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1、课程主讲人：第8章 板壳结构力学问题有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 薄板弯曲基本理论薄板弯曲基本理论受横向力和弯曲载荷作用的平板受横向力和弯曲载荷作用的平板基本假设基本假设中面（中面（z=0）上的）上的点点面内面内位移位移为零为零( , ,0)0,( , ,0)0u x yv x y垂直于中面的法线上的点具有相同的竖向位移垂直于中面的法线上的点具有相同的竖向位移( , , )( , ,0)( , )w x y zw x yw x y垂直于中面方向的正应力垂直于中面方向的正应力可以忽略不计
2、可以忽略不计0z变形前正交于板中面的直线变形后仍正交于中面且长度不变变形前正交于板中面的直线变形后仍正交于中面且长度不变0z0, 0, 0zyzxz有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院板中面外的其它点板中面外的其它点的的面内面内位移位移( , , )( , ),( , , )( , )xyu x y zzx yv x y zzx y ,xywwxy直法线假设直法线假设薄板中任意一点的位移薄板中任意一点的位移( , )( , , )( , )( , )( , , )( , )( , , )( , )xyw x yu x y zzx yzxw x yv x y zzx yzyw x y z
3、w x y 薄板的变形特征薄板的变形特征有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院22222002xxyyxywuxxxvwzzzzwyyyvuwxyyxx y LL =xzyzwuwwxzxxwvwwyzyy0 板中任意一点的应变板中任意一点的应变广义应变广义应变（曲率和扭率表达曲率和扭率表达）22222002()xxxyyyxyyxwxxxwwyyywyxx yyx LLz 横向横向剪切应变剪切应变为零为零有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院面内应力分量面内应力分量2222222222222()()11()()112xxyyyxxyxyEEzwwxyEEzwwyxwGGzx y
4、薄板微元体及应力分布薄板微元体及应力分布有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院广义应力应变关系（本构关系）广义应力应变关系（本构关系）222022222202222202d()d()d2(1)ttxxttyyttxyxywwMz zDxywwMz zDyxwMz zDx y )1 (12230EtD=xyxyMMM MDLD010101002DD板的抗弯刚度板的抗弯刚度板的抗弯刚度板的抗弯刚度矩阵矩阵有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院平衡方程平衡方程0zF +( , )0yxQQq x yxy0 xM +0 xyyyMMQxy0yM 0yxxxMMQyxT+ ( , )=0 x
5、yQq x yqQxyQ000 xxyyxyMQxyMQMyxTL MQ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院基本方程基本方程z = MDLDT0qQ0TL MQ几何方程几何方程本构方程本构方程平衡方程平衡方程板弯曲问题的三种边界条件板弯曲问题的三种边界条件外力边界外力边界n:法向；法向；s:切向切向位移边界位移边界,nnssww,nnnsnsnnMMMMQQ混合边界条件混合边界条件0,0,0nnswMM或或0,0,0nswM有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院板板的的边边界界条条件件有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院弹性薄板的弯曲应变能弹性薄板的弯曲应变能T11()d
6、d22xxyyxyxyVVUVV 板弯曲时为平面应力状态，其应力和应变关系为板弯曲时为平面应力状态，其应力和应变关系为210=10=11002xxyyxyxyEDTT2T2T223TTT1111dddd d d2222111d dd dd d12222ttVVVAAAAUVVzVzx y ztx yx yx y DD D D DM = DLDM系统的势能泛函系统的势能泛函Tp1()d dddd2ntsnnsnsnASSSqwx yMSMSwQ S D有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院离散化：离散化：2 基于薄板理论的平板单元基于薄板理论的平板单元ew Na结点变量结点变量,() ,(
