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1、第二十二第二十二章章 二次函数二次函数单元复习单元复习知识点一知识点二知识点一二次函数的定义及一般形式一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.名师解读:(1)任何一个二次函数的解析式,都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的形式,因此,把y=ax2+bx+c叫做二次函数的一般式,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)中,x,y是变量,a,b,c是常量.
2、自变量x的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,当然都可以为0,a必须是不等于0的实数,因为a=0时,y=ax2+bx+c就变成了y=bx+c,就不再是二次函数了.22.1.1二次函数二次函数知识点一知识点二知识点一知识点二解答这类问题的一般方法是:先把各关系式整理,然后再根据二次函数的定义进行判断.知识点一知识点二知识点二根据实际问题列二次函数解析式根据实际问题建立函数解析式的步骤:(1)仔细审题,设出适当的自变量;(2)找出等量关系,列出函数解析式;(3)根据问题的要求,作适当的变形;(4)根据实际要求,写出自变量的取值范围(在较为复杂且没有要求的情况下,也可不必写出).名师解读:列二
3、次函数解析式可以类比列方程或列不等式进行,关键是抓住问题中的数量关系或利用常用的公式等.知识点一知识点二例2长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(其中x0),面积为y cm2,则这样的长方形中y与x的关系可以写为()A.y=x2B.y=12-x2C.y=(12-x)x D.y=2(12-x)解析:先表示出长方形的另一边长,再利用长方形的面积公式表示出函数解析式.长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(其中x0),长方形的另一边长为12-x(cm).y=(12-x)x.答案:C知识点一知识点二解答这类问题,根据问题的实际,先把其中包含的数量表示出来,再结合题目所给的基本数量关系
4、(如:路程=速度时间、总价=单价数量、面积公式、体积公式等),把相等关系表示出来,最后整理即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一根据二次函数的定义求字母的值例1若y=(m2+m) -x+3是关于x的二次函数,则()A.m=-1或m=3B.m-1且m0C.m=-1D.m=3解析:利用二次函数的定义得出(m2+m) 是二次项,可得该项系数不为0,次数为2,进而可求m的值.y=(m2+m) -x+3是关于x的二次函数,m2+m0,且m2-2m-1=2,由m2-2m-1=2解得m=-1或m=3,又由m2+m0解得m0且m-1,故m=3.答案:D拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,主要是根据二次函数的
5、定义,二次函数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零列方程(方程组或不等式)求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二根据实际问题列函数解析式例2某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加x元.求:(1)宾馆每天的入住量y(间)关于x(元)的函数解析式;(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数解析式.分析:(1)根据题意可知,该宾馆共有60个房间,x表示每个房间每天的定价增加量,定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,空闲房间个数为 ,用入住量=6
6、0-空闲房间个数,列出函数解析式;(2)根据宾馆每天的房间收费=每间房实际定价入住量y,每间房实际定价=200+x,列出函数解析式.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三 解答这类问题,关键是找出符合题意的数量关系,如本题影响每天的房间收费的两个因素为每间房实际定价和入住量y与定价增加x的关系. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与二次函数的定义有关的综合题例3已知函数y=(m2-m-2) +(m+1)x+m.(1)当m取何值时为一次函数?并求出其关系式;(2)当m取何值时为二次函数?并求出其关系式.分析:(1)该函数是一次函数的条件是m2-m-2=0且m+10,或m2-5m-4=1且
7、m2-m-2+m+10,或m2-5m-4=0且m+10;拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三 解答这类问题时注意:是二次函数时,必须有二次项,即自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零;是一次函数时,要分三种情况讨论,不论哪种情况,解析式中不能有二次项,且一次项系数不能为零.知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数y=x2的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,对称轴与抛物线的交点叫做顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.对于特殊的二次函数y=x2,对称轴是y轴,顶点是(0,0),顶点是它的最低点,在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右
8、上升.也就是说,当x0时,y随x的增大而增大.名师解读:理解和记忆二次函数的性质时,可以从y=x2得到启发,其他二次函数的图象及性质可类比y=x2的图象和性质,主要从开口方向、对称轴、顶点、增减性等几个方面去进行.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质知识点一知识点二知识点三例1通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.分析:首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.解:列表,得:描点,连线如图所示.知识点一知识点二知识点三画二次函数的图象,列表时取的点越多,图象往往越准确,但是一般采用“五点法”或“七点法”画图,画图时应注意:(1)描点法所画的图象只是整个函数图象
