小学数学应用题建模教学研究.docx

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1、 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。本论文中除引文外，所有实验、数据和有 关材料均是真实的。本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人 或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的 贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 学位论文作者签名 : 曰 期： G 冲义 g ”3 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属南京师范 大学。学校有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网 公布本学位论文的部分或全部内容，可以采用影印、复印等手段保存、 纸质文档，允许论文被查阅和借阅。（保密论文在解密后遵守此规定

2、 ) 学位论文使用授权声明 保密论文注释：本学位论文属于保密论文，密级 : 密期限为 年。 学位论文作者签名 期：曰 指导教师签名 : m： 。 目前小学的一些建模教学许多只是一种对大学、中学的盲目跟风，缺乏对小 学数学建模自身特点的理性认识，或者只是蜻蜓点水式的研究，缺乏深入、系统 的思考、探索和研究。 基于此，本研究在对现有的文献理论研究进行了系统地梳理的基础上，针对 小学儿童的年龄特点、认知水平和小学数学自身的特点，对小学数学应用题建模 教学进行了一些系统深入的研究。 首先，从教育和教学的角度探寻小学数学应用题建模教学的价值和意义， 阐述了小学数学应用题进行建模教学的重要作用，深入说明小

3、学数学应用题进行 建模教学必要性和迫切性。 其次，根据小学阶段儿童学习的特点和小学数学自身的特点，建构小学数学 应用题中数学模型的几种类型及其发展，阐明模型类型的特点及其相应的教学， 使一线教师对其有着清晰的认识。 再次，在剖析小学数学应用题的几种基本数学模型的特点和发展基础上，阐 明小学数学应用题建模教学的主要特征，着重指出小学数学应用题建模教学与大 学、中学的区别，从而使一线教师对大学、中学的数学建模教学不盲目追风，而 是根据小学数学应用题建模教学自身的特点有针对性地进行教学。 最后，在明晰小学数学应用题建模教学的主要特征的基础上，阐明小学数学 应用题建模教学的基本策略，力求通过运用这些策

4、略进行有针对性地教学，逐步 培养起儿童初步的建模意识，促进小学儿童建模能力的提升，形成初步的建模思 想。 同时，阐述了小学数学应用题建模教学本身的局限性及在实验操作过程中的 社会制约性，指出教育评价改 革与教师队伍提升对于小学数学应用题建模教学的 迫切性。 关键词：小学数学；应用题；建模教学；主要特征；基本策略 Abstract Abstract Nowadays, some of the modeling teaching in primary school just blindly imitates the universities and secondary schools, while

5、 lacking rational cognition of the characteristics of the mathematical modeling in primary school, or just superficially does the research, while lacking in-depth, systematical thinking, exploring md research. Therefore, based on systematically clearing up the study of the existing literature and th

6、eory, aiming at the age traits, the cognitive level and primary school maftiematics traits of the pupils, this article is to conduct some systematically in-depth study on the modeling teaching of the primary school mathematics application questions. Firstly, the article probes the value and signific

7、ance of t the modeling teaching of the primly school mathematics application questions from the point of view of education and teaching, states the meaniags of conducting modeling teaching for the primary school application questions， and deeply describes ttie necessity and urgency of that. Secondly

8、, according to the characteristics of the children learning in primaiy school phase and primary school itself, this article builds a few types of the primary school mathematics application questions* mathematical models, indicates the characteristic of modeling types and its corresponding teaching,

9、and therefore makes the front-line teachers clearly understand it Thirdly, based on profiling the characteristics and development of several basic mathematical models of primary school mathematical application questions, this article states the main features of the modeling teaching of the primaiy s

10、chool mathematics application questions, highlights the difference of modeling teaching between primary mathematics application questions and that in the universities & secondary schools; therefore makes the front-line teachers not blindly imitate the mathematical modeling teaching in universities &