7、)iiiwwwxy插值函数插值函数212345wxyxxy绕绕y轴轴的转角的转角：绕绕x的的转角转角：xwxywy( ) ,() ,()(1,2,)iixiiyiiwwwwinxyT12enaaaaTT()(),(1,2, )iixiyiiiiwwwwinxya有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院0peeeK a = P=,=nsnsNNNNb=eew LL NaB a w wxwypTbbd deeAx yK =B DBTTTTd d()deennsnsnASq x yMMQSNP =NNN有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院结点位移：结点位移：T4321aaaaa e对板的
8、中面进行离散，中面以外其它点的位移由中面挠度计算得到对板的中面进行离散，中面以外其它点的位移由中面挠度计算得到。矩形矩形4结点单元结点单元TT()(),(14)iixiyiiiiwwwwixya有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院单元位移插值模式：单元位移插值模式：代入结点位移和坐标：代入结点位移和坐标：22312345672233389101112wxyxxyyxx yxyyx yxy P eaC 2223245789111222323568910111223232233xywxyxxyyx yyxwxyxxyyxxyy22322333111111111111111122231111
9、11111223211111111122324444444441010203203001020232=001020232xyxx yyxx yx yyx yx yxyxx yyx yyxyxx yyxx yxyxx yyxx yC有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院eaC 1eC a 1eewPPC aNa 1234NNNNN223223331xyxxyyxx yxyyx yxyP123iiiiNNNN利用坐标变换利用坐标变换()/ ,()/ooxxayybxo和和yo为单元中心点的整体坐标为单元中心点的整体坐标12222321(1)(1)(2)8(1)()(1)8()(1)(1)8i
10、iiiiiiiiiiNbNaN 222222222211,xayb有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院222b222ewxwywx y B a 1234212223222212223bbbbbb222212223,222iiiiiiiiiiNNNyyyNNNxxxNNNx yx yx y BBBBBBp0eeeK a = PTbbd deeAx yK =B DB1112221234333,d deiiizeeeeeeiiiixAyiiiNNNyxqNNNmx yyxmNNNyxP = PPPPPT111222333444T1111441212412124121241212ezxyzxy
11、zxyzxyPMMPMMPMMPMMababababqabP =仅作用有竖向均布载荷仅作用有竖向均布载荷q q有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院收敛性检查收敛性检查a）完备性检查）完备性检查刚体位移：刚体位移：z 向刚体位移向刚体位移绕绕 y 轴刚体转动轴刚体转动绕绕 x 轴刚体转动轴刚体转动常应变：常应变：满足完备性要求。满足完备性要求。b）连续性检查）连续性检查ywxw,w 连续；连续；一般不连续。一般不连续。非协调单元非协调单元123xy22456xxyy222465222,2,22xyxywwwxyx y 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院讨论：讨论：a a）为非协
12、调单元。）为非协调单元。b b）能通过分片试验，能收敛于精确解，但收敛不是单调的。）能通过分片试验，能收敛于精确解，但收敛不是单调的。c c）不能推广到一般的四边形单元。）不能推广到一般的四边形单元。三角形三角形3 3结点单元结点单元1233 3结点，结点，9 9个参数每个结点自由度：个参数每个结点自由度：yixiiw,若用完备三次项，应包含若用完备三次项，应包含1010项项用面积坐标构造位移函数用面积坐标构造位移函数可以证明：当可以证明：当c=1/2c=1/2时，满足常应变要求；时，满足常应变要求；,wwxyw 协调；协调；不协调。不协调。非协调单元非协调单元2211223342112352
