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1、第第3章章 计算机控制系统数学描述计算机控制系统数学描述v3.1 时域描述差分方程v3.2 z 域描述脉冲传递函数v3.3 计算机控制系统稳定性分析3.1 时域描述时域描述差分方程差分方程v3.1.1 什么是差分什么是差分v均匀采样条件下，采样信号 可表示为离散序列 ，或进一步简化为 。v一阶前向差分v （3-1）v二阶前向差分v （3-2）v类似地，n阶前向差分v （3-3） tf* kTf kf kfkfkf 1 kfkfkfkfkfkfkfkfkfkf 12211212 kfkfkfnnn111 3.1.1 什么是差分什么是差分v在求 的前向差分时，要用到 ， 等超前序列的值，这在实时控
2、制系统中难以得知，所以控制系统中常使用后向差分。v一阶后向差分v （3-4）v二阶后向差分v （3-5）v类似地，n阶后向差分v （3-6） 1 kfkfkf 2122 kfkfkfkfkf 111 kfkfkfnnn kf 1 kf 2 kf3.1.2 差分方程差分方程v(a) 连续系统 (b) 采样离散系统v图3-1 离散系统的差分表示v微分方程是描述连续系统的方程，差分方程是描述离散系统的方程，且在计算机中更容易计算。如图3-1(a)所示的连续系统，可用如下微分方程描述：v (3-7) tkrtbcdttdcadttcd 223.1.2 差分方程差分方程v图3-1(b) 所示为输入与输出
3、信号均被采样的采样离散系统，不能再用微分方程来描述输入输出信号之间的关系，而应该用相应离散信号的差分关系。v式（3-7）中，二阶微分用二阶差分代替：v一阶微分用一阶差分代替：v将上述两式代入式（3-7），并用 与 分别代替 ， ，得v （3-8） kckckctcdttcd 122222 kckcdttdc 1 kkrkcakcakckkrkcbakcakckkrkbckckcakckckc 211211221122 kc kr tc tr3.1.2 差分方程差分方程v对于一般的单输入单输出离散系统，其输出与输入关系则可以用下述差分方程描述：v (3-9)v式中，n为差分方程的阶次， m是输入
4、信号的阶次，通常有 。 ， 是由系统物理参数确定的常数，故式（3-9）为n阶线性常系数差分方程。v如采用后向差分方程，则离散系统刻描述为：v (3-10) krbmkrbmkrbkcankcankcankcmn 1211021nm iaib mkrbkrbkrbnkcakcakcakcmn 12110213.1.3 差分方程的求解差分方程的求解v1. 迭代求解迭代求解v所谓迭代法，是根据差分方程的初始条件或边界条件，逐步递推计算后面各时刻的输出，由此得出的解为非闭合解。 v与求解微分方程类似，差分方程的经典法求解，需求出齐次方程的通解和非齐次方程的特解，非常不便。利用计算机通过递推迭代求解有限
5、项的数值解很容易，在控制系统中，最常用迭代法求解。3.1.3 差分方程的求解差分方程的求解v 例3. 1已知差分方程v （3-11）v令其输入 零初始条件下（即当 ），试求 。v 解：对式（3-11）进行整理，得v （3-12）v由给定的输入及初始条件，则v ， v ，v ，v依次类推，不断迭代下去可以求得k为任意值时的输出。 1 k1 k krkckc5 . 018 . 0 0100kkkr0 k 0 kc kc 18 . 05 . 0 kckrkc1 k 5 . 008 . 05 . 0118 . 015 . 01 ccrc 9 . 018 . 05 . 0128 . 025 . 02 c
6、crc 22. 128 . 05 . 0138 . 035 . 03 ccrc3.1.3 差分方程的求解差分方程的求解v该题可以用下述MATLAB程序求解：vn=10; % 定义采样点数vc(1:n)=0; r(1:n)=1; k(1)=0; % 定义输入输出和采样点数的初始值vfor i=2:n c(i)=0.5*r(i)+0.8*c(i-1); k(i)=k(i-1)+1;vendvplot(k,c,:o) % 绘制输出响应图，每一点用“”表示v2. Z变换求解变换求解v 用z变换法解线性定常差分方程，是利用z变换将线性定常差分方程变换成以z为变量的代数方程，求此代数方程的解，在进行z反变
7、换，即为差分方程的解。 3.2 Z域描述域描述脉冲传递传递函数脉冲传递传递函数v在离散系统中，将使用拉氏变换的特例z变换，得到描述离散系统的脉冲传递函数，它是研究离散系统的重要数学工具。v3.2.1 Z变换定义及表达式变换定义及表达式v1. Z变换定义变换定义v连续信号 经采样后，得到采样信号 ：v其拉氏变换为 （3-13） tf 0*kkTtkTftf tf* 00*kkTskekTfkTtkTfLtfLsF 3.2.1 Z变换定义及表达式变换定义及表达式v现引入一个新复变量v 或v代入式（3-13），得v （3-14）v 为 的Z变换，或记为 。 sTez zTsln1 0*kkezzkT