11、 secondary schools, but conduct well-targeted teaching according to the characteristics of the modeling teaching of primary school mathematics applications. Finally, on the basis of the perspicuity of the main features of the modeling teaching of primary school mathematics applications, this article

12、 expatiates on the II Abstract basic strategy of the modeling teaching of primary school mathematics applicationSj strives to well-targeted teach through the use of these strategies, facilitates the upgrading of the pupils modeling skills and forms a preliminary modeling thinking. In the mean time,

13、this article expounds the limitations of the modeling teaching of the primary school mathematics application questions and social constraints in the practice, and points out the urgency of the reform of the educational evaluation and advancement of the teachers9 capabilities for the modeling teachin

14、g of primary school mathematics applications. Key words: the primary school mathematics; application qixestions; modeling teaching; main features; basic strategy in 摘要 . I Abstract . II 目录 . 1 第一章前言 . 1 1. 1研究背景 . 1 1.1.1小学数学建模教学顺应时代的发展 . 1 1.1.2小学数学建模教学顺应了数学自身的发展 . 1 1.1.3小学数学建模教学顺应了儿童个体的发展 . 2 1.1

15、.4小学数学建模教学顺应了课改的发展 . 2 1.1.5小学数学建模教学合乎作者本人的旨趣 . 3 1. 2研究综述 . 3 1.2.1国外研究现状 . 3 1.2.2国觸究现状 . 4 1. 3概念界定 . 5 1.3.1数学模型 . 5 1.3.2数学建模 . 6 1.3.3小学数学建模 . 7 1.3.4小学数学应用题建模教学 . 8 1- 4研究方法 . 8 1.4.1文献分析 . 8 1.4.2行动研究 . 8 1. 5研究内容 . . . 9 第二章小学数学应用题建模教学的教育价值与教学意义 . 11 2. 1小学数学应用题建模教学的教育价值 . 11 2.1.1培养小学儿童主动探

16、索的习惯 . 11 2.1.2提高小学儿童合作交流的能力 . 11 2.1.3促进小学儿童解决实际问题的能力 . 12 2.1.4培养小学儿童创造性思维的能力 . 12 2. 2 小学数学应用题建模教学的教学意义 . 12 2.2.1培育初步的建模意识 . 12 2.2.2体验初步的建模过程 . 13 2.2.3形成初步的建模思想 . 13 第三章小学数学应用题中数学模型的发展及其建模教学 . 15 3. 1 小学数学应用题中的分类模型 . 15 3. 2小学数学应用题中的算术模型 . 18 3.2.1数学文字型模型 . 18 3.2.2图式模型。 . 19 3.2.3符号模型 . 22 3.

17、 3小学数学应用题中的代数模型 . 24 3.3.1线性组合式的模型 . 25 3.3.2倍数比例式的数学模型 . 25 3. 4小学数学应用题中的函数模型 . 26 第四章小学数学应用题建模教学的主要特征 - 30 4. 1教学目标的指向 基于小学儿童的建模意识与思想的培养 . 30 4. 2问题情境的设置 基于小学儿童的生活经验与认知水平 . 30 4. 3构建模型的过程 基于教师指导下的主动探索 . 32 第五章小学数学应用题建模教学的基本策略 . 37 5. 1立足教材内容，培养建模意识的教学策略 . 37 5.1.1改进教材，设置反映模型本质的生活原型 . 37 5.1.2抽象本质，

18、构建合理的数学模型 . 38 5.1.3灵活多变，应用数学模型 . 43 5. 2开设数学建模专题，提升建模能力的教学策略 . 44 5.2.1培养小学儿童阅读的能力 . 44 5.2.2培养小学儿童抽取数学信息的能力 . 44 5.2.3培养小学儿童分析处理大量信息的能力 . 44 5.2.4培养小学儿童合作交流的能力 . 45 5. 3通过综合实践，灵活应用模型的教学策略 . 45 5.3.1留意身边的实际问题 . 45 5.3.2合作解决所提问题 . 46 第六章研究反思 - 48 6. 1理想与现实的差距 . . .48 6. 2提高教师数学素养的思考 . 48 . 50 在读期间发表

