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1、 小结与复习第11章 数的开方要点梳理考点讲练课堂小结课后作业八年级数学上（HS） 教学课件一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质 概 念表示主要性质平方根 算术平方根 立方根 若 ，则x叫做a的平方根. 2(0)xa aa正数有两个平方根，互为相反数0的平方根是0.负数没有平方根.若 则x的非负数值 叫做a的算术平方根. 2(0)xa aa非负性：当a 0时， 0.a若 ，则x叫做的立方根. 3xa3a正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0. 要点梳理要点梳理联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存
2、在条件相同：平方根和算术平方根都只有 才有；(3)0的平方根、算术平方根均为 . . 平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为 运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ；(3)0的平方根和立方根都是0.非负数0逆3a3a二、开平方与开立方 求一个非负数a的 的运算，叫做开平方其中a叫做 . 求一个数a的 的运算，叫做开立方其中a叫做 . 开平方与 、开立方与 都分别互为逆运算 点拨 (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运
3、算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)平方根被开方数立方根被开方数平方立方强调：数的开方的几个重要性质性质1：a 0 (a0) （双重非负性） 性质2：( a )2 = a (a0) 性质3：（a0） a （a0）-a a2 = |a| = 性质4： 33aa 点拨算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根1. 用计算器求一个正数的算术平方根三、用计算器求算术平方根、立方根2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次
4、键入 （ ） SHIFTa=a= 用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入3四、实数1.实数的分类(1)按定义分：(2)按符号分：实数有理数分数整数无理数（有限小数及无限循环小数）（无限不循环小数）实数正实数负实数正有理数正无理数负有理数负无理数02.实数与数轴(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运算法则以及运算律同样适用.考点讲练考点讲练考点一考点一 平方根、算术平方根及立方根平方根、算术平方根及立方根 例1 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-18，
5、求这个正数.【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于a的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数.解：根据平方根的性质，有a+3+2a-18=0，解得a=5，a+3=8，82=64，所以这个正数是64. 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.方法总结1.下列说法正确的有（ ） -64的立方根是-4； 49的算术平方根是7； 的立方根是 ； 的平方根是 . A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个1271311614B针对训练C2. 的平方根是 （ ） A.4 B.2 C.2
6、D.416例2 若a，b为实数且 +|b-1|=0，则(ab)2016 = . 1a3.若 与(b-27)2 互为相反数，则 .33ab8a-11【解析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据乘方的定义求出(ab)2016的值. +|b-1|=0，a+1=0，且b-1 =0，a =-1 ，b =1.(ab)2016 = (-11)2016= (-1)2016=1 ， 故填1.1a1初中阶段主要涉及三种非负数： 0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.a方法总结针对训练4 .在实数 ， ，0，-1 中，无理数是（ ） A. B. C.0 D.-11515B例
7、3 在实数 ， ， 中，无理数有 （ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个34222A考点考点二 无理数的识别针对训练【解析】 是分数； 虽然含有分母2，但它的分子是无理数 ，所以 是无理数；同理 也是无理数. 故选B.34222222例4 如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论正确的是（ ） A.ab B.|a|b| C.-ab D.a+b0ba0BAC【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|0，根据|a|b|，知-ab，C正确.故选C.针对训练5. 若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.