8、fsFzFsT zF tf* tfZzF* 3.2.1 Z变换定义及表达式变换定义及表达式v注意：注意：v（1）只有采样后的时间离散函数才能定义z变换；v（2）z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的，即极限 存在时， 的z变换才存在。v（3） 在式（3-14）的任意项 中， 决定幅值， 决定时间，即z变换和离散序列之间有非常明确的幅值和时间的对应关系。v（4） z变换由采样函数决定，不能反映非采样时刻的信息。对于两个不同的连续函数 和 ，如果有 = ，则对应的z变换有 = 。因此，z变换对应唯一的采样函数，但并不对应唯一的连续函数。 NkkNzkTf0lim tf* kzkTf kTfk
9、z tf1 tf2 tf*1 tf*2 zF1 zF23.2.1 Z变换定义及表达式变换定义及表达式v2. Z变换的基本定理变换的基本定理v（1）线性定理）线性定理v若 和 的z变换分别为 和 ， 和 为常数，则 （3-15）v（2）滞后（右移）定理）滞后（右移）定理v设对于 时有 ， ，则滞后k个采样周期的函数 的z变换为v （3-16）v（3）超前（左移）定理）超前（左移）定理v ，则超前k个采样周期的函数 的z变换为 （3-17） tf1 tf2 zF1 zF21a2a zFazFatfaZtfaZtfatfaZ221122112211 0 t 0 tf zFtfZ zFtfZ kTtf
10、 TkzfTfzfzzFzkTtfZkkk101 kTtf zFzkTtfZk 3.2.1 Z变换定义及表达式变换定义及表达式v（4）初值定理）初值定理v ，且 存在，则v （3-18）v（5）终值定理）终值定理v设对于 时有 ，且为收敛序列，即 存在有界终值，则v （3-19） zFtfZ zFz lim zFfz lim00 t 0 tf tf* zFzzFzfzz1111lim1lim 3.2.2 Z反变换反变换v所谓z反变换，是已知z变换表达式 ，求相应离散时间序列 或采样信号 的过程。 v 的z反变换记为v （3-20）v 表示z反变换符号。如前所述，z变换只是建立了 或 与 之间的
11、一一对应关系，则 通过z反变换得到的也只是 在采样时刻的值。v常用的z反变换有如下三种：部分分式法、幂级数展开部分分式法、幂级数展开法（长除法）和留数计算法。法（长除法）和留数计算法。 kf kf zF zF zF zF tf* tf* tf* zFZkf1 3.2.2 Z反变换反变换v1. 部分分式法部分分式法v部分分式法又称查表法。连续时间信号 大部分是由基本信号组合而成，可以将 分解为对应基本信号的部分分式，进而通过查z变换表得到基本信号的z反变换。vz反变换的部分分式法可分为特征方程无重根无重根和有重根有重根两种情况，下面仅仅介绍无重根的计算。3.2.2 Z反变换反变换v设已知的z变换
12、函数 无重极点，先求出 的极点 ，再将 展开成如下形式v （3-21）v式中， 、 分别为 在 及 处的留数，即v ，v由上式求得的 、 代入式（3-21），得 的部分分式形式v （3-22） zF zF zFnzzz,21 zzF zAzzAzzFniii01 0A0AiAiA zzF nizi, 2 , 1 00 z 00 zzzFA nizzFzzAizzii, 2 , 1, 01AzzzAzFniii 3.2.2 Z反变换反变换v逐项查z变换表，得v v （3-23）v最后写出已知 对应的采样函数v v （3-24） zF nizzzAZkTfii, 2 , 1,1 tAkTtkTft
13、fknii 001* 3.2.2 Z反变换反变换v 例3. 2求 的反变换 v解：由于v所以有v查表得v从而有 11021023102 zzzzzzF 111102110 zzzF 2 , 1 , 0,1210 kkfk kTttfkk 12100* 23102 zzzzF3.2.2 Z反变换反变换v2. 幂级数展开法幂级数展开法v幂级数展开法也称长除法，以下两种情况多用此法进行z反变换。v（1）z变换 比较复杂，不能写成简单形式；v（2）z反变换需要以数值序列 表示。v由z变换的定义v （3-25）v因此只要将要进行z反变换的 展开成幂级数形式，并按 的升幂排列，即可获得 对应的时间序列 。
14、 zF kTf kkkzkTfzTfzTffzkTfzF21020 zF1 z zF kTf3.2.2 Z反变换反变换v例3.3 已知 ，求 ， v解：1）首先将 分子分母展开并同时除以 ，写成包含 多项式之比，得v2）用 分子除以分母，把 展开成幂级数形式 zF2z zF zF1 z 8 . 0155 zzzzF kf2 , 1 , 0 k 21218 . 08 . 1155 zzzzzF3.2.2 Z反变换反变换v把上式和z变换定义式 比较，可得 32154543434323232121212 .2114596.1696.2696.1616.382 .212 .112 .212 .112
