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1、课程主讲人：6章 曲线曲面建模技术(II)2022/5/13第第6章章 曲线曲面建模技术曲线曲面建模技术6.1 曲线曲面的数学方法曲线曲面的数学方法6.2 Bezier曲线和曲面曲线和曲面6.3 从从B样条到样条到NURBS632022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS Beizer曲线的缺点是它的整体性，一个控制点影响到曲线曲线的缺点是它的整体性，一个控制点影响到曲线全体，而且控制点数量与曲线的此时直接相关。全体，而且控制点数量与曲线的此时直接相关。 B样条曲线采用另外一种基函数，解决了样条曲线采用另外一种基函数，解决了Beizer曲线的问曲线的问题。当控制点比较多的时候，题。当
2、控制点比较多的时候，B样条曲线是分段生成的，但样条曲线是分段生成的，但段间连续性与段内连续性一致，连续性得到了很好的保证。段间连续性与段内连续性一致，连续性得到了很好的保证。 对对B样条的基函数再进行一步改进，增加一个称为权因子样条的基函数再进行一步改进，增加一个称为权因子的参数，就成为的参数，就成为NURBS曲线。因此曲线。因此B样条曲线是样条曲线是NURBS曲曲线的基础和特例。线的基础和特例。2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS6.3.1 B样条基函数（样条基函数（De Boor-Cox公式）公式） 为为k次为多项式中的第次为多项式中的第i个个k为多项式次数，为多项式次数
3、，i表示第表示第i个个ui为参数轴上的节点为参数轴上的节点000)()()()()(01)(111, 111,10,ikikikiikikiikiiiiuuuNuuuuuNuuuNOtheruuuuN)(,uNki2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 参数轴上及节点（分割点）参数轴上及节点（分割点）2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 每个多项式的定义域都是全体参数空间，但仅在少数节每个多项式的定义域都是全体参数空间，但仅在少数节点区间非点区间非0，其它地方都是，其它地方都是0。 如如0次多项式的非次多项式的非0区间只有一个节点区间。而区间只有一个节点区间。
4、而1次多项式，次多项式，因为计算涉及到因为计算涉及到2个个0次多项式，所以在次多项式，所以在2个节点区间非个节点区间非0。类似的，类似的，k次多项式在次多项式在k+1个节点区间非个节点区间非0。2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBSK=03多项式曲线多项式曲线2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS例，设例，设 k=0其它如其它如N1,0(u)、 N2,0(u)、等，可以由等，可以由N0,0(u) 平移得到。平移得到。k=1，非，非0区间为区间为0,2，函数为，函数为,.2, 1, 0210uuu01u01)u(N0, 02u1u21u0u)u(N1 , 0202
5、2/5/136.3 从从B样条到样条到NURBSk=2，非，非0区间为区间为0,3，函数为，函数为3u2)2u(1 212u1) 1u(2) 1u(21 211u0u21)u(N2222, 02022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBSk=3，非，非0区间为区间为0,4，函数为，函数为4u3)3u(1 613u24)2u(6)2u(3612u1 1) 1u(3) 1u(3) 1u(3611u0u61)u(N3232333 , 02022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBSB样条基函数的性质：样条基函数的性质：（1）局部性）局部性仅在仅在k+1个节点区间非个节点区间非0。（2
