示范教案单调性与最大小值第课时2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导入新课第 2 课时函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路 1.某工厂为了扩大生产规模,方案重新建造一个面积为10 000 m2 的矩形新厂址 ,新厂址可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的长为 x m ,就宽为10000m,所建围墙ym,假如你是这个工厂的厂长,你会挑选一个长和x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结宽各为多少米的矩形土的,使得新厂址的围墙y 最短 .同学先摸索或争论,老师指出此题意在求函数y=

2、2x+10000,x0 的最小值 .引出本节课题:x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在生产和生活中,我们特别关怀花费最少、用料最省、用时最省等最值问题,这些最值对我们的生产和生活是很有帮忙的. 那么什么是函数的最值了.这就是我们今日学习的课题.用函数学问解决实际问题,将实际问题转化为求函数的最值,这就是函数的思想,用函数解决问题.思路2.画出以下函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能表达函数的什么特点?fx=-x+3 。 fx=-x+3,x -1,2。fx=x 2+2x+1; fx=x 2+2x+1,x -2,2 . 同学回答后,老师引出课题:函数的最值. 推动新课新

3、知探究提出问题如图 1-3-1-11 所示,是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x -1,+ 、y=fx 的图象 .观看这三个图象的共同特点 .图 1-3-1-11函数图象上任意点Px,y 的坐标与函数有什么关系?你是怎样懂得函数图象最高点的.问题 1 中,在函数y=fx 的图象上任取一点Ax,y ,如图 1-3-1-12 所示,设点C 的坐标为x 0,y0,谁能用数学符号说明:函数y=fx 的图象有最高点C?图 1-3-1-12在数学中, 形如问题1 中函数 y=fx 的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=fx 的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义中fxM即 fxf

4、0x,这个不等式反映了函数y=fx 的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特点?函数最大值的几何意义是什么?函数 y=-2x+1,x -1,+ 有最大值吗?为什么?可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点 -1,3是不是函数y=-2x+1,x - 1,+ 的最高点?由这个问题你发觉了什么值得留意的的方?争论结果 :函数y=-x 2 -2x 图象

5、有最高点A ,函数y=-2x+1,x -1,+ 图象有最高点B ,函数y=fx图象有最高点C. 也就是说 ,这三个函数的图象的共同特点是都有最高点.函数图象上任意点P 的坐标 x,y 的意义 :横坐标 x 是自变量的取值,纵坐标 y 是自变量为x时对应的函数值的大小.图象最高点的纵坐标是全部函数值中的最大值,即函数的最大值.由于点C 是函数 y=fx 图象的最高点,就点A 在点 C 的下方,即对定义域内任意x,都有 yy0 ,即 fx f0x,也就是对函数y=fx 的定义域内任意x,均有 fx 0fx成立 .一般的,设函数y=fx 的定义域为I,假如存在实数M 满意:(1)对于任意的x I,都

6、有 fxM。(2)存在 x0 I,使得 fx 0=M.那么,称M 是函数 y=fx 的最大值 .fxM反映了函数y=fx 的全部函数值不大于实数M 。这个函数的特点是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.函数图象上最高点的纵坐标.函数 y=-2x+1,x -1,+ 没有最大值,由于函数y=-2x+1,x -1,+ 的图象没有最高点.不是,由于该函数的定义域中没有1.争论函数的最大值,要坚持定义域优先的原就。函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必需是函数图象上的点.提出问题类比函数的最大值,请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.类比问题9,你认为争论函数最小值应留意什么?活动: 让

7、同学摸索函数最大值的定义,利用定义来类比定义.最高点类比最低点,符号不等号“类”比不等号 “函”数.的最大值和最小值统称为函数的最值.争论结果: 函数最小值的定义是:一般的,设函数y=fx 的定义域为I,假如存在实数M 满意:(1)对于任意的x I,都有 fxM。(2)存在 x0 I,使得 fx 0=M.那么,称M 是函数 y=fx 的最小值 .函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.争论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原就。函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必需是函数图象上的点.应用示例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 求函数 y=思路 12在区

8、间 2,6上的最大值和最小值.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动: 先摸索或争论,再到黑板上书写.当同学没有证明思路时,才提示:图象最高点的纵 坐标就是函数的最大值,图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.依据函数的图象观看其单调性,再利用函数单调性的定义证明,最终利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结换法画出函数y=的.2的图象,只取在区间2, 6上的部分 .观看可得函数的图象是上升x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

9、 - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:设 2x1x 2 6就, 有22fx 1-fx 2=2 x2=1 x11=2 x2x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x11x21x11 x21x11 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x10,x 1-1x 2 -10.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx 1fx 2,即函数 y=x在区