19、的学术论文及研究成果 . 52 3C 谢 . 53 第一章前言 第 一 章 前 言 1. 1 研究背景 1. U小学数学建模教学顺应时代的发展 随着时间的推移和社会的发展，特别是自 50年代控制论、系统论、信息论 的发展，计算机的不断更新，数学的应用范围有了很大发展，工程和物理已经不 再是数学应用的基本领域。仅从生命科学来看，要应用的数学分支就有很多，如 : 分类学、种类发生学、酶学、遗传学、诊断学、群体生物学、人口理论等。同样， 数学方法越来越多地被应用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，还有 心理学和认知科学。 数学教学内容应是数学科学内容的 “ 教育投影 ” 。数学应用范围的不断扩

20、大， 迫切要求数学教育作出反应。数学教育家们发现，这些数学应用都有一 个共同点， 必须把非数学问题抽取成数学问题，借助于数学方法获得解决。因此，数学模型 作为一门课程首先在一些大学数学系里被提倡。后来，人们又发现，传统的中小 学数学课本中的应用仅仅是：把日常生活中的经济、商业、贸易和手工业中的问 题，用一定程式表达，内容只涉及计数、四则运算和测量等。这种应用无论是方 式、还是内容，与数学在现实生活中的应用相比，相差甚远。于是，数学建模作 为一种教学方式在中小学受到重视，通过“ 做数学 ” 达到学数学的目的。 1 1.1. 2小学数学建模教学顺应了数学自身的发展 数学是人们对客观世界定性把握和定

21、量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理 论，并进行广泛应用的过程。数学的发展有两个原动力，一是要解决自然和社会 现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的问题。前者的研究成果是应用 数学，后者的研究成果为纯粹数学。这二者相辅相成，相互渗透，共同发展。不 过，归根结底，社会生产力和文化发展的现实需要是数学成长的本源。 2】 现实世 界是数学的丰富源泉，也是数学应用的归宿。任何数学概念都可以在现实中找到 它的原型，同样要解决实际问题就必需建立数学模型。 “ 模型化是数学中的一个 基本概念 ，它处于所有数学应用之心脏。 ” 今天，数学以空前的广度和深度向其 它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现

22、在迅速走向定量化、数量化， 需建立大量的数学模型。正如新课标中描述的 “ 数学作为一种普遍适用的技术， 有助于人们收集、整理、描述信息，建立模型，进而解决问题、直接为社会创造 W 赵林 .国外中学数学建模教学情况概述 m.课程 教材 教法， 1995, (8): 57 2张奠宙等 .小学数学研究 M.北京：高等教育出版社， 2009:241 1 第一章前言 价值 ” 。可以说 数学即模型，有数学应用的地方就有数学建模，正如张奠宙先生 所说 “ 数学应用的本质是数学建模 ” 。小学数学文字型应用题，体现数学的应用， 以及与此相关的数学思维模式。从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。 1. 1

23、.3 小学数学建模教学顺应了儿童个体的发展 随着时代的进步和科技的发展，人们越来越觉得数学素质是一个人的基本素 质的重要方面之一，而掌握和运用数学模型方法是一个人数学素质高低的一个重 要标志。 建立模型，解决实际问题有利于激发学生学习数学的兴趣，丰富学生数学的 情感体验。数学建模的过程是学生对知识点和概念的操作，在发现、设问、设计、 探求、归纳、创新的过程中，激发学生对数学的好奇心与求知欲，锻炼克服困难 的意志，建立自信心。 建立模型，有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化发 展。数学建模的过程，是学生调动原有知识和经验尝试解决新问题，同化新知识 并建构新的数学模式的过程。在这

