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1、 浅谈不定积分的积分方法及其求解 余辉（江岸区成人中专（教校 ） 430014) 【摘要】能够直接利用基本积分公式及积分的性质求解 的积分是很有限的，因此，有必要寻求更有效的积分方法， 本文将介绍两种重要的积分法 换元积分法与分部积分 法及其求解，这将大大拓宽基本积分公式的应用范围 . 【关键词】不定积分 ;积分方法 ;求解 对于初学者而言，在具体解题时，究竟用何种方法，这 方面的经验还很欠缺，往往不能从被积函数的特点出发进 行剖析，经常在题目面前束手无策，百思不得其解，这充分 说明了初学者尽管掌握了不定积分的基本方法，但仍不能 灵活运用 .以下将结合不定积分的积分方法进行分析 . 一、 原函
2、数与不定积分的概念 给定一个可导函数 F(x),对其求导数可得到它的导函 数F(x).它的反问题是：已知一个函数的导函数 F(x),要 求出其最初的可导函数 F(x),注意到导函数 F(x)也是关 于自变量x 的函数，我们给出如下定义： 定义 1 给定函数 /(x)定义在某区间 I 上，如果对于任 意 xe/都有 F(x) =/(x)或 dF(x) =/(x)dx,则称 F(x)为 / (x)在区间 I 上的一个原 函数 . 例如，因 （ x2) = 2x,所以 x2是 2x 在 （ -u )上的一 个原函数 ;又因 （ sinx) = cosx， inx 是 cosx 在 （ -a , oc
3、 )上 的一个原函数 . 二、 不定积分的积分方法 1.第一类换元积分法（凑微分法） 对于不能直接使用基本积分公式求解的积分，若可以 通过适当的变量代换将其化成基本公式中已有的形式，求 出积分后，再回代原积分变量，则可求得原来的积分，这种 方法称为第 _类换元积分法，也称“凑微分法” _般地 ,有 以下定理： 将 J/(x) dx 变为 J/ p (t) ； () dt,而后者可用基本公式 、 性质及凑微分法求得，求出结果，这就是第二类换元积分 法，用定理表述如下： 定理 2 设 x =p (t)是单调可导的函数，且 p (t) #0,如 果 J/p(t)p(t)dt = F(t) + C,则
4、有 J/tx)dx = J/p(t)p(t) dt=F(t) + C=Fp_1 (t) + C . 在求不定积分时 ,我们要根据被积函数去寻找它的一 个原函数 三、例题求解 (1)第一类换元积分法的求解 分部积分法的应用范围较有限，主要用于解决被积函 数是 两类不同类型函数乘积形式的积分 . 结论 在电大经济数学中，函数的概念与定义与初等数学相 比发生了很多的变化，从有限到无限，从确定到不确定，计 算结果也可能不唯一，但计算方法与计算技巧显得更加重 要 .这些都在不定积分的计算中体会得淋漓尽致 .本文通过 归纳不定积分的积分方法 ,不但使其计算方法条理清楚，而 且有助于对不定积分概念的理解，对
5、学好积分具有一定的 促进作用 . 【参考文献】 1华东师范大学数学系 .数学分析（上 ）（ 3 版） M. 北京：高等教育出版社 ,2001:217 -219. 2 刘玉琏，傅沛仁 .数学分析讲义（第二版） M.北 京：高等教育出版社 ,1992: 120 - 122. 3 周金玉 .电大经济数学 M.北京：北京理工大学出 版社 ,2009:90 -92. 换 由基本公式 变量回代 . 从被积函数的特点出发，由易到难进行剖析，从而得到 了不同解法 .由此可见，在求不定积分时，要想灵活运用基 本方法得到解法，必须抓住被积函数的特点，进行多角度、 多方位 地剖析，采取一题多解，经过多次这样的尝试与探 索，才能丰富解题经验，产生解题意识，从而提高求不定积 分的解题能力 . 2 第二类换元积分法 第一类换元积分法虽然应用比较广泛，但对于某些积 分，如 J 槡 a2 - x2 dx, 一 -= , 等，就不 _ J J 槡 x2 + a2 M + /x + 1 定适用，为此介绍第二类换元积分法 .对不能用基本公式、 性质和凑微分法求解的积分 ,若能选择适当的变换 x = p (t)