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1、课程主讲人：第6章 弹性实体有限元分析有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院T1122ennuvuvuvaeuNa1212000000nnNNNNNNNexNxT1122ennxyxyxyxTuvuTxyx12121122000000nnnnNNNxxxNNNyyyNNNNNNyxyxyxB有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1iiiiNNxNNy J1111111nniiiiiinniiiiiiNNyyyyxxNNxxJJJ1111=nniiiiiinniiiiiiNNxyxyxyNNxyJ
2、有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院11TT1111d d(,)(,)(,)qqnnepqpqpqpqpqtH Ht KB DB JBDBJ111212122212eeeneeeeneeennnnKKKKKKKKKK11TT1111d d(,)(,)(,)qqnneijijpqipqjpqpqpqtH Ht KB DBJBDBJ11TTb1111d d(,)(,)qqnnepqpqpqpqtH Ht PN f JNf J11TTb1111d d(,)(,)qqnneiipqipqpqpqtH Ht PN f JNf J1TTS11d( ,)( ,)(1)qneqqqqtLHCtL CC
3、 PN tNt有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院KaP1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)exqqeyqqqqqqnqqxyqqenxyxyxy aaBBBa11(,) ,(,)nnqiqqiqiqqiiixNxyNy Gauss积分点积分点，结点，结点(,)(,)(,)(,)(,)(,)xqqxqqyqqyqqxyqqxyqqxyxyxyxyxyxyD有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院例子：例子：四边形四边形4结点结点单元为例单元为例)1)(1 (41iiiN （i=1,2,3,4） 4411441111(1)(1)4411(1)(1)44iiiiiiiiiiii
4、iiiixyxy J44111441111(1)(1)44111(1)(1)44iiiiiiiiiiiiiiiiyyxx JJ444411111111(1)(1)(1)(1)4444iiiiiiiiiiiiiiiixyxy J有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院euNa1212000000nnNNNNNNNT1122ennuwuwuwaTuwue NxxTrzxT1122ennrzrzrzx000000000iiiiiiiiiiiiiiiNNNrrrNNNzzzNNNNNNzrzrzrNNNrrrB有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1iiiiNNrNNzJ111=-zzzzr
5、zrzrrrr（）JJ1111=nniiiiiinniiiiiiNNrzrzrzNNrzJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院11T11T112( , )d d=2(,)(,) (,)(,)qqennpqpqpqpqpqpqrH Hr KB DBJBDBJ11TTb11112d d =2(,)(,)(,)qqnnepqpqpqpqpqrH Hr PN f JNfJ1TTS112d2( ,)( ,)(1)qneqqqqrLHCL CC PN tNt1122F222nrrrFFPFF有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院Gauss积分点积分点，结点，结点1212( ,)( ,)(,)
6、(,)(,)( ,)( ,)erqqezqqqqqqnqqrzqqeqqnr zr zr zr z aaBBBa( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)rqqrqqzqqzqqrzqqrzqqqqqqr zr zr zr zr zr zr zr zD11(,) ,(,)nnqiqqiqiqqiiirNrzNz 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院euNaT111222ennnuvwuvwuvwa121212000000000000000000nnnNNNNNNNNNNTuvwuexNxTxyzxT111222ennnxyzxyzxyzx有限单元法基础 | 严波重