13、11232226231237231238131232913123()()()()()()wLLLL LcL L LL LcL L LL LcL L LL LcL L LL LcL L LL LcL L L有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 厚板弯曲基本理论厚板弯曲基本理论基本假设基本假设变形前正交于板中面的直线变形后仍变形前正交于板中面的直线变形后仍为直线，为直线，其它三个假设与薄板相同其它三个假设与薄板相同。厚板界面的转动关系厚板界面的转动关系中面位移：中面位移：中面外其它点位移中面外其它点位移( , ,0)0,( , ,0)0u x yv x y( , ,0)( , )w
14、x yw x y( , , )( , ),( , , )( , )xyu x y zzx yv x y zzx y 中面法线的转角中面法线的转角( , , )( , ,0)( , )w x y zw x yw x y,xxyywwxy有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院板中任意一点的应变板中任意一点的应变00 xxyyxyuxxvzzyyvuxyyx L =xzxyzywuwxzxwwvwyzy 层间层间剪切应变剪切应变00()xxxyyyxyyxxxyyyxyx L曲率和扭率曲率和扭率（广义应变）（广义应变）有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2222()()11()()11
15、()yxxxyyxyyxyxxyxyEEzxyEEzyxGGzyx 板的面内应力状态为平面应力状态板的面内应力状态为平面应力状态厚板厚板微元体及应力分布微元体及应力分布有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院平衡方程平衡方程202202202d()d()d(1)()tyxtxxtyxtyytyxtxyxyMz zDxyMz zDyxMz zDyx )1 (12230EtD2222d()d()ttxxzxzxttyyzyzywQzkGtkGtxwQzkGtkGtyk为为截面剪切校正因子截面剪切校正因子抗弯刚度抗弯刚度通过修正的剪应变能等于按实际剪应通过修正的剪应变能等于按实际剪应力和剪应变计
16、算得到的应变能相等，力和剪应变计算得到的应变能相等，可得到矩形截面的可得到矩形截面的k=5/6。,xzxzyzyzGG抛物线分布抛物线分布,xzxzyzyzkGkG有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院=xyxyMMM MDLD()()xyQwwQQ010101002DD10=01kGtkGtII广义应力应变关系广义应力应变关系（本构方程）（本构方程）T+ ( , )=0 xyQq x yqQxyQ000 xxyyxyMQxyMQMyxTL MQ平衡方程平衡方程有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院板的应变能板的应变能1()d211()d()d22xxyyxyxyxzxzyzyzV
17、xxyyxyxyxzxzyzyzVVUVVV 弯曲应变能弯曲应变能剪切应变能剪切应变能TT111()dd d()d d222xxyyxyxyVAAVx yx y DLDLTT22TTTT111()ddd d2221011d dd d012211d d()()d d22ttxzxzyzyzVVAAAAAVVx ydztx ytkGx yx ywwx y 10=01xzxzyzyzkG 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院板的板的势能泛函势能泛函TTp11()d d()()d d22d ddddntsAAnnsnsnASSSx ywwx ywq x yMSMSwQ SLDL第一项第一项：弯
18、曲应变能弯曲应变能第二项第二项：剪切应变能剪切应变能后几项后几项：外力势外力势其中挠度和转角均为独立变量，由此其中挠度和转角均为独立变量，由此构造的有限元格式适用于较厚的平板构造的有限元格式适用于较厚的平板弯曲问题。该类单元的位移和转动各弯曲问题。该类单元的位移和转动各自独立插值，称为自独立插值，称为 Mindlin板单元板单元。板很薄时，忽略层间剪切变形板很薄时，忽略层间剪切变形可以理解为剪切刚度可以理解为剪切刚度G =kGt 罚函数法罚函数法第二项可以理解为利用罚函数法引入薄板约束条件第二项可以理解为利用罚函数法引入薄板约束条件=w0 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院插值：插值
19、：C C0 0连续函数，二维连续函数，二维C C0 0型插值函数均可。型插值函数均可。TT1212,enniixiyiNNNwIIINaaaaa2 Mindlin板单元板单元Texyw Nab()xyeyxxyyx LB a12bbbbb00,000niiiiiNxNyNNyxBBBBB有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院s=xeywxwwy B a12sssss0,0iiisiiNNxNNyBBBBB由驻值条件由驻值条件p0bs()eeeeeeK aKKaPTTbbbsssd d ,d deeeeAAx yx yKB DBKB DBTTT00 d dd0d00eeeentsnexAS