6、）有界性）有界性B样条基函数的函数值非负且小于样条基函数的函数值非负且小于1。即。即 。（3）权性）权性如果将一个基函数的几段平移到一个区间，它们的和为如果将一个基函数的几段平移到一个区间，它们的和为1。（4）对称性）对称性B样条基函数的对称性指一个基函数中各段具有对称性。样条基函数的对称性指一个基函数中各段具有对称性。（5）连续性）连续性一个一个K次基函数在整体上能达到次基函数在整体上能达到K-1次连续。次连续。1)(01 ,0uN2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS6.3.2 B样条曲线样条曲线 给出给出n+1个控制点个控制点 n+1+k+1个节点个节点 k次次B样条曲线
7、定义为样条曲线定义为 其中需要用到其中需要用到n+1个基函数，由个基函数，由Cox公式生成。公式生成。 曲线为分段曲线，共曲线为分段曲线，共n+1-k段。段。nPPP,.,10110,.,knuuuniniiuNPtP0,)()(2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS曲线、控制点、基函数、节点区间的关系曲线、控制点、基函数、节点区间的关系2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 设设k=2，n=4，即控制点为，即控制点为5个，即个，即P0,P1,P4 参数轴上的节点为参数轴上的节点为n+k+2=8个，即个，即(u0,u1,u7) ，形成节，形成节点区间点区间n+k
8、+1=7个。个。 最前最前k个和最后个和最后k个区间，落在这些区间的基函数不足个区间，落在这些区间的基函数不足k+1个。因此能生成曲线的节点区间为个。因此能生成曲线的节点区间为n+k+1-k-k=3个，分别为个，分别为),()()()()()(322, 222, 112, 00,uuuuNPuNPuNPuNPtPjkjinii),()()()()()(432, 332, 222, 11,uuuuNPuNPuNPuNPtPjkjinii),()()()()()(542, 442, 332, 22,uuuuNPuNPuNPuNPtPjkjinii2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURB
9、S 因为基函数仅在局部有定义，若选定一个节点区间，使因为基函数仅在局部有定义，若选定一个节点区间，使则上式还可以写成则上式还可以写成 其中参与求和项的个数为其中参与求和项的个数为 个，这样就个，这样就体现出了体现出了B样条曲线的局部性。样条曲线的局部性。 也表明，曲线上每个点的计算涉及到也表明，曲线上每个点的计算涉及到k+1个控制点和基函个控制点和基函数。数。,1jjuuu)()()(,kjuNPtPjkjinii11)(kkjj2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBSB样条曲线的性质样条曲线的性质（1）局部性）局部性 一个控制点最多能影响到一个控制点最多能影响到k+1段曲线，改
10、动一个控制点位段曲线，改动一个控制点位置时，只影响控制点附近的曲线部分，对曲线的影响是局置时，只影响控制点附近的曲线部分，对曲线的影响是局部的。由于曲线是分段生成的，增加或删除控制点的操作部的。由于曲线是分段生成的，增加或删除控制点的操作也便于进行。也便于进行。（2）整体性和连续性）整体性和连续性 B样条曲线分段生成，但整体上，包括段间接合点在内，样条曲线分段生成，但整体上，包括段间接合点在内，k次曲线能达到次曲线能达到k-1次连续。次连续。（3）几何不变性）几何不变性 在控制点相对位置不变的情况下，坐标变换不会影响曲在控制点相对位置不变的情况下，坐标变换不会影响曲线的整体形状。线的整体形状。
11、2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS（4）变差缩减性）变差缩减性 平面内任意直线与平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，反映了曲线比其特征多边形的波动小，多边形的交点个数，反映了曲线比其特征多边形的波动小，更光顺。更光顺。（5）造型的灵活性）造型的灵活性 通过调节控制点和节点位置，能够灵活地调节曲线形状，通过调节控制点和节点位置，能够灵活地调节曲线形状，也能产生特殊形状曲线。如尖点、直线等。举例如下：也能产生特殊形状曲线。如尖点、直线等。举例如下： 2个控制点重合时，曲线相切与控制多边形。个控制点重合时，曲线相切