7、庆大学航空航天学院1iiiiiiNNxNNyNNzJ111111111nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiinnniiiiiiiiiNNNxyzxyzNNNxyzxyzxyzNNNxyzJ121212112211221122000000000000000000000000000nnnnnnnnnNNNxxxNNNyyyNNNzzzNNNNNNyxyxyxNNNNNNzyzyzyNNNNNNzxzxzx B有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院111T111T111d d d(,)(,)(,)pqrennnpqrrqprqprqppqrH H H JKB DBBDBJ111Tb1
8、11T111d d d(,)(,)pqrennnpqrrqprqppqrH H H PN f JNf J11TTS11T11dd d=( ,)( ,)(1)eqqeSnnpqqpqppqSLH HCL CC PN tN tNt有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院Gauss积分点积分点，结点，结点1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)xqqqeyqqqezqqqqqqqqqnqqqxyqqqeyzqqqnzxqqqxyzxyzxyzxyzxyzxyz aaBBBa(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)xqqqxqqqyqqqyqq
9、qzqqqzqqqxyqqqxyqqqyzqqqyzqqqzxqqqzxqqqxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzD111(,) ,(,),(,)nnnqiqqqiqiqqqiqiqqqiiiixNxyNyzNz 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院精确解与近似解的差精确解与近似解的差u euu位移误差位移误差应变应变误差误差应力应力误差误差 e e局部误差局部误差定义不能对全局误差给出合理的估计定义不能对全局误差给出合理的估计有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院弹性力学问题弹性力学问题，定义，定义1T2duuVV（）eLeDLe=Lu,Lu
10、=D ,D111TTT1222()()d() ()d()()dVVVVVVeDD位移误差的位移误差的L2范数范数21T2() ()dLVVeuuuu应力误差的应力误差的L2范数范数21T2()()dLVVeC 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院区域区域V误差的均方根（误差的均方根（RMS）2212()LVeu1221()mkkee在任意区域中定义在任意区域中定义相对能量范数误差相对能量范数误差eE1T2(d )VVDEk表示单个的单元表示单个的单元Vk，这些单元的和为，这些单元的和为V有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院（1）单元内部不精确满足平衡方程）单元内部不精确满足平衡
11、方程（4）单元交界面上应力不连续）单元交界面上应力不连续（2）力的边界上一般不精确满足边界条件）力的边界上一般不精确满足边界条件（3）应力和应变解的精度比位移低一阶）应力和应变解的精度比位移低一阶有限元平衡方程由加权残值法或变分原理建立有限元平衡方程由加权残值法或变分原理建立计算结果具有近似性计算结果具有近似性有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院最小二乘的概念最小二乘的概念测量数据测量数据( ,)1,2,iix yin寻找函数寻找函数( )x使得使得21()niiiyx最小，得到离散数据得最佳逼近。最小，得到离散数据得最佳逼近。注意最小二乘逼近与函数插值的区别。注意最小二乘逼近与函数插