9、的一部分,是近似的,由于x可取一切实数,所以图象是向两方无限延伸的;(2)点取得越多,图象画得越精确,在限定条件下(即限定自变量的取值范围)或在实际问题中,函数的图象必须要根据自变量的取值范围取其中的一部分;(3)所画图象必须平滑(符合点的发展变化的趋势),尤其是顶点不能画成“尖”形的.知识点一知识点二知识点三知识点二y=ax2的图象一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而减小.名师解读:当a0时,理解二次函数的性质可以利用y=x2的图象进行描述,当a0,抛物线
10、开口向上,a0,有最高点,ax20,比较y1,y2的大小.分析:(1)把点 代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函数的性质.(2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知ax20,故y10时,在A,B中判断一次函数的图象是否相符,a0时,二次函数y=ax2的图象开口向上,一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限,排除A;当a0时,将抛物线y=ax2向上平移k个单位;k0,其图象的开口向上,对称轴为y轴,当x0时,y随x的增大而增大,当x=0时,y取最小值1.答案:C知识点一知识点二知识点三由于y=x2+1是由y=x2向上平移1个单位得到的,所以可以利用y=x2的性质来进行判
11、断,只要明确其中的“变”与“不变”即可.知识点一知识点二知识点三知识点二二次函数y=a(x-h)2的图象和性质二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,0).y=a(x-h)2和y=ax2的图象,形状相同,只是位置不同.二次函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象左右平移得到.平移的规律是左加右减,即当h0时,向右平移h个单位.知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=a(x-h)2的图象及性质时可结合下面的表格.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三例2已知抛物线y=5(x-1)2,下列说法中,你认为不正确的是()A.顶点
12、坐标为(1,0)B.对称轴为直线x=0C.当x1时,y随x的增大而增大D.当x1时,y随x的增大而增大,正确,不符合题意;对于D,当x0时,开口向上;当a1时,y随x的增大而减小,其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:根据二次函数的性质对各结论分析判断:a=-1-1时,y随x的增大而减小,故正确.综上所述,正确的结论是,共3个.答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,可在理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质的基础上,对每一条逐一分析直至得出答案.拓展点一拓展点二拓展点一二次函数图象的平移例1抛物线y=-(x-2)2+1经过平移后与抛物线y=-(x+1)2-2重合,那么
13、平移的方法可以是 ()A.向左平移3个单位再向下平移3个单位B.向左平移3个单位再向上平移3个单位C.向右平移3个单位再向下平移3个单位D.向右平移3个单位再向上平移3个单位解析:根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可.抛物线y=-(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1),抛物线y=-(x+1)2-2的顶点坐标为(-1,-2),顶点由(2,1)到(-1,-2)需要向左平移3个单位再向下平移3个单位.答案:A拓展点一拓展点二解答这类问题的关键是掌握“左加右减”和“上加下减”的平移规律,在具体运用时注意灵活使用,一般是根据顶点坐标的变化一步到位,如果所给的解析式不是顶点式,可以先通过配方化成
14、顶点式,再进行判断.拓展点一拓展点二拓展点二二次函数顶点式的综合运用例2把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y= (x+1)2-1的图象.(1)试确定a,h,k的值;(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.分析:(1)利用逆向思维的方法求解.把二次函数y= (x+1)2-1的图象先向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象,然后利用顶点的平移变化情况确定原二次函数解析式,最后写出a,h,k的值;(2)根据二次函数的性质求解.拓展点一拓展点二拓展点一拓展点二由于抛物线平移前后的形
15、状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移前后的顶点坐标,即可求出解析式.知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数一般式与顶点式的互化一般地,y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,即因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三例1求下列抛物线的对称轴和顶点坐标,并指出它们的开口方向.(1)y=x2-2x+8;(2)y=-5x2+3x-2.分析:(1)由于一次项系数的绝对
16、值是二次项系数的偶数倍,所以可以考虑利用配方法确定抛物线的顶点坐标、对称轴;根据a0,抛物线开口向上,a0,抛物线开口向上,a0,抛物线开口向下,可得答案.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三确定抛物线的顶点坐标和对称轴时,既可以利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c配成顶点式y=a(x-h)2+k,利用顶点式直接写出,也可以利用顶点的坐标公式直接求解.当所给的二次函数的一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的偶数倍时,多利用顶点式;当二者之间不是偶数倍时,通常利用顶点的坐标公式求解.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=ax2+bx+c的图象
17、和性质可借助下面的表格.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三例2已知函数y=- x2+2x+1,解答下列问题:(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴;(2)作出函数的图象,并观察图象,写出x为何值时,y随x的增大而增大,x为何值时,y随x的增大而减小;(3)函数的最值是多少?分析:(1)利用配方法配方成二次函数的顶点式后即可确定其开口方向、顶点坐标及对称轴;(2)根据其顶点坐标、与坐标轴的交点情况确定二次函数的草图,然后确定其增减性即可;(3)直接根据二次函数的图象说出其最值即可.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三解答这类问题时,通常先把一般式化成顶点式,根据顶