15、.2514414495558 . 08 . 11zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 3212 .21145zzzzF kkzkTfzF 0 2 .213,142, 51, 00 ffff3.2.2 Z反变换反变换v在求反变换时，采样周期T未知，因而反变换求出的是序列 ，而不是 或 序列。若给定对应的采样周期T，则对应的采样信号为 TtTtTttf32 .212145* kf kTf tf*3.2.2 Z反变换反变换v3. 留数计算法留数计算法v设已知z变换函数 ，对于其z反变换 值，可由下式计算v （3-29）v式中， 是积分的闭合回线，包围了 的所有极点。v设 共有 等m个极点，根
16、据柯西留数定理，上式也可写为v （3-30）v即 等于 的全部极点的留数之和。 zF kTf dzzzfjkTfk 121 1 kzzf 1 kzzfmppp,21 ipzkmizzFskTf 11Re kTf 1 kzzFv例3. 4 设z变换函数v试用留数法解其z反变换。v解：该函数有两个极点：1和2，分别求出对这两个极点的留数。v则 215 zzzzF 52151lim215Re11 zzzzzzzskzzk kkzzkzzzzzzzs252152lim215Re22 kkf215 3.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数v1. 什么是脉冲传递函数什么是脉冲传递函数v脉冲传递函数定义为：在零
17、初始条件下，系统输出量z变换与输入量z变换之比。 （3-31）v其关系如图3.3（a）所示。对于采样系统，输入为采样信号 ，输出为连续信号 。为了用脉冲传递函数表示，在输出端虚设一个与输入开关同步动作的采样开关，如图3. 3（b）中虚线所示，从而使其变成离散系统，脉冲传递函数仍如式（3.31）。 v（a） （b）v图3-3脉冲传递函数 zRzCzG tr* tc 3.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数v若已知系统的脉冲传递函数 ，系统输出量的z变换可表示为 v （3-32）v通过z反变换，即可求得输出的采样信号：v （3-33）v 通常已知，因此要求输出采样信号 ，关键要先求取系统的脉冲传递函数
18、。 zG zRzGzC zRzGZzCZtc11* tc* zR3.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数v2. 脉冲传递函数的求取脉冲传递函数的求取v（1）由系统的脉冲响应求取）由系统的脉冲响应求取v脉冲传递函数 可视为离散系统的单位脉冲响应 的z变换，因 ，故 v （3-34）v（2）根据连续系统的传递函数求取）根据连续系统的传递函数求取v对于采样系统，连续传递函数 已知，v（1）用拉氏反变换求取脉冲响应函数： 。v（2）按周期T对 采样，其离散系统脉冲响应 为v （3-35） zG tg* 1 tZzR tgZzGzRzGzC* sG sGZtg1 0*kkTtkTgtg tg tg*3.2.
19、3 脉冲传递函数脉冲传递函数v（3）根据式（3.34）得系统的脉冲传递函数 为v不能简单地令 代入 而得到 。因为 是连续函数 的拉氏变换，而 是采样信号 的z变换，它除了与连续环节有关外，还包括采样开关的作用。因此 应理解为v （3-36）v上式常表示为v （3-37） zG 0*kkzkTgtgZzGsz sG zG sG tg tg* zG zG sGLZzG1 sGZzG 3.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数v3. 差分方程与脉冲传递函数关系差分方程与脉冲传递函数关系v对于同一离散系统，既可用差分方程描述，又可用脉冲传递函数描述，因此两者之间可相互转换。v（1）由差分方程求脉冲传递函数
20、）由差分方程求脉冲传递函数v已知系统差分方程为 (3-38)v或 （3-39） mkrbkrbkrbnkcakcakcakcmn 1211021 jkrbikcakcmjjnii 013.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数v零初始条件下，对式（3-39）进行z变换，得v则系统的脉冲传递函数为 （3-40）v式中， 为该系统的特征多项式。 zRzbzCzazCjmjjniii 01 niiijmjjzazbzRzCzG101 niiizaz113.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数v（2）由脉冲传递函数求差分方程）由脉冲传递函数求差分方程v设已知系统的脉冲传递函数如式（设已知系统的脉冲传递函数如式（
21、3-40），可得），可得v对上式进行反变换，得到对应的差分方程对上式进行反变换，得到对应的差分方程 zRzbzCzazCjmjjniii 01 jkrbikcakcmjjnii 013.2.3 脉冲传递函数脉冲传递函数v4. 脉冲传递函数的极点与零点脉冲传递函数的极点与零点v（1）极点）极点v由z变换的定义，可知 的极点与 的极点依 一一映射得到。因此，结合 的物理意义， 的极点位置除了与 的极点有关外，还与采样周期密切相关。若采样周期T足够小，不管 的极点分布如何，都密集地映射在 附近。v（2）零点）零点v与极点相互映射不同， 与 不存在零点相互映射的公式。研究表明， 的零点是采样周期的复杂