12、值的区别。最小二乘曲线拟合最小二乘曲线拟合使得要使得要21()niiiyx要求要求最小最小21()niiiyx( )x中待定参数的导数为零中待定参数的导数为零 对近似函数对近似函数1( )mkkkxN a21() )0(1,2,)niiikyxkma有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限元近似解有限元近似解近似解对应的势能近似解对应的势能p( )0uTp1( )d2VVuDTp1( )()()d2VVuD,uu+ u+TTTp1( )ddd2uVVSVVSuDu fu t2ppp( )( )( ) uuu有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院求求p( ) u的极值归结为求的极值
13、归结为求2p( ) u的极小值。的极小值。对线弹性体，上式还可以表示为对线弹性体，上式还可以表示为求求*p()u的极值的极值()or 与与()or 的差值的差值满足加权的最小二乘满足加权的最小二乘2pTT1( , )( , )11()()d()()d22eeMVVeVV DD T11( ,)()()d2eeMVeVC 结论：结论： 有限元的应变近似和应力近似解必然在真解的上下震荡有限元的应变近似和应力近似解必然在真解的上下震荡单元内存在（等于真解的）最佳应力点。单元内存在（等于真解的）最佳应力点。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院*u为为 p 次多项式，次多项式，L为为 m 阶微分阶
14、微分( ) 为为 n=p-m 次多项式次多项式上述积分表达式的积分阶次：上述积分表达式的积分阶次：2n取取n+1阶阶Gauss积分，精度：积分，精度：2(n+1)-1=2n+1次次如果如果constJ且且 各分量独立，各分量独立，应力（应变）在应力（应变）在Gauss积分点上是精确的。积分点上是精确的。结论结论：在等参元中，单元中（：在等参元中，单元中（n+1）阶（）阶（n=p-m）Gauss积分点积分点上的应上的应力（应变）近似解比其它部位具有较高的精度，称为力（应变）近似解比其它部位具有较高的精度，称为最佳应力点最佳应力点。T1( ,)()d0eeMVeVC 1TT111( ,)()d()
15、0eeeMMniiiVeeiVHCCJ 0ii有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1）单元平均）单元平均常用于常用于3 3结点三角形单元结点三角形单元相邻两单元构成的四边形形心处：相邻两单元构成的四边形形心处：121()2 （平均）（平均）或或112212AAAA （面积加权平均）（面积加权平均）有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 2）结点平均）结点平均m是围绕单元是围绕单元 i 的全部单元数。的全部单元数。11meilm计算单元、计算单元、结点结点5处的应力处的应力e BD a45114el例子：例子：有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院构造一改进的应力解构造
16、一改进的应力解* 此改进解在全域上连续此改进解在全域上连续建立泛函：建立泛函：插值函数插值函数待求改进后的结点应力待求改进后的结点应力代入代入(,)A 0A*0(1,2,)iAiN 应力磨平的所有单元结点总数应力磨平的所有单元结点总数T11(,)()()d2eeMVeAVC *1eniiiNT1()d0(1,2,)eeMiVeViNCN 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院如果如果结点结点的应力分量数为的应力分量数为k个个则上式为则上式为Nk阶线性代数方程组阶线性代数方程组求解此方程组即可得到所有求解此方程组即可得到所有结点结点的应力改进值的应力改进值*1eniiiN单元中任意点的应力
17、改进值单元中任意点的应力改进值改进应力在单元之间是连续的，精度得到提高。改进应力在单元之间是连续的，精度得到提高。缺点缺点：计算量太大的计算量太大的有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院*0(1,2,)eAin 令令C CI I，未加权的最小二乘，未加权的最小二乘对于等参单元，可利用精度较高的对于等参单元，可利用精度较高的GaussGauss积分点的应力值来改变积分点的应力值来改变结点应力的近似性质。结点应力的近似性质。T1(,)() ()d2eeVAV *1eniiiNT()d0(1,2,)eieVVinN 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院例子：例子： 四边形四边形4 4结
18、点单元结点单元4*1iiN 1(1)(1)4iiiN *II11234*IIII21234*IIIIII31234*IVIV41234(I)(I)(I)(I)(II)(II)(II)(II)(III)(III)(III)(III)(I )(IV)(IV)(IV)NNNNNNNNNNNNNVNNN在在Gauss积分点处积分点处*1*I11234*II21234*III31234*IV41234(I)(I)(I)(I)(II)(II)(II)(II)(III)(III)(III)(III)(I )(IV)(IV)(IV)NNNNNNNNNNNNNVNNN 可以推广到三维问题。可以推广到三维问题。有