8、原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧B考点考点三 实数与数轴上的点的关系例5 估计 的值在（ ）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间61B考点考点四 实数的运算与大小比较【解析】461510, 4201510.3. 比较大小：420与与1510.考点二 整式的运算 例2 计算：x(x2y2-xy)-y(x2-x3y) 3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则. 解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) 3x2y =(2x3y2-2x2y) 3x2y = .2233x
9、 y当x=1,y=3时，时，原式= .222241333333x y方法总结针对训练 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的. 4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为 . 5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A，得商为2x，余式为x-1，则这个多项式是 .a2-2b+12122xx考点三 整式的乘法公式的运用 例3 先化简,再求值：(x-y
10、)2+(x+y)(x-y) 2x,其中x=3,y=1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再进行整式的除法运算. 解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) 2x =(2x2-2xy) 2x =x-y. 当当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.方法总结针对训练 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.6.求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解.解：x2+9y2+4x-6y+
11、5=0, (x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，(x+2)2+(3y-1)2=0.x+2=0,3y-1=0,解得x=-2, y= ,7.已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.解：原方程可化为-5x+5=0,解得x=1.1312(2 ).33xy 考点四 因式分解 例4 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.解：（1）不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式；（2）不是，因为从左边到右
12、边是做乘法运算；（3）是；（4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形.【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.方法总结针对训练 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.8.下列变形，是因式分解的是（ ） A. a(x+y)=ax+ay B. x2+
13、4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1) C. am2-a=a(m+1)(m-1) D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.C考点五 本章数学思想和解题方法u转化思想 例5 计算：(1)-2a3a2b3 ( ; (2)（-2x+5+x2）（-6x3）.25bc【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式.解：（1）原式=1 23 1342122 3.55abca b c （2）原式=（-2x）（-6x3）+5（-6x3）+x2（-6x3）=12x4-30 x3-6x5. 将要解决的问题转化为另
14、一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法.方法总结转化转化转化针对训练 9.计算：（4a-b）（-2b）2. 解： 原式=（4a-b）4b2=16ab2-4b3 u整体思想 例6 若2a+5b-3=0，则4a32b= .【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以逆用积的乘方先把4a32b.化简为含有与已知条件相关的部分，即4a32b=22a25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a32b=23=8.8 在本章中应用幂的运算法则
15、、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.方法总结针对训练 10.若xn=5，则（x3n）2-5（x2）2n= .12500 11.若x+y=2，则 = .2211xxyy222 例7 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 .baaaabbbbba-bu数形结合思想a2-b2=(a+b)(a-b)【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影 部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图的梯形的上底是是2b,下底是2
16、a,高为a-b,所以梯形的面积是 （2a+2b)(a-b) 2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式a2-b2=(a+b)(a-b). 本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起方法总结 12.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表 示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图和图等图形的面积表示.aaabbabab
17、aba2a2b2图b2a2a2abababaaabb图针对训练（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.（1）请写出图所表示的代数恒等式；bbaabaabababababa2a2b2b2图【答案】(1) (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2; (2)如如图.图a2baababababb2b2b213.有若干张如图(1)所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2ab)，宽为(ab)的长方形，则需要A类卡片_张，B类卡片_张，C类卡片_张，请你在图(2)的大长方形中画出一种拼法(1)(2)2 1 3 14.图是一个长为2a，宽为2b的长方
18、形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形(1)求出图的长方形面积；(2)将四块小长方形拼成如图所示的正方形，利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式(ab)2、(ab)2、ab之间的等量关系解：(1)(aa)(bb)4ab. (2)(ab)2(ab)24ab.幂的运算乘法公式整式的乘除积的乘方平方差公式多项式与单项式相乘、相除完全平方公式整式的乘除法单项式与单项式相乘、相除多项式与多项式相乘同底数幂相乘幂的乘方同底数幂相除课堂小结课堂小结因式分解提公因式法公式法 小结与复习第13章 全等三角形要点梳理考点讲练课堂小结课后作业八年级数学上（HS） 教学课件1命题判断某一件事情的语句叫做 .注
