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1、6.5 三角形内角和定理的证明认识推理v 所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理，归纳推理善于发现结论。v 例如:在一个平面内，直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，平面内的一切三角形内角和都是180度。v 演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理。演绎推理有三段论、假言推理和选言推理等形式归纳推理依靠演绎推理来验证自己的
2、结论证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:(1)理解题意理解题意:分析命题的题设分析命题的题设(已知已知),结论结论(求证求证); 回顾与思考回顾与思考(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”;(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路;(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.证明证明:过点过点A作作PQBC,则则ABC1=B(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),2=
3、C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),又又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义), BAC+B+CC=1800 (等量代换等量代换).PQ231三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的三个内角和是：三角形的三个内角和是180已知已知:如图如图ABC.求证求证:A+B+C=A+B+C=1800.证法一证法一已知已知:如图如图ABC.求证求证:A+B+C=A+B+C=1800.证明证明:作作BC的延长线的延长线CD,过点过点C作作CEAB,则则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?1=A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),
4、2= B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等). 又又1+2+33=1800 (平角的定义平角的定义), A+B+ACBACB=1800 (等量代换等量代换).这里的这里的CD,CE称为称为辅助线辅助线,辅助辅助线通常画成线通常画成虚线虚线.ABCE213D证法二证法二ABC证明证明：过：过A作作AEBC，EB=BAE(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) EAB+BAC+C=180(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+C+BAC=180 (等量代换等量代换)证法三证法三ABCPQR证明证明：过点：过点P作作PQ AC交交AB于于Q点，点， 作作PR AB交交A
5、C于于R点。点。四边形四边形AQPR是平行四边形是平行四边形 （平行四边形的定义）（平行四边形的定义） QPR= A （平行四边形的对角相等）（平行四边形的对角相等） RPC= B（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） QPB= C（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） QPB+ QPR + RPC=180 （1平角平角=180 ） A+ B+ C=180 （等量代换）（等量代换）证法四证法四 EBC+ FCB=180 EBC+ FCB=180 （两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补） 即即1+ ABC+ ACB+4= 180 1+ ABC+ ACB
6、+4= 180 又又 BAC= 2+ 3BAC= 2+ 3 BAC + ABC + ACB= 180 BAC + ABC + ACB= 180 （等量代换）（等量代换）ABCEDF（123证明证明：过过A A点作射线点作射线ADAD，过点作，过点作BE ADBE AD，过，过C C点作点作CFADCFAD（两直线平行，内错角相等（两直线平行，内错角相等).).4（则则BE CFBE CF（平行与同一条直线的两直线平行）（平行与同一条直线的两直线平行）1=21=2，3=43=4证法五证法五根据下面的图形根据下面的图形,写出相应的证明写出相应的证明.你还能想出其它证法吗你还能想出其它证法吗?(1)
7、ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM试一试试一试三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .ABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.A+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以
8、直接运用. . ABC思考题：思考题：如图，已知AMN+MNF+NFC=360，求证：ABCD（用两种方法证明）DFNMBAC1、 如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证：BDC=BAC+B+CABCD1234证法一：证法一：在在ABD中中, 1180B3，在在ADC中中, 2180C4（三角形内角和定理），（三角形内角和定理），又又BDC36012（周角定义）（周角定义） BDC 360（ 180B3 ）（）（ 180C4 ） B+C+3+4. 又又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代换）（等量代换）练一练练一练证法二证法二： .).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接ABCD12