19、限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院利用经修复后的应力代替精确解进行误差分析，进行后验误差估计利用经修复后的应力代替精确解进行误差分析，进行后验误差估计*uueeuu222*uuLLLeeuu222*LLLee*u*修复后的计算值修复后的计算值弹性问题的能量范数的误差估计弹性问题的能量范数的误差估计1*T1*2()()dVVeeD有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院对已得到的有限元结果进行误差估计对已得到的有限元结果进行误差估计，通过网格细化来获得足够的精度通过网格细化来获得足够的精度。1 1）h型自适应分析方法型自适应分析方法始终采用同一种单元，不断改变网格尺寸，式其在某些地方
20、变得更粗，始终采用同一种单元，不断改变网格尺寸，式其在某些地方变得更粗，而在另外一些地方变得更细，以提供达到所要求结果的最经济方案。而在另外一些地方变得更细，以提供达到所要求结果的最经济方案。（a）单元细分：单元细分：会出现悬空结点，实施繁琐，增加计算量，效率降低。会出现悬空结点，实施繁琐，增加计算量，效率降低。（b）网格重分：网格重分：对所有区域的单元尺寸进行新的预测，再进行一次全新对所有区域的单元尺寸进行新的预测，再进行一次全新 的网格划分。适用于分析过程中产生严重畸变的问题。的网格划分。适用于分析过程中产生严重畸变的问题。（c）r-细化：细化：保持结点总数不变，调整结点位置以获得最佳的近
21、似结果。保持结点总数不变，调整结点位置以获得最佳的近似结果。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院网格网格h-细化方法细化方法：（a）初始网格；（）初始网格；（b）单元细分（增加密度）；）单元细分（增加密度）； （c）网格重分；（）网格重分；（d）通过结点重置的）通过结点重置的r-细化。细化。2 2）p型自适应分析方法型自适应分析方法保持网格划分固定不变，增加单元阶次。通常按升阶次序增加。保持网格划分固定不变，增加单元阶次。通常按升阶次序增加。（a a）多项式阶次在所有区域同步增加；）多项式阶次在所有区域同步增加；（b b）多项式阶次在局部区域逐次生阶增加。）多项式阶次在局部区域逐次生阶
22、增加。（a）（b）（c）（d）有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 2 h型自适应方法型自适应方法1 1）网格的再划分）网格的再划分2 2）预测所需的单元尺寸）预测所需的单元尺寸这种方法同时容许单元的合并（放大单元）和细分（缩小单元）。这种方法同时容许单元的合并（放大单元）和细分（缩小单元）。kkmee对所有单元计算误差指标对所有单元计算误差指标当当1k时，单元需细化。时，单元需细化。2212()mem ue能量范数的能量范数的容许值容许值m：单元数单元数有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院采用四边形采用四边形4结点单元网格加密求解短悬臂梁结点单元网格加密求解短悬臂梁采用四边
23、形采用四边形4结点单元网格重构求解短悬臂梁结点单元网格重构求解短悬臂梁有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院基于不同自适应网格细化求解受基于不同自适应网格细化求解受压圆通问题压圆通问题：（a）所有单眼总能量均匀分布）所有单眼总能量均匀分布（b）能量密度均匀分布）能量密度均匀分布（c）每个结点最大应力误差均匀）每个结点最大应力误差均匀分布分布（d）每个结点最大应力误差百分）每个结点最大应力误差百分比均匀分布比均匀分布所有最终网格的能量范数误差均所有最终网格的能量范数误差均小于小于5%。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院120ijaa多点约束（多点约束（MPC）边界条件）边界条件1
24、、2和和0是常数，是常数，ai和和aj分别为自由度分别为自由度i和和j对应的位移。对应的位移。采用罚函数法将约束条件引入原泛函（势能）得到新的泛函采用罚函数法将约束条件引入原泛函（势能）得到新的泛函*TT21201+2ijaa -（）a Ka a P是一个大数是一个大数*0211221222,22,2iiiiijijjijijjjjKKKKKKKK 010222iijjPPPP 刚度矩阵和载荷列向量的它元素保持不变刚度矩阵和载荷列向量的它元素保持不变有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院滚动支座约束条件滚动支座约束条件结点结点i的位移分量为的位移分量为a2i-1和和a2i该两个位移分量满