19、意两点“判断”和“语句”所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果，那么”“若，则”“是”等，但是，如“连结A、B两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题2命题的组成每个命题都是由 和 两部分组成的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项命题一般写成“如果，那么”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论条件结论要点梳理要点梳理命题3命题的真假命题有真有假，其中正确的命题叫做 ；错误的命题叫做 .事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这
20、种例子称为反例要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明4基本事实与定理经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做 .从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做 .真命题假命题基本事实定理5判定三角形全等主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形 ；(2)三边对应相等的两个三角形 (简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 (简记为：A.S.A.)；(4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：A.A
21、.S.)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：S.A.S.)若是直角三角形，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：H.L.)全等全等全等6证全等三角形的思路7全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的面积相等，周长相等；(3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等8等腰三角形的性质和判定(1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”(2)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”9等边三角形(1)等边三
22、角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形10尺规作图把只能使用 这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图没有刻度的直尺和圆规11常见的基本作图(1)作 等于已知线段；(2)作一个角等于角；(3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的 ；(5)作已知线段的垂直 线12互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题13逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 ，并将结论改成 ，便可以得到原命题的逆命题一条线段已知垂线平分结论条
23、件结论条件注意 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题但原命题正确，它的逆命题未必正确如对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题14逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理如“对顶角相等”就没有逆定理逆15垂直平分线到线段两端点的距离相等的点在这条线段的 . 它的逆定理是：线段垂直平分线上的点到 .注意 前面是线段垂直平分线的判定，后面是线
24、段垂直平分线的性质16角的平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等它的逆定理是：到角的两边距离相等的点在 .注意 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定垂直平分线上线段两端点的距离相等角的平分线上例1 下列命题中是假命题的是()A三角形的内角和是180B多边形的外角和都等于360C五边形的内角和是900D三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和考点一 判断命题真假考点讲练考点讲练【解析】要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边形的内角和是540，所以C不正确，故选C.C 命题这部分内容的概念多、理论性强，看似杂乱无章，其实
25、只要抓住三点，一切问题也就迎刃而解主要是识别命题、找出命题的条件和结论、会判断命题的真假方法总结1.下列命题：两点确定一条直线；两点之间，线段最短；对顶角相等；内错角相等；其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个针对训练CDFDEEFDEF角角角边边边AC=AB=BC=A= B=C=例2 如图，已知ABCDEF，请指出图中对应边和对应角.ABCFDE【解析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.考点二 全等三角形的性质 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.
26、有公共角的，公共角一定是对应角.方法总结ABCED2.如图，已知ABCAED若AB6，AC2, B25，你还能说出ADE中其他角的大小和边的长度吗？ 解：ABCAED， EB25（全等三角形对应角相等）， AC=AD=2，AB=AE=6（全等三角形对应边相等）.针对训练例3 已知：ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCBABCDCB(已知）， BCCB（公共边）， ACBDBC（已知），证明：在ABC和DCB中，ABCDCB（A.S.A. ）.BCAD【解析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定 考点三 全等三角形的判定3.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证AB
27、C和DEF全等的是( )A.AB=DE，AC=DF，BC=EF B.A= D， B= E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，A= D D.AB=DE，BC=EF， C= FD针对训练4.如图所示，AB与CD相交于点O, A=B，OA=OB 添加条件 ， 所以 AOCBOD 理由是 . AODCBC=D 或AOC=BODA.A.S.或A.S.A.考点四 全等三角形的性质与判定的综合应用例4 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证：DEC=FEC.ABCDFEG【解析】欲证DEC=FEC由平行线的性质转化为证明DEC=DCE只需要证明DEG
28、DCG.ABCDFEG证明： CEAD, AGE=AGC=90 .在AGE和AGC中，AGE=AGC，AG=AG，EAG=CAG， AGE AGC(A.S.A.). GE =GC.在DGE和DGC中，EG=CG， EGD= CGD=90 ，DG=DG， DGE DGC(S.A.S.).DEG = DCG.EF/BC, FEC= ECD， DEG = FEC. 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结5.如图，OBAB，OCAC，垂足为B，C，