20、SSyqQx yMSSM PNNN有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院剪切锁死和零能模式剪切锁死和零能模式当板很薄时，当板很薄时， 为避免剪切锁死，为避免剪切锁死，Ks需奇异。需奇异。 采用减缩积分可能致使采用减缩积分可能致使K K奇异，使解答中包含除刚体运动之外的且奇异，使解答中包含除刚体运动之外的且对变形能无贡献的变形模式对变形能无贡献的变形模式零能模式零能模式a a）MidlinMidlin板单元保证板单元保证K K非奇异的必要条件非奇异的必要条件ebbessMndMndNMe：单元数；：单元数；sbnn ,：高斯积分点数；：高斯积分点数；sbdd ,：弯曲应变和剪切应变分量数；
21、：弯曲应变和剪切应变分量数；N：系统独立自由度数。系统独立自由度数。b b）保证）保证KsKs奇异性的充分条件奇异性的充分条件essMndN=kGt 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院积分方案的选择积分方案的选择bs,KK分别采用不同阶次的积分方案。分别采用不同阶次的积分方案。应用中的处理应用中的处理实际应用和通用程序中，普遍采用减缩积分方案。实际应用和通用程序中，普遍采用减缩积分方案。零能位移模式的出现：板较厚且单元较少，边界约束较少时容易出现。零能位移模式的出现：板较厚且单元较少，边界约束较少时容易出现。较厚板：精确积分，不会出现零能模式和锁死。较厚板：精确积分，不会出现零能模式
22、和锁死。应用中应用中薄板分析时薄板分析时，推荐采用推荐采用4 4结点和结点和9 9结点结点LagrangeLagrange单元单元。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 弹性薄壳基本假设（弹性薄壳基本假设（Kirchhoff-Love假设）假设） 直法线假设直法线假设 在变形前正交于壳体中面的直线，变形后仍然为正交于中面的直在变形前正交于壳体中面的直线，变形后仍然为正交于中面的直法线段，且保持长度不变。法线段，且保持长度不变。0, 0, 0zyzxz 切平面应力假设切平面应力假设正应力正应力z比应力分量比应力分量xyyx,小得多，相对而言可以忽略，即：小得多，相对而言可以忽略，即：0
23、z有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院模拟一般三维空间壳结构的平面壳体单元模拟一般三维空间壳结构的平面壳体单元用三角形单元组成曲壳用三角形单元组成曲壳用矩形单元组成曲壳用矩形单元组成曲壳用三角形和矩形组合代替曲壳用三角形和矩形组合代替曲壳有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院壳体与平板的异同壳体与平板的异同a a）相同点）相同点a a）厚度方向的尺度比其它两个方向小得多）厚度方向的尺度比其它两个方向小得多b b）均使用）均使用KirchhoffKirchhoff假设假设b b）不同点）不同点平板：平板：u，v 位移位移 平面应力（薄膜应力状态）平面应力（薄膜应力状态） 与弯曲状态
24、不耦合。与弯曲状态不耦合。壳体：壳体：u，v，w 同时发生，弯曲状态与薄膜状态相互耦合。同时发生，弯曲状态与薄膜状态相互耦合。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 局部坐标系下的平板单元局部坐标系下的平板单元平面壳元平面应力单元平板弯曲单元平面壳元平面应力单元平板弯曲单元结点位移：结点位移：ziyixiiiiwvu,结点力：结点力：ziyixiiiiMMMWVU,1 1）平面应力状态（薄膜应力状态）平面应力状态（薄膜应力状态）三角形平面薄壳单元的三角形平面薄壳单元的结点位移和结点力结点位移和结点力33mmm11iiiiiiiuuvv NN a3Tmm1,iixyxyiB aTmm
25、mm()d deijijAx yKBD B有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 2）平板弯曲状态）平板弯曲状态在局部坐标系下在局部坐标系下0zi在整体坐标系下在整体坐标系下0ziTziyixiiiiiwvua3Tbbb1,() ,()iiiiiiiixyxiyiiwwwwxyN aaT2223bb221,2iiiwwwxyx y B aTbbbb()d dijijx yKBD Bmb2101011002EtDD1112212211121321222331323300000000000000000000000mmmmbbbebbbbbbKKKKKKKKKKKKKK有限单元法基础 | 严
