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1、第7章 级数6（周期为2L的傅里叶级数）周期为周期为的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数一、周期为一、周期为的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数设以设以为周期的函数为周期的函数满足收敛定理的条件，满足收敛定理的条件，令令，则则是以是以为周期的函数为周期的函数，的傅里叶级数：的傅里叶级数：其中其中，将将换回成得：换回成得：其中其中，ltx)()()(tltfxf)sin()cos(2)(10ntbntaatnnnl 2l 2)(xfl 2)(t2dtta)(10dtnttan)cos()(1dtnttbn)sin()(1)(t)sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnnlldxxfla
2、)(10llndxlxnxflacos)(1llndxlxnxflbsin)(1lxt例例以以2为周期的函数在为周期的函数在内的表达式为内的表达式为将其展开成傅里叶级数将其展开成傅里叶级数解：由题知解：由题知函数的傅里叶展开式：函数的傅里叶展开式：1l) 11( ,2)(2xxxf)(xflldxxfla)(10dxx112211)61(3x31llndxlxnxflacos)(1112)cos(2dxxnx102)cos(dxxnx01)sin(2)cos(2)sin(33222nxnnxnxnxnx222) 1(nn)3 , 2 , 1( nllndxlxnxflbsin)(1dxxnx)
3、sin(22120)3cos(31)2cos(21)cos(261)(222 xxxxf)( x练习（练习（P213）2.把下列周期函数把下列周期函数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数)2121(1)(2xxxf，二、定义在有限区间上的函数的傅里叶级数二、定义在有限区间上的函数的傅里叶级数1.定义在定义在上的函数展开成傅里叶级数上的函数展开成傅里叶级数该问题可将其看成是周期为该问题可将其看成是周期为的傅里叶展开式，的傅里叶展开式，只是定义域是只是定义域是。例例将函数将函数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数解：解：函数的傅里叶展开式：函数的傅里叶展开式：当当时，傅里叶级数收敛于时，傅里叶级数收敛于1
4、.,ll,ll) 11( , 1)(xxxflldxxfla)(1011)1(dxx11)21(2xx2llndxlxnxflacos)(111)cos() 1(dxxnx0llndxlxnxflbsin)(111)sin() 1(dxxnx10)sin(2dxxnx01)sin()cos( 222nxnnxnxnn2) 1(1), 3 , 2 , 1( n)3sin(31)2sin(21)sin(22)( xxxxf) 11(x1xl 2练习（练习（P213）3.将函数将函数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数) 11()(xexfx，2.定义在定义在上的函数展开成傅里叶级数上的函数展开成傅里叶
5、级数该问题可将其在该问题可将其在上进行奇拓展（或偶拓上进行奇拓展（或偶拓展），然后再进行周期为展），然后再进行周期为的傅里叶展开式，此的傅里叶展开式，此时的定义域是时的定义域是。例例将函数将函数展开成正弦级数展开成正弦级数解：解：将将拓展成奇函数拓展成奇函数函数的正弦级数展开式：函数的正弦级数展开式：, 0l, 0l101011)(xxxxxflndxlxnxflb0sin)(2)cos(21 2nn), 3 , 2 , 1( n)3sin(33)2sin(21)sin(32)( xxxxf,lll 2)cos(21 2nn) 10( x01)sin()cos() 1( 222nxnnxnx)
6、 10( , 1)(xxxf)(xf10)sin() 1(2dxxnx例例将函数将函数展开成余弦级数展开成余弦级数解：解：将函数将函数拓展成偶函数拓展成偶函数函数的正弦级数展开式：函数的正弦级数展开式：) 10( , 1)(xxxf), 3 , 2 , 1( n)5sin(513)3cos(31)cos(3423)(222 xxxxf) 10( xldxxfla00)(2101011)(xxxxxf)(xf10) 1(2dxx01)21(22xx 3lndxlxnxfla0cos)(2ldxxnx0)cos() 1(201)cos()sin() 1( 222nxnnxnx 1)cos(222nn练习（练习（P213）4.将函数将函数分别展开成正弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数和余弦级数)0()(xxxf，