24、个过程中，原有的数学知识储备必然在学生的 主动调用下得到巩固，并且主动将各部分知识，如几何知识，计算方法，统计方 法等加以联系和整合，从而加强了原本独立的知识体系的完整性和统 一性，为将 来进一步学习新的知识打下良好的基础。 建立模型，有利于学生学会并养成合作交流的方法、习惯，特别是促进学生 的数学应用意识，提高解决实际问题的能力。无论是数学研究还是数学学习，其 目的之一是将数学运用于社会，服务于社会。而运用数学解决实际问题是通过数 学模型这个桥梁来实现的。在数学中，重视培养学生数学建模的能力，这是加强 数学应用意识，切实提高分析和解决实际问题的能力的有效途径。 建立模型，有利于培养学生的创造

25、性思维能力。从方法论角度看，数学建模 是一种数学思想方法，是解决实际问题的一种强有力的数 学工具。从具体教学角 度看，数学建模是一种数学活动。作为一个数学活动，它不像传统的练习数学习 题，做出来答案是唯一的。相反，它可以有多种多样的答案，只要学生建立的模 型是可行的，他就是正确的。 建立模型，有利于学生体会和感悟思想方法。数学建模是将现实的问题用数 学方式表述并加以解决，而在这个过程中，学生必须考虑到许多现实问题。更重 要的是，数学建模作为一种思想方法，为学生主动、有效地学习打下了良好的基 础。 1.1.4小学数学建模教学顺应了课改的发展 数学教育改革是当今世界关注的热门话题。目前国际数学界普

26、遍 赞同，通过 2 第一章前言 开展数学建模活动和在数学教学中推广使用现代化技术来推动数学教育改革。大 学生的数学建模科技活动在全世界造成了巨大的影响，对数学教育起了很好的推 动作用。把数学建模活动的重心从大学生向中学生、甚至到小学生转移，是近年 国际数学教育发展的一种趋势。国内外的专家、学者都认为应该让中、小学生对 数学和数学的作用作全面了解，让更多的学生了解和运用数学的思想和方法解决 实际问题， “ 还数学的本来面貌 ” ，使 “ 数学能力成为人们取胜的法宝 ” 。 随着我国基础教育课程改革的深入，数学建模活动已扩展到义务教育阶段。 数学建模已成为小学数学学习的目标。如新课标中的大量描述

27、“ 强调从学生 已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与 应用的过程，进而使学生获得对数学理解 ” ；学生学习概念、算法、关系、 定律、公理等数学知识就是数学模型；学生学习数学知识的过程，正是对一系列 数学模型的理解、把握甚至是加以运用的过程，并获得了构建数学模型、解决实 际问题的程序、方法和思想。 1.1.5小学数学建模教学合乎作者本人的旨趣 目前，随着 建模教学在大学、中学如火如荼地开展，小学数学建模教学也开 始开展。但是，笔者发现，目前小学的一些建模教学许多只是一种对大学、中学 的盲目跟风，缺乏对小学数学建模自身特点的理性认识，或者只是蜻蜓点水式的 研究，缺

28、乏深入、系统的思考、探索和研究。 基于以上原因，针对小学儿童的特点，笔者选择了 “ 小学数学应用题建模教 学的实践探索 ” 作为学位论文的课题。 1. 2 研究综述 1.2.1国外研究现状 近三十年来， “ 数学建模 ”（ Mathematical Modelling)的教学在 一 些西方 国家，诸如美国、英国、丹麦等国数学教育界中成为一个热门的话题，并在国际 数学教育大会（ 缩写为 ICME)中占有一席地位。此外， 1983年在英国 Exeter 召开了第一次 “ 数学建模和应用的教学国际会议 ” （ 缩写为 ICTMA)。 1985 年仍在 Exeter 召开 ICTMA-2; 1989