25、足如下约束条件该两个位移分量满足如下约束条件2 -12sincos0iiaa*TT22121+sin +cos2iiaa-（）a Ka a P*0221,2121,2121,221,222 ,212 ,212 ,22 ,22 sin,2 sincos2 sincos ,2 cosiiiiiiiiiiiiiiiiKKKKKKKK刚度矩阵的它元素保持不变，载荷列向量没有变化。刚度矩阵的它元素保持不变，载荷列向量没有变化。0=01=sin2=cos120ijaa多点约束方程：多点约束方程：有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院弹性轴与弹性轴套的压装配合弹性轴与弹性轴套的压装配合盈配合盈配合接触
26、点径向位移分别为接触点径向位移分别为ai和和aj满足约束条件满足约束条件jiaa*TT21+2jiaa-（- - ）a Ka a P*02 ,22 ,2iiiiijijjijijjjjKKKKKKKK22iijjPPPP刚度矩阵和载荷列向量的其它元素保持不变刚度矩阵和载荷列向量的其它元素保持不变0=1= 12=1120ijaa多点约束方程：多点约束方程：有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院弹性支座弹性支座弹簧发生变形时的势能弹簧发生变形时的势能212iUka*TT211+22ika-a Ka a P*01112111121222221212+jnjiiiiiniinnnjnnnnKKK
27、KaPKKKaPKKKkKaPKKKKaP只需将弹簧的刚度系数加到刚度矩阵中对应自由度对角元素上只需将弹簧的刚度系数加到刚度矩阵中对应自由度对角元素上有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院max1b最大拉应力理论最大拉应力理论123()b 最大正应变理论最大正应变理论适用于适用于铸铁、石料、混凝土等脆性材料铸铁、石料、混凝土等脆性材料。材料脆性破坏材料脆性破坏，应用较少。，应用较少。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院13s最大剪应力理论最大剪应力理论最大剪应力引起塑性材料屈服最大剪应力引起塑性材料屈服, Tresca屈服准则。屈服准则。仅适用于拉伸和压缩屈服极限相同的塑性材料。
28、仅适用于拉伸和压缩屈服极限相同的塑性材料。Tresca等效应力等效应力2221223311()() () 2s畸变能密度理论畸变能密度理论畸变能密度引起塑性材料屈服畸变能密度引起塑性材料屈服，Mises屈服准则屈服准则。实验结果吻合较好，在工程中得到了广泛的应用实验结果吻合较好，在工程中得到了广泛的应用。Mises等效应力等效应力ABAQUS等软件输出结点和积分点应力分量、主应力和等软件输出结点和积分点应力分量、主应力和Mises等效应力等效应力。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限元模型是否合理直接影响有限元计算的精度、计算时间（代有限
29、元模型是否合理直接影响有限元计算的精度、计算时间（代价）、所需计算机硬件条件（如内存和外存容量）等。价）、所需计算机硬件条件（如内存和外存容量）等。1 1模型控制数据模型控制数据结点结点总数、单元总数、材料类型总数、载荷总数、总数、单元总数、材料类型总数、载荷总数、结点结点空间空间坐标维数、坐标维数、结点结点自由度数、单元自由度数、单元结点结点数等。数等。2 2材料特性数据材料特性数据杨氏模量、泊松比杨氏模量、泊松比、密度密度有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院3. 结点结点数据数据（1）结点结点编号：编号：离散结构网格的每一个离散结构网格的每一个结点结点编号编号。带宽取决于带宽取决于
30、单元中最大单元中最大结点结点编号与最小编号与最小结点结点编号之差。编号之差。（2）结点结点坐标：坐标：每一个每一个结点结点的空间坐标。的空间坐标。4. 单元数据单元数据（1）单元编号：）单元编号：离散结构网格每一个单元编号。离散结构网格每一个单元编号。（2）单元定义：）单元定义：每一个单元所包含的所有每一个单元所包含的所有结点结点，单元局部，单元局部结点结点编编号与整体号与整体结点结点编号之间的对应关系。编号之间的对应关系。5. 边界条件数据边界条件数据（1）位移约束数据：）位移约束数据：结点和结点和自由度，给定位移零位移或非零位移。自由度，给定位移零位移或非零位移。（2）载荷数据：）载荷数据