26、波重庆大学航空航天学院2 向整体坐标的转换向整体坐标的转换局部坐标系下局部坐标系下整体坐标系下整体坐标系下1 1）结点位移变换）结点位移变换L：正交矩阵：正交矩阵Tziyixiiiiiwvua平面壳单元局部坐标系和整体坐标系平面壳单元局部坐标系和整体坐标系TiiiixiyiziuvwaT00,iiiiaT aaT a00,0 xxxyxzyxyyyzzxzyzzlllllllllT有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 2）单元结点位移变换）单元结点位移变换3 3）单元刚度矩阵变换）单元刚度矩阵变换4 4）单元载荷向量的变换）单元载荷向量的变换组集刚度矩阵后特殊情况的处理：组集刚度矩阵
27、后特殊情况的处理：若汇交于结点若汇交于结点 i 的各单元在同一平面内，的各单元在同一平面内，0K处理方法处理方法：（：（1 1）在局部坐标系建立该点的平衡方程，删去）在局部坐标系建立该点的平衡方程，删去zi对应的方程对应的方程（2 2）在此点上给出任意的刚度系数）在此点上给出任意的刚度系数zK，不会影响计算结果。，不会影响计算结果。T,eeeeaTaaT a000000000TTTTTTTT0000,eeeeeeeeijijijijKTK TKT K TKT K TKT K TTT00,eeeeeeeeiiiiPTPPT PPT PPT P有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 几
28、何形状几何形状典型的厚壳单元典型的厚壳单元1,1三维实体单元用于壳体结构时，考虑到壳体在厚度方向的尺寸相对三维实体单元用于壳体结构时，考虑到壳体在厚度方向的尺寸相对于其它方向的尺寸很小，可以在厚度方向只设置两个结点。在引入于其它方向的尺寸很小，可以在厚度方向只设置两个结点。在引入壳体理论的基本假设之后，可以蜕化为壳体理论的基本假设之后，可以蜕化为超参数壳单元超参数壳单元。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院壳体单元中任意一点的坐标壳体单元中任意一点的坐标上式可改写为：上式可改写为：如果如果V3i与法线同向，与法线同向，i点处的壳厚度点处的壳厚度2223iiiiizyxt VV3i的单位
29、向量的方向余弦：的单位向量的方向余弦：TT33331iiiiiiiizyxtnmlv单元结点数：单元结点数：2n底结点到顶结点的向量底结点到顶结点的向量11tpbt(1)(1)( , )( , )22iinniiiiiiiixxxyNyNyzzz niiiiiiniiNzyxNzyx1312),(),(Vtpbt1()2iiiiiiiiixxxyyyzzz3333tpbtixiiiiiyiiiiziiiVxxxVyyyVzzz V有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 2 位移函数位移函数单元内任意点的位移：单元内任意点的位移：iiiiniiiiiiniitNvvuNwvu21112)
30、,(),(vviiiiiiiinmlnml22221111,vvii,是是v3i 绕绕v3i和和v3i的旋转。的旋转。与与 v3i 垂直并正交的单位向量垂直并正交的单位向量超参单元的局部和整体坐标及位移超参单元的局部和整体坐标及位移有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1212nnuvw aaNNNa位移插值表达式位移插值表达式Tiiiiiiwvua111111002200220022iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittNNlNlttNNmNmttNNnNnNiiiiiiiiiiyzzynml0122111331ViViviiiiiiiiiiiiiiiiizxyxzyzytn
31、ml2222222131321vVvVv单元结点位移数：单元结点位移数：nX5单元几何形状参数：单元几何形状参数：nX2X3超参单元超参单元i为为x坐标方向的单位矢量坐标方向的单位矢量i=1 0 0T有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院3 3 应变和应力应变和应力xwzuywzvxvyuyvxuxzzyyxyx根据壳体理论，局部坐标系下根据壳体理论，局部坐标系下0z计算壳体应变能涉及的应变为计算壳体应变能涉及的应变为xzzyyxyx局部坐标系和整体坐标系下的应变转换关系局部坐标系和整体坐标系下的应变转换关系TTTxyzxyyzzxuvwuvvwuwxyzyxzyzx有限单元法基础 |