10、间 2, 6上是减函数 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,当x=2 时,函数y=2在区间 2, 6上取得最大值f2=2 。x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=6 时,函数y=变式训练2在区间 2, 6上取得最小值f6=2 .x15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.求函数 y=x 2-2xx -3,2 的最大值和最小值 .答案: 最大值是f-3=15 ,最小值是f1=-1. 2.函数 fx=x 4+2x 2-1 的最小值是 .分析:(换元法)转化为求二次函数的最小值.设 x2=t ,y=t 2 +2t- 1t ,0又当 t 0时,

11、函数y=t 2+2t-1 是增函数,就当 t=0 时,函数y=t 2+2t- 1t 取0最小值 1.所以函数fx=x 4+2x 2-1 的最小值是1.答案: -13.画出函数y= x 2 2|x| 3 的图象,指出函数的单调区间和最大值.分析: 函数的图象关于y 轴对称, 先画出 y 轴右侧的图象, 再对称到 y 轴左侧合起来得函数的图象。借助图象,依据单调性的几何意义写出单调区间.解: 函数图象如图1-3-1-13 所示 .图 1-3-1-13由图象得,函数的图象在区间(, 1)和 0,1上是上升的,在1,0和( 1,)上是下降的,最高点是 1,4,故函数在( , 1), 0,1上是增函数。

12、函数在1, 0,(1, )上是减函数,最大值是4.点评: 此题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法.求函数的最值时,先画函数的图象, 确定函数的单调区间,再用定义法证明,最终借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题 .单调法求函数最值:先判定函数的单调性,再利用其单调性求最值。常用到下面的结论:假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减,就函数y=fx 在 x=b 处有最大值fb 。假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增,就函数 y=fx 在 x=b 处有最小值fb.例 2“菊花 ”烟花是最壮丽的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点

13、时爆裂.假如烟花距的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -面的高度h m 与时间 t s 之间的关系为ht=-4.9t 2 +14.7t+18 ,那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的正确时刻?这时距的面的高度是多少(精确到1m)?活动: 可以指定一位同学到黑板上书写,老师在下面巡察,并准时帮忙做错的同学改错.并对同学的板书准时评判.将实际问题最终

14、转化为求函数的最值,画出函数的图象,利用函数的图象求出最大值. “烟花冲出去后什么时候是它爆裂的正确时刻”就是当t 取什么值时函数ht=-4.9t 2+14.7t+18取得最大值。“这时距的面的高度是多少(精确到1 m ) ”就是函数 ht=-4.9t 2+14.7t+18 的最大值。转化为求函数ht=-4.9t 2+14.7t+18 的最大值及此时自变量t 的值 .解:画出函数ht=-4.9t 2+14.7t+18 的图象,如图1-3-1-14 所示,明显, 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆炸的正确时刻,纵坐标就是这时距离的面的高度.图 1-3-1-14由二次函数的

15、学问,对于函数ht=-4.9t 2+14.7t+18 ,我们有:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 t=14.7=1.5 时,函数有最大值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24.9即烟花冲出去后1.5s 是它爆裂的正确时刻,这时距的面的高度约是29m.点评: 此题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的才能.解应用题步骤是审清题意读懂题。将实际问题转化为数学问题来解决。归纳结论.留意:要坚持定义域优先的原就。求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练1.2006 山东菏泽二模, 文 10 把长为 12 厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正

16、三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. 33 cm2B.4cm 2C.32 cm2D.23 cm22解析:设一个三角形的边长为x cm,就另一个三角形的边长为4-x cm ,两个三角形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和为 S,就 S=3x2+434-x 2=43x-2 2+23 2 3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=2 时, S 取最小值23 m2.应选 D.答案: D2.某超市为了猎取最大利润做了一番试验,如将进货单价为8 元的商品按10 元一件的价格出售时,每天可销售60 件,现在采纳提高销售价格削减进货量的方法增加利润,已知这

17、种商品每涨1 元,其销售量就要削减10 件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润 .分析: 设未知数,引进数学符号,建立函数关系式,再争论函数关系式的定义域,并结合问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题的实际意义作出回答.利润(售价进价)销售量 .解: 设商品售价定为x 元时,利润为y 元,就y=x-8 60-x-1010

18、=-10 x-12 2 -16 =-10x-12 2+16010 x 16.当且仅当x=12 时, y 有最大值160 元,即售价定为12 元时可获最大利润160 元.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知函数 fx=x+1,x0 ,x思路 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)证明当0x0 的最小值 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动: 同学摸索判定函数单调性的方法,以及函数最小值的含义.( 1)利用定义法证明函数的单调性。( 2)应用函数的单调性得函数的最小值.(1) 解: 任取 x 1、x 2( 0, +)且 x 1 x 2,