31、：结点结点载荷、面载荷载荷、面载荷、体力载荷，大小、位置和方向。体力载荷，大小、位置和方向。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院受均匀拉伸的矩形受均匀拉伸的矩形平板及其模型简化平板及其模型简化八角形管道及其八角形管道及其模型简化模型简化模型中尖角的处模型中尖角的处理理有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院网格数量、网格疏密、单元阶次网格数量、网格疏密、单元阶次、网格质量网格质量网格数量网格数量网格数量增加，计算结果精度提高，增加计算分析的规模和时网格数量增加，计算结果精度提高，增加计算分析的规模和时间。在满足精度要求的前提下，尽量采用较少数量的网格。间。在满足精度要求的前提下，尽
32、量采用较少数量的网格。网格疏密网格疏密不同部位采用不同大小的网格不同部位采用不同大小的网格应力集中区域应采用较密集的网格应力集中区域应采用较密集的网格应注意疏密网格之间的过渡应注意疏密网格之间的过渡形状复杂的二维结构可以选择三角形，三维问题可选择四面体弹单形状复杂的二维结构可以选择三角形，三维问题可选择四面体弹单元。对于形状较规则的结构则尽量选择四边形单元或六面体单元。元。对于形状较规则的结构则尽量选择四边形单元或六面体单元。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院单元阶次单元阶次高阶单元的曲线或曲面边界，更好逼近结构的边界曲线或曲面高阶单元的曲线或曲面边界，更好逼近结构的边界曲线或曲面高
33、阶插值函数能更好地逼近复杂的函数高阶插值函数能更好地逼近复杂的函数增加网格数量和提高单元阶次都可以提高计算精度，在增加网格数量和提高单元阶次都可以提高计算精度，在结点结点总总数相同的情况下，增加单元阶次的效果更理想。数相同的情况下，增加单元阶次的效果更理想。网格质量网格质量边角点位于边界等分点附近边角点位于边界等分点附近单元各边和各个内角差别不大单元各边和各个内角差别不大网格表面不过分扭曲网格表面不过分扭曲有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院实体有限单元分析方法实体有限单元分析方法平面问题平面问题euNaexNxT11(,)(,)(,)qqnnepqpqpqpqpqH Ht KBDBJ
34、Tb11(,)(,)qqnnepqpqpqpqH Ht PNf JTS1( ,)( ,)(1)qneqqqqHCtL CC PNt1212000000nnNNNNNNN12121122000000nnnnNNNxxxNNNyyyNNNNNNyxyxyxB有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院轴对称轴对称问题问题euNa1212000000nnNNNNNNNe Nxx000000000iiiiiiiiiiiiiiiNNNrrrNNNzzzNNNNNNzrzrzrNNNrrrBT11=2(,)(,) (,)(,)qqnnepqpqpqpqpqpqH Hr KBDBJTb112(,)(,)(,
35、)qqnnepqpqpqpqpqH Hr PNfJTS12( ,)( ,)(1)qneqqqqHCL CC PNt1122F222nrrrFFPFF有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院三维三维问题问题euNa111000000000000nnnNNNNNNNexNx111111111000000000000000000nnnnnnnnnNNxxNNyyNNzzNNNNyxyxNNNNzyzyNNNNzxzx BT111(,)(,)(,)pqrnnnepqrrqprqprqppqrH H H KBDBJTb111(,)(,)pqrnnnepqrrqprqppqrH H H PNf JTS
36、11=( ,)( ,)(1)qqnnepqqpqppqH HCL CC PNt有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限元解有限元解的的性质性质应变和应力比位移的精度低一阶应变和应力比位移的精度低一阶有限元解有限元解的的误差误差结构离散、单元插值函数的阶次、数值积分、计算机截断误差结构离散、单元插值函数的阶次、数值积分、计算机截断误差存在最佳应力（应变）点存在最佳应力（应变）点（GaussGauss积分点）积分点）应力精度的改进应力精度的改进自适应分析方法自适应分析方法单元平均单元平均结点平均结点平均应力磨平应力磨平有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限元有限元建模建模方法方法特殊边界的处理特殊边界的处理多点约束（多点约束（MPCMPC）边界条件边界条件的处理的处理 （罚函数法罚函数法）