18、点式回答,尤其是当一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的偶数倍时,配方成顶点式往往是最为简便的方法.知识点一知识点二知识点三知识点三二次函数y=ax2+bx+c解析式的确定求二次函数的解析式y=ax2+bx+c的基本方法是待定系数法,根据已知条件的不同,常将二次函数的解析式设为如下两种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)顶点式:y=a(x-h)2+k.名师解读:求二次函数解析式的实质是确定三个系数的值,因此需要三个独立的已知条件.当已知抛物线上任意三点的坐标(或函数的三对对应值)时,可选用一般式;当已知抛物线的顶点坐标和另外一个条件时,常用顶点式.知识点一知识点二知识点三例3已知
19、二次函数图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,-6),求此二次函数的解析式.分析:根据已知条件中的顶点坐标,可以把二次函数的解析式设为顶点式,再进一步把(1,-6)代入求解即可.解:设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.函数图象的顶点坐标为(-2,3),且过点(1,-6),h=-2,k=3,-6=a(1+2)2+3,解得a=-1.二次函数的解析式为y=-(x+2)2+3.知识点一知识点二知识点三如果已知抛物线的顶点坐标(或可以根据条件容易得出顶点坐标)时,可以选择设为顶点式的方法进行计算.知识点一知识点二知识点三例4已知一个二次函数的图象过点(2,0),(0,-2)和(-2,3),求这
20、个二次函数的解析式.分析:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0),(0,-2),(-2,3)三点坐标代入求得a,b,c的值即可.解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0),(0,-2),(-2,3)三点坐标代入,知识点一知识点二知识点三当已知条件是抛物线上三个点的坐标或函数的三对对应值时,可设出一般式,通过列方程组求二次函数的解析式.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一根据二次函数y=ax2+bx+c的图象确定a,b,c的符号例1如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则下列结论正确的是()A.a0,b0,c0B.a0,c0,b0,c0D.a0,b0,c0
21、解析:抛物线开口向下,a0,b0.抛物线与y轴的交点在x轴下方,c0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的根x1,x2二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点(x1,0)和(x2,0);(2)b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的根x1=x2二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有唯一的一个交点(x1,0);(3)b2-4ac0,理由是:抛物线开口向上,a0,抛物线交y轴于y轴负半轴,c0,而a0,得b0;(2)b2-4ac0,理由是:抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac0;(3)2a+b0,理由是:0- 0,-b0;(4)a+b+c0,理
22、由是:由图象可知,当x=1时,y=a+b+c0,则x的取值范围是()A.-1x3B.-1x4C.x3D.x4解析:求y0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的x的范围,根据图象可得x的范围是x3.答案:C拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解决这类问题,要注意数形结合思想的应用,理解求y0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的x的范围是关键.解不等式ax2+bx+c0和ax2+bx+c0的解集,图象在x轴下方对应的自变量的取值即为ax2+bx+c0的解集.知识点知识点利用二次函数解决实际问题 由于抛物线的顶点总是抛物线的最高点或最低点,故在顶点处函数取最大值
23、或最小值,因此对于某些与二次函数有关的牵涉到最大(小)值的实际问题,我们可将实际问题抽象为二次函数的数学模型,求出二次函数的解析式,借助最值求法解决实际问题.求解此类问题的一般步骤如下:(1)列出二次函数解析式;(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;(3)求二次函数的最大值或最小值;(4)解决实际问题.22.3实际问题与二次函数知识点名师解读:对于实际问题中的最大(小)值,要注意有时并不是抛物线顶点的纵坐标.原因是顶点的横坐标可能不在自变量的取值范围之内,此时应根据二次函数图象(抛物线的一段或一部分有意义的点)的增减性进行解答.知识点例题为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三
24、农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数解析式.(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?知识点分析:(1)根据销量乘以每千克利润等于总利润进而得出答案;(2)利用二次函数最值求法得出x=- 时,w取到最值,进而得出答案.解:(1)由题意得w=(x-20)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120 x-1 600,故w与x的函数解析式为w=-2x2
25、+120 x-1 600.(2)w=-2x2+120 x-1 600=-2(x-30)2+200,-20,则有最小值,若a0,则有最大值;如果不在,则根据二次函数的增减性进行解答,但是对于自变量是像mxn(m0,所以函数y有最大值;该函数的图象关于直线x=-1对称;当x=-2时,函数y的值等于0;当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1专题一专题二专题三专题四专题五解析:由图象知:函数有最小值,错误;该函数的图象关于直线x=-1对称,正确;当x=-2时,函数y的值小于0,错误;当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0,正确.故正确的有两个,选C
