方法求出两平面的两个共有面的两个共有点点K、E。求两一般位置平面的交线求两一般位置平面的交线baccballnmmnPVQV1221kk
16、ee2、连接两个、连接两个共有点，画出共有点，画出交线交线KE。33利用重影点判别可见性两一般位置平面相交，判别可见性两一般位置平面相交，判别可见性baccballnmmnkeek3 4 ( )3 4 21(2 )1 34acbacbfeefkk例题例题6 试过试过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线并与直线EF相交。相交。35FPCABEKH分析：过已知点分析：过已知点K作平面作平面P平行平行于于 ABC；平面；平面P与直线与直线EF交于交于H；连接；连接KH，KH即为所求。即为所求。36mnhhnmffacbacbeekkPV11221 、 过 点、 过 点
17、K 作 平 面作 平 面KMN/ ABC平面。平面。2、过直线、过直线EF作正垂作正垂平面平面P。3、求平面、求平面P与平面与平面KMN的交线的交线。4、求交线、求交线 与与EF的交点的交点H。5、连接、连接KH，KH即即为所求。为所求。作图步骤作图步骤37直线与平面垂直、平面与平面垂直直线与平面垂直、平面与平面垂直一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 几何条件几何条件 定理定理1 定理定理2 例题例题7 例题例题8 例题例题9 例题例题10二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 几何条件几何条件 例题例题11 例题例题12 例题例题1338VHPAKLDCBE直线与平面垂直的几何条件：直线与平
18、面垂直的几何条件：若一直线垂直于一若一直线垂直于一平面内的两条相交直线，则该直线必垂直于该平平面内的两条相交直线，则该直线必垂直于该平面。面。39定理定理1 1：若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeklkl40定理定理2（逆）：（逆）：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；正面投影垂直于属
19、于平面的正平线的正平线的水平投影；正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。面投影，则直线必垂直于该平面。acacllkfdbdbfkVPAKLDCBEH41例题例题7 平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面的法线。作平面的法线。acacnnkfdbdbfk42hh例题例题8 试过定点试过定点K作特殊位置平面的法线。作特殊位置平面的法线。hhhhkkSVkkPVkkQH43例题例题9 平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是是否垂直于定平面。否垂直于定平面。efemnmncaadbcdbf结论：结论：MN不不垂直于定平
20、面垂直于定平面44平面与平面垂直的几何条件平面与平面垂直的几何条件若一直线垂直于一若一直线垂直于一定平面，则包含这定平面，则包含这条直线的所有平面条直线的所有平面都垂直于该平面。都垂直于该平面。AD45反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面所作的垂线必属于第一个平面。一点向第二个平面所作的垂线必属于第一个平面。AD两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直AD平面与平面垂直的几何条件平面与平面垂直的几何条件46g例题例题12 平面由平面由BDF给定，试过定点给定，试过定点K作已知作已知平面的垂面。平面的垂面。hacachkkfdbdbfg47例题例题13 试判断试判断ABC与由两相交直线与由两相交直线KG和和KH所所给定的平面是否垂直。给定的平面是否垂直。ghachackkbbgffdd结论：因为结论：因为AD直线不在直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂平面上，所以两平面不垂直。直。48例题例题14 试过定点试过定点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF正交。正交。aefafe49EQ分析：过已知点分析：过已知点A作平面与已知直线作平面与已知直线EF垂直相交于垂直相交于点点K，连接，连接AK，AK即为所求。即为所求。FAK50作图过程作图过程21aefafe1221PVaefafe12kk