32、严波重庆大学航空航天学院zzz222()(x x x xx y x yx z xx x x yx y x zx z x xy x y xy y y yy z y zy x y yy y y zy z y xz xxz y z yz z z zz xyz y z zz z z xx x y xx y y yx z y zx x y yx y y xx y ylllll llllll llllllllllllll llll ll llll llllll lllllllT)()222()()()222()()()zx z y yx z y xx x y zy x z xy y z yy z z zy
33、 x z yy y z xy y z zy z z yy z z xy x z zz x x xz y x yz z x zz x x yz y x xz y x zz z x yz z z xz x x zl ll llllllllllllllllllllll llll ll llllll ll ll l1uvwuvwxxxuvzuvwyyyuvwuvwzzzJxyzxyzxyzJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院12eenBBBaBa11111122222122333313121212111211222313131113112323232322131223200()()00()(
34、)00()()0()() ()() 0()() ()() 0()() ()() iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiNNNNNNNNN GGGGGGBGGGGGGGGGGGG1112jiiijjNNNJJ1312()22jjiiijiiiittJNN Gvv有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院k5/6,考虑剪切边沿考虑剪切边沿厚度方向不均匀分布的影响而引入的修正。厚度方向不均匀分布的影响而引入的修正。2100010001000021(1)00002(1)00002EkkD12eenTB aBBBaii BTBT xyx yy zz xD0z 有限单元法基础 | 严波
35、重庆大学航空航天学院4 4 单元平衡方程单元平衡方程TTTp1ddd2eeeeVVSVVSDu fu tTTxyzxyzffftttftp0eeeeK a = PTdeeVVKB DB111TTT111dd d deeijijiijVV B DKB DBB DB JTTbSbS,d ,deeeeeeeVSVSNNPPPPfPtT12=eeeenPPPPTeixiyiziiiPPPMMP =111TTb11111TTS11dd d ddd d(1)eeeiiiVeiiiSVSL PNfNf JPN tN t有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院超参壳元在引入一定的几何假设后和位移及转动各自
36、由度独立插超参壳元在引入一定的几何假设后和位移及转动各自由度独立插值的壳元等价。在计算单元刚度阵时，同样需保正值的壳元等价。在计算单元刚度阵时，同样需保正 K 非奇异，非奇异，K Ks s奇异。可采用奇异。可采用Mindlin Mindlin 板单元中讨论的各种方法解决板单元中讨论的各种方法解决“锁死锁死”问问题。实用中普遍采用减缩积分方案。题。实用中普遍采用减缩积分方案。TTTmbmbmbsssmbsd()deeeeeVVvVKB DBBD BB D BKK单元刚度矩阵可以分解为薄膜单元刚度矩阵可以分解为薄膜- -弯曲和横向剪切两部分弯曲和横向剪切两部分mbs2101010,0111002E
37、GDD有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 轴对称壳的基本公式轴对称壳的基本公式1 1）壳体中任一点的应变）壳体中任一点的应变a a）中面广义应变）中面广义应变)1cossincossin1(2)(sincos1)()sin(1)cossin(12222222urRrsvrwrswrRuswrvrwrRuswsvursvwuvrRwsussssssss有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院b b）中面外任意一点的应变）中面外任意一点的应变sszszsszszzz)()()(,（z：离中面的距离）：离中面的距离）2 2）广义内力分量和应力分量（假设应力沿壳厚度方向线性变化）广
38、义内力分量和应力分量（假设应力沿壳厚度方向线性变化）ztMtNztMtNztMtNMMMNNNssssssssss333T12,12,123 3）广义应力和广义应变之间的弹性关系）广义应力和广义应变之间的弹性关系222210000100001000002000001120000012(1)0000024ssssssssNNNEttMMtMt222210000100001000002000001120000012(1)0000024EttttD有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院将变形分解为薄膜状态和弯曲状态将变形分解为薄膜状态和弯曲状态广义应力应变关系广义应力应变关系DTTmb,sss