29、年在丹麦的 Roskilde 召开了 ICT-MA-4; 1991 年在 荷兰的 Noordwi jkerhout,召开了 IC-TMA-5,会议的副题是 “ 通过应用来教数学 ” 约有 200 人与会； ICTMA-6于 1993 年 8 月在美国 的 Deleware 大学举行。对比一 下第一次和第四次 IC-TMA， 可看出一些重大变化。在 ICTMA-1， 相当一部分报告还 在论证要不要开设数学建模课，到了 ICTMA-4 的会议记录的序言中说： “ 过去几 十年在各教育层次上的数学教学的理论和实践中，数学应用、模型和建模日益引 人注意。无论从教育、科学、社会、文化的观点来看，这些方面

30、都已被广 泛地以 3 第一章前言 为是决定性的重要。 ” 数学建模教学的地位在国外越来越重要，日益受到重视。 世界各国课程计划都要求在各年级水平或多或少地包含有数学建模内容。这 可以从各国大纲来看。在英国国家统一课程中，把中小学数学课程分列为五大领 域：使用和应用数学、数、代数、形体和空间、数据处理。其中，第一条 “ 使用 和应用数学 ” 里包含有很多这方面内容；在瑞典教育部文件中，要求教师善于从 学生熟悉的环境中提出问题，同时注意问题的实际意义和社会意义；加拿大哥伦 比亚省教育部在颁发的文件中规定了中学数学目的，其中一条是：学会将数学知 识应用到其它领域，能对周围环境中所遇到的问题作出数学模

31、型并设法加以解 决。 国外学者 对于数学建模教学已有很多研究，其中 Lamon 认为，聚集医学、认 知科学和数学教育的研究，结果显示数学建模的过程能促进学生概念模型的建 构，同时概念模型也发展了学生的智能以建构经验。他认为数学建模活动应该成 为小学开始时的学校数学课程的一部分。 Ikeda 认为，影响学生进行数学化活动 的因素主要是： （ 1)数学知识和技能； （ 2)与现实世界相关的一些知识； （ 3)自 愿解决课堂模型的兴趣； （ 4)数学建模过程的相关知识； （ 5)促进数学建模过程 的数学思考； （ 6)数学建模活动的元认知。JI.M.弗利德曼在他的中小学数学 教学心理学原理一书中在直

32、观性原则的基础上提出模型化原则：第一，用模型 的观点来学习学校数学课程本身的内容；第二，形成学生对各种不同的现象和情 境建立数学模型的技能和技巧；第三，把模型作为内心思维活动的外部支撑点， 广泛运用模型来发展科学理论型思维。他认为，在现代条件下数学教师的工作中， 需要运用模型化来形成学生进行有充分价值的智力活动，在数学教学必须建立模 型还是为了形成科学理论的思维方式，为了发展学生的反射活动。 综上，建模教学在国外已经是提到非常重要的地位，国外教育专家和学者都 力图从不同的角度研究 建模教学，小学数学建模教学在国外虽然开始受到重视， 但针对这方面的研究，还不够清晰、系统和深入，还是一块处女地，有

33、待开掘。 1.2. 2国内研究现状 在我国，出现许多的学者、专家研究数学建模理论和数学建模教学。 从理论上研究上数学建模的首推徐利治教授的数学方法论选讲，该书着 重介绍了数学模型方法，也就是数学解题中借用数学模型处理各类问题包括数学 理论和实际应用等方面的方法。他认为，数学模型方法不仅是处理数学理论问题 的一种经典方法，而且也是处理科技领域中各种实际数学问题的一般数学方法。 充分运用数学模型方法对实施 教学具有重要的意义。在数学模型方法指导下的数 学教学，要重视对现实原型的分析和抽象，特别是获得数学概念、基本关系、公 式、定理，建立起相应的数学模型时，应力求给出一个恰当的典型的原型展现给 4