12、与控制多边形。 4个控制点重合时，曲线在该处形成尖角；个控制点重合时，曲线在该处形成尖角； 4个顶点共线时产生含有直线段的曲线。个顶点共线时产生含有直线段的曲线。2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS（6）凸性）凸性 B样条曲线不通过任何控制点，整条曲线落在控制点形成样条曲线不通过任何控制点，整条曲线落在控制点形成的凸多边形内。的凸多边形内。 根据节点位置设置的不同，根据节点位置设置的不同，B样条曲线分为几种类型：样条曲线分为几种类型： - 均匀均匀B样条曲线样条曲线 - 准均匀准均匀B样条曲线样条曲线 - 非均匀非均匀B样条曲线样条曲线2022/5/136.3 从从B样条到样
13、条到NURBS6.3.3 均匀均匀B样条曲线样条曲线 如果节点在参数轴上均匀分布，所有节点区间均相同，如果节点在参数轴上均匀分布，所有节点区间均相同，这种情况下的这种情况下的B样条曲线称为均匀样条曲线称为均匀B样条曲线。一般常取整样条曲线。一般常取整数点作为节点，即数点作为节点，即 。 均匀均匀B样条曲线的优点是带来了数学形式上和计算上的方样条曲线的优点是带来了数学形式上和计算上的方便。缺点是节点参数不可调节，缺少了一样调节曲线的方便。缺点是节点参数不可调节，缺少了一样调节曲线的方法。法。 在节点均匀分布的情况下，同一次数中所有基函数形状在节点均匀分布的情况下，同一次数中所有基函数形状完全相同
14、，仅仅是位置不同。那么就可以将其中一个基函完全相同，仅仅是位置不同。那么就可以将其中一个基函数映射到一个标准归一化空间中，为所有的节点区间所使数映射到一个标准归一化空间中，为所有的节点区间所使用。用。nuiuuuni,.,.,1, 0102022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS均匀均匀B样条曲线方程为样条曲线方程为其中其中j表示第表示第j段，控制点段，控制点n+1个时，个时，0 jn-k。k0ik, iijj) t (FP) t (P2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 设曲线段参数空间为设曲线段参数空间为t，且，且0t1 。下面给出二次和三次。下面给出二次和三
15、次时的基函数。时的基函数。 二次基函数为二次基函数为22, 222, 122, 021)()221 (21)()1 (21)(ttFtttFttF2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS三次基函数为三次基函数为33 , 3233 , 2233 , 133 , 061)() 1333(61)()463(61)()1 (61)(ttFttttFtttFttF2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 在计算在计算j段（段（ ）B样条曲线时，先将参数样条曲线时，先将参数u变变换为换为t 再将再将t代入标准化基函数中进行计算，得到基函数值，再代入标准化基函数中进行计算，得到基
16、函数值，再与控制点组合。这样在整个过程中，基函数就统一了。与控制点组合。这样在整个过程中，基函数就统一了。1jjuuujjjuuuut12022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS例例 给出给出5个控制点（二维），生成个控制点（二维），生成3次均匀次均匀B样条曲线样条曲线 3次次B样条曲线有样条曲线有4个基函数，需要个基函数，需要4个控制点，因此能生个控制点，因此能生成成3段曲线，即段曲线，即 段段I 控制点控制点P0,P1,P2,P3 段段II 控制点控制点P1,P2,P3,P42022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS段段I曲线方程曲线方程65t63t63t61t61
17、1) 1t 3t 3t 3(611)4t6t 3(611) t1 (610) t (y1tt613) 1t 3t 3t 3(612)4t6t 3(611) t1 (610) t (x) t (FP) t (FP) t (FP) t (FP) t (P233232333232333 , 333 , 223 , 113 , 002022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS段段II曲线方程曲线方程1t61t610) 1t 3t 3t 3(611)4t6t 3(611) t1 (611) t (y2tt614) 1t 3t 3t 3(613)4t6t 3(612) t1 (611) t (x