26、.答案:C专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,要注意数形结合,其中正确解读图象中“特殊点”(与坐标轴的交点、顶点等)的意义是解答的关键.专题一专题二专题三专题四专题五专题二确定二次函数的解析式例2已知抛物线经过点(3,14),(1,4),(2,7),求抛物线解析式.分析:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把三个点的坐标分别代入得到关于a,b,c的方程组,然后解方程组求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式.解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,专题一专题二专题三专题四专题五在利用待定系数法求二次函数解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地
27、,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.专题一专题二专题三专题四专题五专题三二次函数与一元二次方程例3 关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),且(1)求这个二次函数的解析式;(2)求抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标,并指出抛物线在该直线下方时x的取值范围.专题一专题二专题三专题四专题五分析:(1)利用抛物线与x轴的交点得到x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0
28、的两根,先利用根的判别式大于0可得到m ,再根据根与系数的关系得到x1+x2=2m-1,x1x2=m2-1,由于 ,则(x1+x2)2-2x1x2=3,所以(2m-1)2-2(m2-1)=3,然后解方程,再利用m的范围可确定m的值,从而得到抛物线解析式;(2)先通过解方程x2+x-1=-3x-4可得到抛物线与直线的交点的横坐标,再求出抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),然后利用图象可判断抛物线在该直线下方时x的取值范围.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),
29、x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两根,(x1+x2)2-2x1x2=3,(2m-1)2-2(m2-1)=3,整理得m2-2m=0,解得m1=0,m2=2,m ,m=0,抛物线解析式为y=x2+x-1.(2)解方程x2+x-1=-3x-4得x1=-1,x2=-3,抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),抛物线在该直线下方时x的取值范围为-3x-1.专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题的本质是:已知y=ax2+bx+c(a0)的函数值t求自变量的值,就是求一元二次方程ax2+bx+c=t的解,而已知自变量的值求函数值,就是求代数式的值.而抛物线
30、在直线的下方时,取相同的自变量的值,所对应的二次函数的函数值小于一次函数的函数值.专题一专题二专题三专题四专题五专题四二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系例4如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:2a+b=0;8a+c0;当y0时,x2;对任意实数m,m(am+b)a+b.其中正确的结论有()个.A.2B.3 C.4D.5专题一专题二专题三专题四专题五解析:根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定a,b,c的符号,根据函数图象确定y0和y0时,对应x的取
31、值范围即可.对称轴x= =1,2a+b=0,正确;x=-2时,y0,4a-2b+c0,又b=-2a,8a+c0,正确;抛物线开口向下,a0,与y轴交于正半轴,c0,abc0,错误;当x3时,y0,错误;当x=1时,函数有最大值,am2+bm+ca+b+c,m(am+b)a+b,正确.答案:B专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,注意在理解和掌握二次函数的图象和性质的基础上,数形结合,深入分析,逐一判断每个说法的真假. 专题一专题二专题三专题四专题五专题五二次函数的应用例5把一张边长为40 cm的正方形硬纸板,进行适当的裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)如图,若在正方形
32、硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.专题一专题二专题三专题四专题五(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).专题一专题二专题三专题四专题五分析:(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,根据
33、题意得出(40-2x)2=484,求出即可;设剪掉的正方形的边长为a cm,盒子的侧面积为y cm2,则y与a的函数关系为y=4(40-2a)a,利用二次函数最值求出即可.(2)设长方体盒子的高为x cm,利用折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,得出方程求出即可.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,则(40-2x)2=484,即40-2x=22,解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9.答:剪掉的正方形的边长为9 cm.侧面积有最大值,设剪掉的小正方形的边长为a cm,盒子的侧面积为y cm2,则y与a的函数关系为y=4(40-2a)a,即y=-
34、8a2+160a=-8(a-10)2+800,-80,y有最大值,即当a=10时,y最大=800,即当剪掉的正方形的边长为10 cm时,长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.专题一专题二专题三专题四专题五(2)设长方体盒子的高为x cm,则长为40-2x,宽为20-x,表面积为2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,解得x1=-35(不合题意,舍去),x2=15,即长方体盒子的高为15 cm,则长为40-2x=40-215=10(cm),宽为20-x=20-15=5(cm),此时长方体盒子的长为10 cm,宽为5 cm,高为15 cm.专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,弄清题中的等量关系建立二次函数模型,综合运用二次函数及其相关知识进行解答.