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1、定积分的计算方法与应用 郑重阳 (池州学院数学系，安黴池州 247100) 摘要：定积分是数学分析中的环节 一一 微积分的重要分支之元函数情况下，求微分实际上是 一 个求已知函数的导 数，而求积分是求已知导数的原函数，所以微分与积分互为逆运算 .本文主要介绍定积分的相关计算方法，以及定积分在实际中 的一些应用 . 关键词：定积分计算方法应用 定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际 问题 .定积分的思想在古代数学家的工作中就已经有了萌芽 . 比如古希腊时期阿基米德在公元前 240 年左右，就曾用求和的 方法计算过拋物线弓形及其他图形的面积 .公元 263年我国刘 黴提出的割圆术也是同一
2、思想 .在历史上，积分观念的形成比 微分要早 .但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前 （ 17 世纪 下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整 的定积分理论还未形成，直到牛顿 莱布尼茨公式建立以 后，计算问题才得以解决， 定积分才迅速建立发展起来 . 定积分的思想即“化整为零 近似代替 积零为整 取 极限定积分这种和的极限”的思想，在高等数学、物理、工 程技术、其他知识领域及人们在生产实践活动中具有普遍的 意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学 结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的 路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性 化、以直
3、代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分 的概念逐步发展建立起来 .可以说，定积分最重要的功能是为 我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维 模式），即用无 限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代 曲，局部线性化等 .定积分的概念及微积分基本公式，不仅是 数学史上，而且是科学思想史上的重要创举 . 一、定积分的定义 设区间 a， b上有 n- 1 个 点 ， 依 次 为 的 _个分割 T=Ap A2， A 丄任取点 wA,， i=1， 2,， n， 并作和式 () Ax】，称此和式为函数 f 在 a， b上的 一 个积分和，也称黎曼 和 .设 f是定义在上 a， b的一个
4、函数， J 是一个确定的实数，若 对任给的正数 s， 总存在某 _正数 8,使得对 a， b的任何分割 T， 以 及 在 其 上 任 取 的 点 集 sj，只要 IITII0,埚 80，IITIIS S(T)-s(T)s 或 ZTWi Axs 若函数 f在 a， b上连续，且存在原函数 F， F， (x)=f(x)，xe a， b， 则 f 在 a， b上可积，且 Jaf(x)dx=F(b)-F(a) 三、 定理与性质 1. 若函数 f 在 （ a， b)上连续，且存在原函数 F， 即 F，(x)=f(x)， x E a， b， 则 f 在 a， b上可积，且Jaf(x)dx=F(b)-F(a
5、). 2. 若 f 在 a， b上连续，则至少存在一点 se a， b， 使得 _蘩 (x)dx=f(s) (b-a). 3. 若 f 在 a， b上连续，则 $(x)=jf(t)dt， xe a， b在 a，b 上处处可导 . 4. 若函数 f 在 a， b上连续， $在 a， P上可积，且满足$ (a)=a， $(P)=b， $(a， P)哿 a， b， 则有定积分换元公式jbf (x)dx=jf(9(t)dt. 5. 若 u(x)， v(x)为 a， b上的可微函数，且 u (x)和v (x)都 在 a， b上可积，则有定积分分部积分公式 Jau (x)v (x)dx=u (x)v(x)
6、Ia-Jau(x)v(x)dx. 6. 连续圯可积 . 7. 有限间断点 n 有界函数圯可积 . 8. 单调圯可积 . 9. 若 f 在 a， b上可积， k 为常数，则 kf 在 a， b上也可积，且 細 =如 ). 10. 若 f， g 都在 a， b上可积，则 fg 在 a， b上也可积，且 Jaf(x)g(x)dx=Jaf(x)dxJag(x)dx. 际 .当然，不可缺少的还 有空间想象能力和构思能力 . 参考文献： 1张禾瑞，郝銦新 .高等代数 M.高等教育出版社， 2007. 21 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 .高等代 数（第三版） M.高等教育出版社， 2004. 3黄益生 .高等代数 M.清华大学出版社， 2014. 基金项目：遵义师范学院基础教育研究课题（编号 13ZYJ 032),责州省科技厅联合基金项目 （ 黔科合 J 字 LKZS201429 号 ). 参考文献： 1华东师范大学数学系 .数学分析 M.北京：高等教育 出版社 ， 2010.