39、sNNNMMMTTmb,ssss2mbm21010,1121002EttDDDmmmbbb,00DDDmmmbbb,D D 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院dd1( sincos )dd()ddsind()dsssssuwsRuwrwussRwursR222221001000011212001212ssssNNEtttMMtt4 4）载荷和边界条件对称时的简化）载荷和边界条件对称时的简化周向位移周向位移0, 0, 0, 0, 0ssssMNvu，w 仅为仅为s的函数，的函数，与与 无关。无关。壳体的应变能壳体的应变能势能势能TTTmmmbbb111ddd222VVVUVVV DD
40、D ppUE有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院考虑剪切变形的轴对称壳体理论的基本公式考虑剪切变形的轴对称壳体理论的基本公式dd1( sincos )ddsinddssssuwsRuwrsrwusRTVMMNNssD2mm2s1,11125,2(1)6bEttEtDkkDDD应变能应变能mb,ssmmbbss00000000DDDDDDTTTmmmbbb1111dddd2222sVVVVUVVVDV DD D 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 2 基于薄壳理论的轴对称单元基于薄壳理论的轴对称单元结点位移结点位移Tiiiiwua单元结点位移单元结点位移T21aaa e单元中
41、任意一点在局部坐标系下的位移模式单元中任意一点在局部坐标系下的位移模式36254321,ssswsu将结点将结点1 1，2 2处的处的iiiswwu)dd( ,代入，可得代入，可得61114131122323345624562d,()d,d,23()deeeeeeewuswlwlllwlllsle：截锥单元经线的长度。：截锥单元经线的长度。轴对称截锥壳单元轴对称截锥壳单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院232323231112221000001 32(2)032()d()dd()deeuwlluwwsuwws u位移表达式位移表达式局部坐标系下位移与整体坐标系下位移的变换关系局部坐
42、标系下位移与整体坐标系下位移的变换关系/es lcossin0sincos0d001()diiiiiiiuuwwws Ta有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院位移插值表达式位移插值表达式2 2结点直线单元，结点直线单元，01sR代入代入12eeuN TN T aNa123232232310001 32(2)00032( 2)eell NNdd1( sincos )dd()ddsind()dsssssuwsRuwrwussRwursR12eeuN TN T aNa12eeBTB T aBa有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院23232222100sincoscos(32)()11
43、0( 6 12 )( 26 )sinsin0( 66)( 23)eeeelLrrrllrlr B23231222100sincoscos(1)(1 32)(2)110( 6 12 )( 46 )sinsin0( 66)(1 43)eeeelLrrrllrlr B1sinerrl有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院利用最小势能原理或加权残值法可得平衡方程利用最小势能原理或加权残值法可得平衡方程单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：1T02deerlKB DB单元等效结点载荷：单元等效结点载荷：用一维高斯数值积分，通常用一维高斯数值积分，通常3 34 4点积分可达足够精度。点积分可达足够精度。优点：
44、表达式简单，精度较好。应用较广。优点：表达式简单，精度较好。应用较广。缺点：用直线代替曲线，有时会产生较大误差。任有必要研究曲边单元。缺点：用直线代替曲线，有时会产生较大误差。任有必要研究曲边单元。11122122eeeeeKKKKK1TT0(d ) 2(1,2;1,2)eeijijrlijDKTBBT1T02d(1,2)iiiueeiwiPPlriPPNp有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院3 3 位移和转动各自独立插值的轴对称壳单元位移和转动各自独立插值的轴对称壳单元 22211112,1,/iiiiiiiiieuN uwN wNNNs l 截面转动截面转动是对立函数，在整体坐标系
