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1、第9章 多元函数微分学1（多元函数的概念极限与连续）多元函数的概念及其极限与连续多元函数的概念及其极限与连续一、多元函数的概念一、多元函数的概念1.邻域与区域邻域与区域设设是平面是平面上的一个点，上的一个点，为一正数，为一正数，以以点为中心，点为中心，为半径的圆的内部，即平面点集为半径的圆的内部，即平面点集称为点称为点的的邻域邻域。平面上由曲线围成的部分平面称为平面上由曲线围成的部分平面称为区域区域。),(000yxpxOy0p)()(| ),(2020yyxxyx0p2.多元函数的概念多元函数的概念定义定义设有三个变量设有三个变量，如果当变量，如果当变量在一在一定范围内任意取定一对值时，变量
2、定范围内任意取定一对值时，变量按照一定的规按照一定的规律，总有确定的值与之对应，则称变量律，总有确定的值与之对应，则称变量为变量为变量的的二元函数二元函数，记为：，记为：其中，变量其中，变量称为称为自变量自变量，而变量，而变量称为称为因变量因变量；自变量自变量的取值范围称为函数的的取值范围称为函数的定义域定义域。类似地，可以定义三元函数类似地，可以定义三元函数，以及三，以及三元以上的函数，二元及二元以上的函数称为元以上的函数，二元及二元以上的函数称为多元函多元函数数。),(zyxfuzyx、),(yxfz yx、yx、zzyx、zyx、二、二元函数的极限念二、二元函数的极限念定义定义设函数设函
3、数在点在点的的邻域内有邻域内有定义（点定义（点可以除外），点可以除外），点是该邻域内异于是该邻域内异于的任意一点，如果当的任意一点，如果当以任何方式趋近于以任何方式趋近于时，函时，函数数无限接近于一个常数无限接近于一个常数，则称常数，则称常数为函为函数数当当时的时的极限极限，记为：，记为：例例求求当当时的极限时的极限解：令解：令则则),(000yxp),(yxfz0pAAyxfyyxx),(lim000p),(yxpp0p00,yyxx),(yxfA),(yxfz2222)sin(),(yxyxyxf) 0 , 0(),(yx22yxv222200)sin(limyxyxyxvvvsinlim
4、01三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义定义设函数设函数在点在点的某个的某个邻域邻域内有定义，点内有定义，点是该邻域内任意一点，如果是该邻域内任意一点，如果则称还是则称还是在在处处连续连续；如果函数在区域；如果函数在区域内的每一点都连续，则称它在内的每一点都连续，则称它在区域区域内连续内连续。函数的不连续点称为函数的不连续点称为间断点间断点。一切多元初等函数在其定义区域内（没有空隙和一切多元初等函数在其定义区域内（没有空隙和裂缝的区域）都连续。裂缝的区域）都连续。性质性质1（最值定理）：在有界闭区域上连续的函（最值定理）：在有界闭区域上连续的函数必有最大值和最小值。数必有最大值和最小值。性质性质2（介值定理）：在有界闭区域上连续的函（介值定理）：在有界闭区域上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。),(000yxp),(yxfz0p),(),(lim0000yxfyxfyyxx),(yxpD),(yxfzD例例求求解：解：练习（练习（P247）4.求下列极限求下列极限yxyxxyyx22213lim222200)(3sinlimyxyxyxxyyxyx21limxyyxyx21lim212123