18、) t (FP) t (FP) t (FP) t (FP) t (P33232333232333 , 343 , 233 , 123 , 012022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS参数参数t和和u的关系的关系 5个控制点，个控制点，3次曲线，需要次曲线，需要9个参数轴节点，其中有效节个参数轴节点，其中有效节点区间为点区间为u3,u4，u4,u5，因此为，因此为2段曲线。段曲线。 段段I u=3+t 段段II u=4+t2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS6.3.4 准均匀和非均匀准均匀和非均匀B样条曲线样条曲线 在节点均匀分布的情况下，若允许部分或全部节点重复
19、在节点均匀分布的情况下，若允许部分或全部节点重复若干次，则成为准均匀若干次，则成为准均匀B样条曲线，节点重复的次数称为重样条曲线，节点重复的次数称为重复度。这也可以解释为，对一个节点进行多次重复编号。复度。这也可以解释为，对一个节点进行多次重复编号。 准均匀准均匀B样条曲线的目的是模拟样条曲线的目的是模拟Bezier曲线。曲线。 若两端节点具有重复度若两端节点具有重复度k+1，那么和，那么和Bezier曲线情况相似，曲线情况相似，B样条曲线通过首末两个控制点。样条曲线通过首末两个控制点。 如三次曲线时，如三次曲线时，10个控制点，个控制点，15个节点编号为个节点编号为 (0,1,2),3,4,
20、. .10,11,(12,13,14) 其中括号表示其内的点坐标相同。此时曲线通过控制点其中括号表示其内的点坐标相同。此时曲线通过控制点0和和10。这等于是删去了不能生成曲线的节点区间，而只将。这等于是删去了不能生成曲线的节点区间，而只将编号保留了下来。编号保留了下来。2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 节点区间长度可以任意，只需满足节点区间长度可以任意，只需满足 ，此时称，此时称为非均匀为非均匀B样条曲线。样条曲线。 节点区间长度能够影响该区间所生成的曲线的弧长。加节点区间长度能够影响该区间所生成的曲线的弧长。加大节点区间长度，相应地曲线弧长也会增加，减小节点区大节点区间
21、长度，相应地曲线弧长也会增加，减小节点区间长度，相应地曲线弧长也会减小。调节节点位置，也是间长度，相应地曲线弧长也会减小。调节节点位置，也是调节曲线形状的一种方法。调节曲线形状的一种方法。 给出节点区间初始长度的方法不是固定的。方法之一是给出节点区间初始长度的方法不是固定的。方法之一是人为指定，对控制点较多的情况，实际上难于操作。人为指定，对控制点较多的情况，实际上难于操作。 作为一种计算方法，将控制点连成折线，各段折线段的作为一种计算方法，将控制点连成折线，各段折线段的长度作为节点区间初始长度。相当于将控制折线展平成直长度作为节点区间初始长度。相当于将控制折线展平成直线，在进行一定比例的缩放
22、投影到参数轴上。线，在进行一定比例的缩放投影到参数轴上。01iiuu2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS6.3.5 NURBS曲面曲面 NURBS曲面按下式定义曲面按下式定义m0in0jq , jp, iijm0in0jq , jp, iijiji)v(N)u(N)v(N)u(NP) t (P2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 是是B样条的基函数，代表样条的基函数，代表p次基函数中的次基函数中的第第i个及个及q次基函数中的第次基函数中的第j个。个。 是一组控制点，依次在空间排列是一组控制点，依次在空间排列成方阵。其中沿成方阵。其中沿u方向为方向为 m+1行
23、，沿行，沿v方向为方向为n+1行。行。 p是曲面在是曲面在u方向上的次数，方向上的次数，q是曲面在是曲面在v方向上的次数。方向上的次数。曲面的次数可以在两个方向上不同，即曲面的次数可以在两个方向上不同，即u、v的幂不同。的幂不同。 u方向定义了一个节点序列方向定义了一个节点序列 共共m+p+2个；个；v方向定义了一个节点序列方向定义了一个节点序列 共共n+q+2个。节点序列的定义与个。节点序列的定义与B样条曲线相同。节点在参数轴上的样条曲线相同。节点在参数轴上的分割可以是均匀的、准均匀的或非均匀的。分割可以是均匀的、准均匀的或非均匀的。)(,uNpi)(,vNqj ),.,0;,.,0(njm