45、下构造插值函数是对立函数，在整体坐标系下构造插值函数dd1( sincos )ddsinddssssuwsRuwrsrwusR代入代入1122eaBBBaa考虑剪切变形影响的轴对称壳单元考虑剪切变形影响的轴对称壳单元cossinsincosuuww 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院Tddcossin0dd00d,(1,2)00d00sinddsincosddiiiiiiiiiiiiiNNssNrNuwisNrNNNssBa代入泛函并利用极值条件可得代入泛函并利用极值条件可得1T02deerlKB DB12dd11,ddeeNNslsl 11122122eeeeeKKKKK1T02d
46、( ,1,2)eeijijrli jKB DB有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院可将可将Ke分解分解mbseeeKKK1Tmbmbmbmb01Tssssss0d 2d 2eeeeerlDrlD KBD BKB BK102d(1,2)eisiNriPp,iiiuueiwwPpPppPPp轴向分布载荷轴向分布载荷单元的结点载荷单元的结点载荷径向分布载荷径向分布载荷分布力矩分布力矩有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院讨论：讨论：类似于类似于TimoshenkoTimoshenko梁和梁和MindlinMindlin板板要求：要求：K非奇异，非奇异，esK奇异。奇异。可采用：减缩积分
47、、选择积分、假设剪切应变法等。可采用：减缩积分、选择积分、假设剪切应变法等。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院轴对称轴对称3 3结点二次曲边壳单元结点二次曲边壳单元3311,i iiiiirN rzN z123(1)(1 2 ),(21),4 (1)NNN333111,iiiiiiiiiuN uwN wN332222ddddd()()()()dddddiiiiiiNNsrzJrz坐标和总体坐标系下的位移及转动坐标和总体坐标系下的位移及转动采用相同的插值表达式采用相同的插值表达式轴对称二次曲边单元轴对称二次曲边单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院33ddd1 d1d1 d1
48、cossinddddddiiiiiiNNzzrrzrsJJsJJ，1T02d ,(1,2,3)eijijrJiKB DB102d ,(1,2,3)eiiNrJiPp最后可得最后可得注意：注意：（1 1）结点）结点3 3的位移可以凝聚掉。的位移可以凝聚掉。（2 2）为保证）为保证K Ke e的非奇异性和的非奇异性和K Ks s的奇异性，应选择两点高斯积分方案。的奇异性，应选择两点高斯积分方案。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 板单元的几何刚度矩阵板单元的几何刚度矩阵板单元面内应力板单元面内应力挠度挠度w在中面内引起的附加应变在中面内引起的附加应变2211() ,() ,22ww
49、xyxywww wxyxy厚度方向上任意一点的弯曲产生的应变厚度方向上任意一点的弯曲产生的应变22222,2bbbxyxywwwzzzxyx y 板中面位移板中面位移u、v而产生的应变而产生的应变,tttxyxyuvuvxyyx有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院板单元内任意一点的应变板单元内任意一点的应变（三项之和三项之和）22222221=()21=()2=2xyxyuwwzxxxvwwzyyyuvww wzyxx yxy 弹性薄板的弯曲应变能弹性薄板的弯曲应变能222222220222222()()22(1)() d21+()()2d2eAxyxyADwwwwwUAxyxyx y
50、www wtttAxyxy ,xyxyttt板中面的内力板中面的内力板中面上因面内载荷作用板中面上因面内载荷作用产生的初始应力产生的初始应力,xyxy 对应的应变能对应的应变能T1d2xxyAxyywwxxt Awwyy有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院挠度位移插值挠度位移插值ew Na22222=2ewxwywx y Ba ewxwy ga22222,xxyyx y NNNBgNNTTbbg1122eeeeeeeU aK aaK aTbdeeAAKB DBTgdexxyeAxyyt AKgg板弯曲的应变能板弯曲的应变能薄板的几何刚度矩阵薄板的几何刚度矩阵有限单元法基础 | 严波重庆