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1、课程主讲人：2.5投影变换如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的实形？如何求一般位置平面的实形？如何求两一般位置交叉直线的距离？如何求两一般位置交叉直线的距离？如何求两一般位置平面的夹角？如何求两一般位置平面的夹角？aabbXOVH如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的实形？如何求一般位置平面的实形？如何求两一般位置交叉直线的距离？如何求两一般位置交叉直线的距离？如何求两一般位置平面的夹角？如何求两一般位置平面的夹角？将直线转换成投影面的平行线将直线转换成投影面的平行线将平面转换成投影面的平行面将平面转换成投影面的平行面将其中
2、一条直线转换成投影面的垂直线将其中一条直线转换成投影面的垂直线将两平面的交线转换成投影面的垂直线将两平面的交线转换成投影面的垂直线改变几何元素相对投影面的位置，会改变几何元素相对投影面的位置，会简化简化问题的解决问题的解决投影变换投影变换：通过改变投影通过改变投影对象与投影面对象与投影面之间的相对位之间的相对位置关系，让投置关系，让投影对象的几何影对象的几何特征或相对位特征或相对位置关系能在投置关系能在投影图中得到准影图中得到准确、清晰的表确、清晰的表达，使得一些达，使得一些几何问题能够几何问题能够更方便地解决更方便地解决V/H投影体系中投影体系中的一般位置的一般位置直线直线AB，在新投在新投
3、影体系影体系V1/H中，成为中，成为V1面的平行线，可反应面的平行线，可反应AB线段的实长。线段的实长。V1面面与与H面垂直且与面垂直且与AB平平行，行，V1面面与与H面的交线为新面的交线为新坐标轴坐标轴O1X1。新投影面需要展开到与新投影面需要展开到与V面面共面，先将共面，先将V1面面绕绕O1X1轴展轴展开至与开至与H面共面，再随面共面，再随H面面绕绕OX轴展开至与轴展开至与V共面共面。设立新投影面是为了便于解决V/H体系中的几何问题，因此，新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：基本条件一：新投影面必须垂直于原投影体系中不更换的投影面。上图中，不更换的投影面为H，新投影面V1必须垂直于H。
4、基本条件二： 新投影面必须使空间几何元素在新投影体系中处于利于解决问题的位置。上图中，新投影面V1/直线AB，使AB在V1面上的投影反映实长。1.1.更换更换V V面的投影面的投影变换规律变换规律及作图及作图点A在V/H投影体系的投影为(a，a)，设立一个铅垂面V1为新的投影面，与H面构成V1/H投影体系，V1与H面的交线为新的投影轴，记为 O1X1。将点A向V1面投射，得到点A在V1面上的投影，记为a1。a1与a、a的关系分析如下：（1）a1与a的关系： a1与a的连线垂直于O1X1轴；（2）a1与a的关系： a到OX轴的距离 = a1到O1X1轴的距离 = 点A到H面的距离。更换更换V面面
5、更换更换H面面1.更换更换V面的投影变换规律及面的投影变换规律及作图作图画出O1X1轴从a向O1X1轴作垂线并延长在延长线上量取长度zA，确定a1的位置2.更换更换H面的投影面的投影变换规律变换规律及作图及作图b1与b、b的关系分析如下：（1）b1与b的关系： b1与b的连线垂直于O1X1轴；（2）b1与b的关系： b到OX轴的距离 = b1到O1X1轴的距离 = 点b到V面的距离。点B在V/H投影体系的投影为(b，b)，设立一个正垂面H1为新的投影面，与V面构成V/H1投影体系，V与H1面的交线为新的投影轴，记为O1X1 。将点B向H1面投射，得到点B在H1面上的投影，记为b1。画出O1X1