29、OB=OC，BAO=CAO吗？为什么？OCBA解： AO平分BAC.理由如下： OBAB,OCAC， B=C=90. 在RtABO和RtACO中， OB=OC，AO=AO， RtABORtACO （H.L.）. BAO=CAO.针对训练考点五 利用全等三角形解决实际问题例5 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【解析】将本题中实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC.ADBC.解：相等，理由如下：ADBC，ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中，AD=AD，AB=
30、AC， RtADB RtADC(H.L.).BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.方法总结6.小明想设计一种方案，测一下沼泽地的宽度AB的长度，如图所示，他在AB的垂线BM上分别取出C，D两点，使CDBC，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A，C，E三点共线，这时所测得DE的长就是这块沼泽地的宽AB的长度，你能说明理由吗？解：在ABC和EDC中，ABCEDC90，ACBECD，BCDC，根据“A.S.A.”的判定定
31、理可以判定ABCEDC，再由全等三角形的对应边相等，可得ABDE.针对训练考点六 等腰三角形的性质与判定例6 如图，在ABC中，AB=AC,BDAC于D.求证： BAC=2DBC.ABCD)1 2E【解析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系.证明：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图，则11= 2=.2BACAB=AC, AEBC. 2+ ACB=90 . BDAC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2DBC. 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形等边三角形的性质与
32、判定应用也很广泛，有一个角是30的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段.方法总结针对训练7.如图，在ABC中，AC=BC, ACB=90,点D是AC上的一点，AE垂直BD的延长线于点E,且AE= BD.求证：BD平分ABC.12ABDE)12CCFABDE)12证明：延长AE交BC的延长线于点F,如图所示.ACB=90, ACF=ACB=90.F+FAC=90, F+EBF=90.FAC=EBF.在ACF和BCD中，FAC=DBC, AC=BC,ACF=BCD, ACFBCD(ASA). AF=BD.FABDE)12在AEB和FEB中，AE=FE, EB=EB,AEB=FEB,
33、AEBFEB(S.A.S.).CAE= BD, 12 ABE=FBE,即BD平分ABC.AE=EF.考点七 等边三角形的性质与判定例7 如图，等边ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF求证：DEF是等边三角形.【解析】根据等边三角形的性质得出A=B=C=60，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得ADFBEDCFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得DEF是等边三角形. 证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60，AB=BC=CA.AD=BE=CF，BD=EC=AF.在ADF
34、，BED和CFE中，ADBECF,ABC,BDCEAF,ADFBEDCFE，DE=EF=FD，DEF是等边三角形.8.如图，ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE.求证：DBCEAC.证明：ABC和EDC是等边三角形，BCADCE60，BCAACDDCEACD，即BCDACE.在DBC和EAC中，BCAC，BCDACE，DCEC，DBCEAC.针对训练9.如图，ABC为等边三角形，又DEBC，EFAC，FDAB，垂足分别为E，F，D，则DEF是等边三角形吗？说明你的理由解：是等边三角形理由如下：EFAC，FDAB，ABC为等边三
35、角形，A60，ADFCFE90.AFD30，DFE60.同理可证FDEDEF60，DEF是等边三角形例8 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC的依据是()AS.S.S.BA.S.A.CA.A.S.D角平分线上的点到角两边的距离相等A 考点八 尺规作图 【解析】 由作法可得OMON，MCNC，OCOC，ONCOMC(S.S.S.)故选A. 作角的平分线，实际上就是平分已知角作已知角的平分线的理论依据是判定三角形全等的“S.S.S.”.方法总结针对训练10.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AOB=AOB的依据是（）AS.A.S.BS.S.S.CA
36、.A.S.DA.S.A.B11.如图，已知在ABC中，AB=AC（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD=BD（不写作法，但需保留作图痕迹）（2）在（1）中，连接BD，若BD=BC，求A的度数解：（1）如图所示.（2）设A=x，AD=BD，DBA=A=x，在ABD中，BDC=A+DBA=2x，又BD=BC，C=BDC=2x，又AB=AC，ABC=C=2x，在ABC中，A+ABC+C=180，x+2x+2x=180，x=36例9 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假(1)如果a0，那么ab0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上解：(1
37、)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果ab0，那么a0.逆命题为假(2)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等其逆命题也是真命题考点九 命题与逆命题【解析】写一个命题的逆命题，将命题的条件和结论交换 位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅 （1）写出一个命题的逆命题关键是分清它的条件和结论，然后将条件和结论互换.将命题的条件和结论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅（2）原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题不一定是假命题.要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可；而要判断一个命题是真命题，则需通过
38、推理论证得出.方法总结针对训练12.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|是真命题.例10 如图，ABC中，ABAC6，BC4.5,分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连结BD，则BCD的周长是_10.5【解析】由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得BDAD.AC6，BC4.5，BCD的周长BDCDBC ADCDBC ACBC 64.5 10.5.考点十 线段垂直平分线方法总
39、结针对训练 本题集垂直平分线的画法、垂直平分线的性质、整体的思想、转化的思想于一题求线段的长，是中考的一个新的题型，希望引起读者注意13. 如图，已知ABC，直线PM是线段AC的垂直平分线，射线AP是BAC的平分线，P是两线的交点，且CP3 cm，PM2 cm，求点P到直线AB的距离及到A点的距离解：点P在线段AC的垂直平分线上，PAPC.CP3 cm，PA3 cm.AP是BAC的平分线，点P到AB的距离等于PM的长点P到AB的距离等于2 cm，到A点的距离为3 cm.考点十一 角平分线例11 如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+ BAP=180 ，求证:PA=PC.BACN)12P【解