34、第一章前言 学生。张奠宙先生认为数学应用的本质是数学建模，他认为小学数学里的应用问 题是客观存在的，小学里的应用题应强调数学模型的建立，问题的条件可以冗余， 数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证。在他的小学数学研究里着重 介绍了小学里几种常见的数学模型的特点及之间的关系。此外数学模型作为课题 立项的有首都师大王尚志教授的高师中小学数学建模理论、实践与数学教育改 革等，王尚志教授认为在小学开展数学建模活动是可行的，但面临许多挑战， 需要研究和探索一些问题，如确定问题，小学数学建模教学模式行动研究等。， 作为数学建模官方网站的有浙江师范大学数学系的北峰数摸网等。 受大学生的数学建模科技活动影响

35、，在中小学数学教育界掀起一股从实践上 开展“ 中小学数学建模研究 ” 的热潮。如江山中学的中学数学建模与数学课外 活动研究，台州市临 海市教研室组织的小学数学建模教学和实践能力培养的 实践与探索，杭州市教研室平国强老师谈小学数学建模教学的意义与方法， 江苏常州特级教师庄惠芬的小学数学建模教学研究等。但是这些从实践上进 行的研究都才是刚刚开始，对小学数学建模教学的研究还未有深入、系统的理论 与实践相结合的研究。 综上，国内的许多教育家、学者、一线教师，对建模教学这一领域有了一些 研究，他们的研究既给了笔者许多启示，又给了笔者继续深入研究的空间。尤其 对于小学建模教学，还是一方处女地，大家的研究都

36、还是刚刚开始，这给了笔者 深入、系 统地研究她的欲望。 1. 3概念界定 1.3.1数学模型 实体是以客观方式存在的事物以及其运动的形态。而模型是针对实体特征以 及变化规律的一种展示或抽象的形态，特别是针对实体中那些需要研究的特征定 量的抽象。模型一词在辞海里有三种解释： （ 1)依照实物的形状和结构按比例制 成的物品。 （ 2)制砂型用的工具，大小、形状和要制造的铸件相同。 （ 3)用压制 或浇灌的方法使材料成为一定形状的工具。简单来说，模型是将实体通过一些过 滤，通过适当的展现手段以简单形式表现出来的模仿品。借助这个模仿品，可以 让人们更深入了解实体的本质，更方便人们对实体进行分析和处理。

37、 数学模型实际上就是模型意义的数学化。李尚志在 “ 数学建模是什么 ” 中对 数学模型和模型的区别有其形象的说明：你要对复杂的实际问题进行分析，发现 其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题转化为一个数学问 题，这就称为数学模型，。模型可以说是对某种事物的一种仿制品，模型所模仿 的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型，就是用数学语言（可能包括 数学公式）去描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式等。它一般是实际事 5 第一章前言 物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但 它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多方式，比如录 音

38、、录像、比喻等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人 们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用 数学语言描述的事物就称为数学模型。数学模型建立起来了，实际问题化成了数 学问题，就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题。标准 （ 2011 年版） 案例式解读一书中则 用简洁的语言描述了什么是数学模型。它指出：数学模型 是针对或参照某种事物系统的特征或数量依存关系，进行分析、抽象、简化，提 炼本质特征，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构。 从广义上理解，数学模型包括数学中的各种概念、各种公式和各种理念；从狭义 上理解，数学模型

39、只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结 构。本研究所研究的数学模型是广义上的数学模型。在小学阶段，用字母、数字 及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种图表、 图形都是数学模型。从本质上看 ，数学模型是以 “ 系统 ” 概念为基础的，是现实 世界中非常小的一部分或多方面抽象的 “ 映像 ” 。 1.3. 2数学建模 关于数学建模的定义都差不多。通过建立模型的方法来求得问题解决的数学 活动过程称之为数学建模。 “ 模型 ” 是 “ 建模 ” 的结果，而 “ 建模 ” 是建立模型 的过程。叶其孝在数学建模活动与大学数学教育改革一书中认为，数学建模 就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽 象、简化、确定变量和