19、就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f ( x1) f( x2) =( x11 )( x2+ 1x2) =( x 1 x 2) +x1 x1=x2 x1x21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x 1 x2, x1 x 20.当 0 x 1 x2 1 时, x1x2-10 ,f (x 1) f ( x2) 0.x1 x2x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f (x 1) f ( x2),即当 0x0 ,f (x 1) f ( x2) 0.f (x 1) f ( x2) ,即当 x 1时,函数fx 是增函数 .1可编辑资料 - - -

20、欢迎下载精品名师归纳总结(2) 解法一: 由( 1)得当 x=1 时,函数 fx=x+,x0 取最小值 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f1=2 ,就函数fx=x+1,x0 取最小值是2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二: 借助于运算机软件画出函数fx=x+1,x0 的图象,如图1-3-1-15 所示,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由图象知,当x=1 时,函数 fx=x+图 1-3-1-151,x0 取最小值f1=2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评: 此题

21、主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去竞赛 ”。三个步骤缺一不行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -利用函数的单调性求函数的最值的步骤:先判定函数的单调性,再利用其单调性求最值。 常用到下面的结论:假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减,就函数 y=fx 在 x=b 处有最大值fb 。假如

22、函数y=fx 在区间 a,b上单调递减, 在区间 b,c上单调递增,就函数y=fx 在 x=b 处有最小值fb. 这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤:画出函数的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31.求函数 y=1x ( x0)的最大值 .2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :可证明函数y= 31x ( x0)是减函数,2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y= 31x ( x0)的最大值是f0=3.2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.求函数

23、 y=|x+1|+|x-1| 的最大值和最小值.2 x,x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一:(图象法) y |x+1|+|x-1|=2,2 x,1xx1,1, 其图象如图1-3-1-16 所示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 1-3-1-16由图象得,函数的最小值是2,无最大值 .解法二:(数形结合) 函数的解析式y=|x+1|+|x-1| 的几何意义是: y 是数轴上任意一点P 到1的对应点 A 、B 的距离的和,即y=|PA|+|PB|,如图 1-3-1-17 所示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 1-3-1-17观看数轴

24、 ,可得 |PA|+|PB| |AB|=,2 即函数有最小值2,无最大值 . 3.2007 天利高考第一次全国大联考(江苏卷),11 设 0x1, 就函数 y=1 +1的最小值是 .x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析: y=1x1,当 0x400 时, fx=60000-100x是减函数 ;又 fx60000-100 4003 时,函数 y=28-mm1m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是减函数,所以当m=3 时,函数y=28拓展提升16-m 取最大值21(万元) .m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品名师归纳总结问题:求函数y=1x 2x的最大值 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结探究: 方法一 利用运算机软件画出函数的图象,如图1-3-1-18 所示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故图象最高点是14,.图 1-3-1-18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就函数 y=1x2x23的最大值是4 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二 函数的定义域是R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以证明当x1时,函数y=21x 2x是增函数。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1时,函数y=2

26、11x2x1是减函数 .14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 x=时,函数y=2x 2x取最大值,13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即函数 y=1x2x的最大值是4 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法三 函数的定义域是R ,可编辑资料 - - -

27、 欢迎下载精品名师归纳总结由 y=1x 2x,得 yx 2+yx+y-1=0.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x R,关于x 的方程 yx 2+yx+y-1=0必有实数根,当 y=0 时,关于x 的方程 yx2 +yx+y-1=0 无实数根,即y=0 不属于函数的值域.当 y0时,就关于x 的方程 yx 2+yx+y-1=0是一元二次方程,就有 =-y 2-4 yy- 1 0. 0y4 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y=3x的最大值是4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x243ax2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

28、纳总结点评: 方法三称为判别式法,形如函数y=dx2exfd 0, 当函数的定义域是R(此时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e2-4df0 )时,常用判别式法求最值,其步骤是把y 看成常数,将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0 。分类争论m=0 是否符合题意。当 m0时,关于 x 的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mx 2+nx+k=0 中有 x R ,就此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk 0即,关于 y 的不等式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解不等式组n 24mk0,m0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 0此.不等式组的解集与中y 的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.课堂小结本节课学习了:1 函数的最值。 2 求函数最值的方法:图象法,单调法,判别式法。3 求函数最值时,要留意函数的定义域.作业课本 P39 习题 1.3A 组 5、6.设计感想为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上实行了以下的措施:(1)在探究概念阶段,让同学经受从直观到抽象、从

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