6、轴从b向O1X1轴作垂线并延长在延长线上量取长度yB，确定b1的位置2.2.更换更换H H面的投影变换规律及面的投影变换规律及作图作图点的投影变换规律：规律二：点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到被替换的轴的距离规律一：点的新投影与被保留的原投影的连线，垂直于新投影轴先遵循点的投影变换规律，完成点A在V1面上的投影画出O2X2轴从a1向O2X2轴作垂线并延长量取aaX1=a2aX2，确定a2的位置3.3.点的点的二次二次投影变换投影变换1.1.将一般位置直线变换为投影面的平行线将一般位置直线变换为投影面的平行线2.2.将一般位置直线变换为投影面的垂直线将一般位置直线变换为投影面的垂直线
7、3.3.将一般位置平面变换为投影面的垂直面将一般位置平面变换为投影面的垂直面4.4.将一般位置平面变换为投影面的平行面将一般位置平面变换为投影面的平行面1.1.将一般位置直线变换为投影面的平行线将一般位置直线变换为投影面的平行线一般位置直线经过一次变换，可成为投影面的平行线。新投影面H1垂直于投影面V且平行于直线AB。新投影体系V/H1内，a1b1反映直线的实长，a1b1与O1X1轴的夹角，反映AB直线与正立投影面V的倾角。2.2.将一般位置直线变换为投影面的垂直线将一般位置直线变换为投影面的垂直线经过两次变换，先平行再垂直。第一次变换通过更换V面，使直线AB成为新投影面V1面的平行线；第二次
8、变换以既垂直于V1、又垂直于AB的平面H2作为新投影面，直线AB为投影面垂直线。平行变换平行变换垂直变换垂直变换3.3.将一般位置平面变换为投影面的垂直面将一般位置平面变换为投影面的垂直面一般位置平面经过一次变换，可成为投影面的垂直面。 作水平线作水平线 作垂直关系作垂直关系的投影面的投影面新投影面既垂直于该一般位置平面，又垂直于某一投影面。因此，新投影面必须垂直于一般位置平面内的投影面的平行线。AD为一般位置平面ABC内一条水平线，新投影面V1垂直于AD，新投影轴O1X1 ad（直角投影定理），平面的积聚投影与O1X1轴的夹角为该平面对H面的倾角。4.4.将一般位置平面变换为投影面的平行面将
9、一般位置平面变换为投影面的平行面需经过两次变换，先垂直再平行。平面ABC的实形平面ABC的实形例例2-24 斜截长方体形成一个一般位置平面ABC，现需要在该平面指定位置加工一个10的圆柱孔。圆柱孔与ABC的交线为圆，其圆心D在AB的中垂线上，且距离直线AB为10，现已知ABC的两面投影，求出ABC的实形，以及交线圆的两面投影。分析：ABC是一般位置平面，求其实形，实质是求该平面的平行投影面上的投影。需通过二次变换（先垂直再平行）。求出实形后，在其上作出已知圆，根据投影关系，可求该圆的两面投影。椭圆的画法：一般位置平面上的圆， 在V/H投影体系，其两面投影都是椭圆。其中正面投影椭圆的长轴为经过圆
10、心的正平线，长度等于圆的直径；水平投影椭圆的长轴为经过圆心的水平线，长度等于圆的直径。两面投影的短轴都与长轴垂直，短轴的长度可利用换面法求出。例例2-25 2-25 已知两条管子处于交叉位置，试确定连接这两个管子的最短管子的长度和连接位置。（将这个实际应用问题归纳为几何问题，即：已知两条交叉直线AB和CD，求它们的公垂线MN的长度及投影。）分析：两交叉直线的公垂线与两条直线都垂直。如果其中一条直线垂直于投影面，则公垂线一定平行于该投影面，且反应实长。根据直角投影定理，在此投影面上，公垂线垂直于另一条直线。关键：通过两次变换将一般位置直线变为投影面的垂直线。第一步：通过两次变换求公垂线的实长第二步：求公垂线的投影例例2-26 四棱台的V/H两面投影如图所示。求四棱台表面ABCD与ABFE的夹角。分析：在V/H投影体系中，平面ABCD与平面ABFE皆为一般位置平面，交线AB为一般位置直线，无法在V或H面投影上直接量取两面夹角的真实大小。分析：如果将AB变换为投影面的垂线，则以AB为交线的两个平面一定都垂直于该投影面，在该投影面上积聚为两条直线，这两条直线的夹角即为两平面夹角的真实大小。 关键：通过两次变换将一般位置直线变为投影面的垂直线。第一步：将交线AB变换为投影面的平行线第二步：将交线AB变换为投影面的垂直线表面ABCD与ABFE的夹角