24、iPij100,., pmuuu110,.,qnvvv2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 增加了分母项，因为分式是有理数，因此称为有理的。增加了分母项，因为分式是有理数，因此称为有理的。综合起来，称为非均匀有理综合起来，称为非均匀有理B样条（样条（Non-Uniform Rational B-Splines）。）。 增加了参数增加了参数 ，是控制点的附加参数，和控制点在一，是控制点的附加参数，和控制点在一起，称为权因子，每个控制点拥有一个。起，称为权因子，每个控制点拥有一个。 权因子权因子 是一个很重要的参数，用于调节曲线曲面形状。是一个很重要的参数，用于调节曲线曲面形状。
25、 控制点可以沿各个方向移动。控制点可以沿各个方向移动。 调节权因子只能使曲面上最接近控制点的点。调节权因子只能使曲面上最接近控制点的点。 ij2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 沿着接近控制点或远离控制点的直线上移动。而且调节沿着接近控制点或远离控制点的直线上移动。而且调节权因子的影响范围比调节控制点的影响范围小，使得调节权因子的影响范围比调节控制点的影响范围小，使得调节操作更为局部。可以认为是一个微调参数。操作更为局部。可以认为是一个微调参数。 2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS 使用上要求权因子使用上要求权因子 。若。若 ，则该控制点无效。，则该控制
26、点无效。权因子可以任意加大，若权因子可以任意加大，若 ，则，则 既然权因子是和控制点在一起的，又是一个数量值，还既然权因子是和控制点在一起的，又是一个数量值，还有一个表示方法是提供控制点数据时，直接将其乘到控制有一个表示方法是提供控制点数据时，直接将其乘到控制点上，此时称控制点为其次坐标形式的控制点。点上，此时称控制点为其次坐标形式的控制点。 这样就看得清楚了，权因子这样就看得清楚了，权因子 的作用是对控制点向量的缩放。的作用是对控制点向量的缩放。 根据基函数的权性性质，如果所有的根据基函数的权性性质，如果所有的 ，定义式中，定义式中的分母项就成为的分母项就成为1，方程退化为，方程退化为B样条
27、曲面。如果网格只有样条曲面。如果网格只有一行控制点，就退化为一行控制点，就退化为B样条曲线。样条曲线。 00ijiPtP)(),(),(zyxzyx12022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS NURBS曲面的研究已经相当全面，曲面的研究已经相当全面，NURBS已经成为标准已经成为标准的曲面建模技术。由于仍是使用的曲面建模技术。由于仍是使用B样条基函数，样条基函数，NURBS曲曲面与面与B样条曲线具有相似的性质，如样条曲线具有相似的性质，如（1）局部性）局部性（2）凸包性）凸包性（3）几何不变性）几何不变性（4）高节导数连续性）高节导数连续性 2022/5/136.3 从从B样条到
28、样条到NURBSNURBS曲面的优点：曲面的优点：（1）造型能力强，可以精确地如二次曲面等标准形状。）造型能力强，可以精确地如二次曲面等标准形状。（2）增加了曲面形状的权因子，便于实现相当复杂的。）增加了曲面形状的权因子，便于实现相当复杂的。（3）NURBS方法是方法是B样条方法在四维空间的直接推广。样条方法在四维空间的直接推广。（4）在自由曲线技术中，）在自由曲线技术中，NURBS曲面是最普遍的形式，曲面是最普遍的形式，包含了包含了Bezier曲线曲面、曲线曲面、B样条曲线曲面。样条曲线曲面。（5）有成熟的计算技术，计算稳定快速。）有成熟的计算技术，计算稳定快速。（6）应用广泛，如）应用广泛
29、，如OpenGL、DirectX、3DMax、Maya等等软件中，都包含软件中，都包含NURBS曲面构建和编辑功能。曲面构建和编辑功能。 2022/5/136.3 从从B样条到样条到NURBS例：例：OpenGL中的中的gluNurbsSurface()函数函数void gluNurbsSurface( GLUnurbsObj * nobj, /NURBS曲面对象（要事先定义好，存储数据）曲面对象（要事先定义好，存储数据） GLint sknot_count, /s方向节点数目方向节点数目 GLfloat * sknot, /s方向节点数组指针方向节点数组指针 GLint tknot_coun