40、析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE，PF，构造角平分线的基本图形.EF证明:过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.BACN)12PEF1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF, PEA=PFC=90 . PCB+ BAP=180 ,又知BAP+EAP=180 . EAP=PCB.在APE和CPF中， PEA=PFC=90 ，EAP=FCP， PE=PF， APE CPF(AAS)， AP=CP.【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPD
41、B,再证PDC是等腰三角形即可获证.ACN)12PB证明过程请同学们自行完成！D 角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法。应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.方法总结14.如图,1=2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求证:PCB+ BAP=180 .BACN)12PEF【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF, PEA=PFC=90 . PA=PC， PE=PF，在RtAPE和RtCPF中， RtPAE RtPCF(H.L.). EAP= F
42、CP. BAP+EAP=180 ， PCB+ BAP=180 .想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？针对训练考点十二 本章的数学思想与解题方法u分类讨论思想例12 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , x-8= ;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, y+8=12,但4+4=8a)，以c为斜边作四个全等的直
43、角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD，它是一个边长为c的正方形，它的面积等于 .而四边形EFGH是一个边长为 的正方形，它的面积等于 .12ab2勾股定理的验证 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：ba c2(ba)2四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，4 ab(ba)2c2，a2b2c2.123勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2b2 ，那么这个三角形是直角三角形利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出
44、最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是 ；(2)说明三角形中有两边互相 ；(3)用勾股定理的逆定理平方和直角直角垂直 注意 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2b2c2之类的错误c24勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个 数，称为勾股数，即满足a2b2c2的三个 数a、b、c，称为勾股数注意 勾股数都是正整数5勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关
45、系问题；正整正整直角5勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关系问题；(3)在 上作表示 等数的点的问题；(4)解决实际问题一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理直角 数轴 235、 、例1 在ABC中，已知BD是高，B90，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a3，b4，求BD的长【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解考点讲练考点讲练解：B90，b是斜边，则在RtABC中，由勾股定理，
46、得又SABC bBD ac，2222437,cba673 7.84acBDb1212考点一 勾股定理 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰方法总结1已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A.25 B.14 C.7 D.7或25针对训练D例2 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，an21，b2n，cn21(n1)，判断ABC是否为直角三角形【解析】要证C90，只要证ABC是直角三角形，并且c边最大根据勾股定理的
47、逆定理只要证明a2b2c2即可考点二 勾股定理的逆定理与勾股数解：由于a2b2(n21)2(2n)2n42n21，c2(n21)2 n42n21，从而a2b2c2，故可以判定ABC是 直角三角形 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大；分别用代数方法计算出a2b2和c2的值(c边最大)；判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形方法总结3.下列各组数中，是勾股数的为（）A1，2，3B4，5，6C3，4，5D7，8，92.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有_针对训练 (2)(
48、4) C考点三 勾股定理的应用例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图143所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；沿ABB1A1和BCC1B1面；沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下： 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平” 把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间线段最短”求解 要注意的是需要认真审题，确定
49、出最短路线，有时容易忽视多种展开情况方法总结针对训练4.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长 方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（）DA. B. C. D.5293721 例4 已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（） 【解析】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，在直角ABC中，AC为直角边，AC= =24米，已知AD=4米，则CD=24-4=20（米），在直角CDE中，CE为直角边，CE= =15（米），BE=15-7=8（米）故选CA4米 B6米 C8米D10米22ABBC2
50、2DECDC针对训练5.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？在RtABO中，由题意知OA2米，DCOB1.4米，所以AB2221.422.04.因为42.61.4，1.421.96，2.041.96，所以卡车可以通过答：卡车可以通过，但要小心解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A