30、t, /t方向节点数目方向节点数目 GLfloat * tknot, /t方向节点数组指针方向节点数组指针 GLint s_stride, /s方向控制点数据跨度（数组尺寸）方向控制点数据跨度（数组尺寸） GLint t_stride, /t方向控制点数据跨度（数组尺寸）方向控制点数据跨度（数组尺寸） GLfloat * ctlarray, /控制点数组指针（控制点包含了权因子）控制点数组指针（控制点包含了权因子） GLint sorder, /s方向上多项式阶数方向上多项式阶数 GLint torder, /t方向上多项式阶数方向上多项式阶数 GLenum type /确定求值器类型确定求值
31、器类型(坐标，齐次坐标，坐标，齐次坐标，); 法线，纹理坐标法线，纹理坐标) GL_MAP2_TEXTURE_COORD_2GL_MAP2_NORMALGL_MAP2_VERTEX_4GL_MAP2_VERTEX_32022/5/13总结总结一、一、B样条基函数的样条基函数的Cox递推公式递推公式 1 B样条基函数为多项式函数，其中每个函数由规则产生，样条基函数为多项式函数，其中每个函数由规则产生，即即Cox递推公式。递推公式。 2 理解参数轴节点理解参数轴节点ui。 3 理解递推规则：两个理解递推规则：两个k-1次函数，升阶得到次函数，升阶得到k次函数。次函数。 4 理解基函数定义域（非理解
32、基函数定义域（非0区间）为区间）为ui,ui+k+1 。 5 能推出低次数的基函数解析公式。能推出低次数的基函数解析公式。 6 理解理解B样条曲线基函数性质。样条曲线基函数性质。 2022/5/13总结总结二、二、B样条曲线样条曲线 1 定义一条定义一条B样条曲线，需要给出：曲线次数、控制点、样条曲线，需要给出：曲线次数、控制点、节点。节点。 2 理解理解B样条曲线方程。样条曲线方程。 3 理解理解B样条曲线是分段曲线，每个节点区间定义一段曲样条曲线是分段曲线，每个节点区间定义一段曲线，且段间具有良好的连续性，线，且段间具有良好的连续性，k次曲线能达到次曲线能达到ck-1连续。连续。 4 理解
33、分段曲线、控制点、基函数、节点区间的关系。理解分段曲线、控制点、基函数、节点区间的关系。 5 理解理解B样条曲线的性质。样条曲线的性质。 2022/5/13总结总结三、均匀三、均匀B样条曲线样条曲线 1 理解参数理解参数t情况下的均匀情况下的均匀B样条基函数。样条基函数。 2 能推导出能推导出2、3次情况下的均匀次情况下的均匀B样条基函数。样条基函数。 3 均匀均匀B样条曲线参数方程的定义。样条曲线参数方程的定义。四、准均匀和非均匀四、准均匀和非均匀B样条曲线样条曲线 1 什么情况下形成准均匀和非均匀什么情况下形成准均匀和非均匀B样条曲线。样条曲线。 2 准均匀和非均匀准均匀和非均匀B样条曲线
34、的节点如何给出。样条曲线的节点如何给出。 2022/5/13总结总结五、非均匀有理五、非均匀有理B样条曲面样条曲面(NURBS) 1 理解理解NURBS方程。方程。 2 理解权因子理解权因子的意义。的意义。 3 定义一个定义一个NURBS曲面，需要给出的参数：次数、控制曲面，需要给出的参数：次数、控制点、节点、权因子。点、节点、权因子。 4 理解理解NURBS如何退化到如何退化到B样条曲面、样条曲面、B样条曲线、均匀样条曲线、均匀B样条曲线。样条曲线。 5 理解理解NURBS曲面性质和优点。曲面性质和优点。 2022/5/13习题习题1 B样条曲线的节点如何定义？有什么意义？样条曲线的节点如何
35、定义？有什么意义？2 设节点参数为设节点参数为0,1,2,.等整数点，导出等整数点，导出2次和次和3次次B样条基函数。样条基函数。3 B样条曲线的次数和控制点数量有什么关系？样条曲线的次数和控制点数量有什么关系？4 为什么说为什么说B样条曲线具有局部性？样条曲线具有局部性？5 给出给出4个控制点个控制点(0,0)，(0,1)，(1,1)，(1,0)，推导均匀二次，推导均匀二次B样样条曲线方程。条曲线方程。6 节点参数不均匀，会对节点参数不均匀，会对B样条曲线带来哪些影响？样条曲线带来哪些影响？7 写出写出NURBS曲面方程，并说明各个参数的作用和意义。曲面方程，并说明各个参数的作用和意义。8 说明说明NURBS曲面中的权因子和控制点的关系。曲面中的权因子和控制点的关系。