22、函数。 zG zG zG zG zG sG sG sG sG1 zsTez 3.3 计算机控制系统稳定性分析计算机控制系统稳定性分析v 稳定性是保证控制系统正常工作的首要条件。稳定性是保证控制系统正常工作的首要条件。对于连续系统和离散系统，系统稳定是指该系统在受到外部扰动作用而偏离其平衡状态，扰动消失后，系统能够回到原平衡状态。反之，如果系统不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。线性系统的稳定性是系统本身固有特性，与系统外部输入信号的有无、强弱无关。v 分析连续系统稳定性时，系统稳定的充要条件是：系统特征方程的所有特征根（或极点）都分布在s平面的左半平面，即系统所有特征根具有负实部。s平面的左半
23、平面是系统特征根分布的稳定域，s平平面虚轴是稳定边界。面虚轴是稳定边界。若有特征根位于虚轴上，则系统为临界稳定，工程上也视为不稳定。3.3.1 s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系vz与s具有指数关系v式中，T是采样周期。令 ，代入上式，则 （3-41）v则s域映射到z域的基本关系式为 ， （3-42）v图3-4 s平面与z平面之间的关系Tsez js TeeeezTTjTjT Tez Tz ， jo-s平面ImRe1z平面8-1oj /-j /12345324513.3.1 s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系v实际的计算机控制系统中，采样频率 与被采信号的最高频率 满足：
24、，根据采样定理（ ），系统实际工作频率 在主频区（ ），又由 ，因此s平面主频区对应的 范围为 。除主频区外， 每变化一个 ， s平面上的点沿虚轴移动一个 的距离，相应地，映射在z平面的点将逆时针重复画一个单位圆，出现频率混叠现象。s m ms ms 2 22ss ， Ts 2 TT s s v因此，在讨论s平面和z平面之间的映射关系时，主要讨论s平面主频区 与z平面之间的关系即可。 v图3-4中s平面把主频区分为段，分别对应z平面的段。s平面与z平面映射关系如表3-2。z平面、段实际就在负实轴（ ）上。 TT 01 表3-2 s平面与z平面映射关系区域区域区域区域虚轴虚轴段段段（上半段（上半
25、圆）圆）段段段段段段点、点点、点段段段段虚轴虚轴段段段（下半段（下半圆）圆）s右半平面右半平面单位圆外单位圆外 js TezT 0T 01 TT 0 0 T 10 00T 10 0 1 Tez T 0T 01 03.3.1 s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系v根据图3-4和表3- 2可知：s平面左半面映射到z平面单位圆内部；s平面右半平面映射到z平面单位圆外部；s平面虚轴映射到z平面单位圆上。因此，离散系统的稳定条件为：v（1）如果离散系统脉冲传递函数特征根都位于z平面单位圆内部，则系统稳定；v（2）如果有特征根在单位圆上，则系统临界稳定；v（3）如果有特征根在单位圆外部，则系统不稳
26、定 3.3.1 s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系v图中阴影部分即为两平面的稳定区域。 jos平面ImRe1z平面oz平面单位圆内|z|1-8z=+8ss平面左半平面0-8=+8s-1 图3.5 s平面与z平面的稳定区域3.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v图3.6 离散控制系统 v图3-6为某离散控制系统的结构图，脉冲传递函数为：（3-43）v现设mn，并将上式分母写成因式相乘的形式 （3-44） 112110111 zpzpzpzbzGnmjjj niiimjjjzazbzG1013.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v 为闭环极点，设输入单
27、位脉冲函数 （代表瞬时扰动），即 ，则 (3-45)v假设n个极点相异，将式(3-45)分解部分分式 (3-46)v对其进行反变换，得系统脉冲响应为 (3-47)nppp,21 k kr 112110111 zpzpzpzbzRzGzCnmjjj 1122111111 zpAzpAzpAzCnn nikiiknnkkpApApApAzCZkc1221113.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v若使系统稳定，则在 时，上述 衰减至零，则有 (3-48)v式(3-48)中每个分量在 时，均衰减至零，则有 (3-49)v由于 ，要使上式成立，则有所有极点 （ ），即所有极点都在z平
28、面单位圆内。v上述结论在 ，以及 有重根时均成立。下面讨论脉冲传递函数极点位于不同区域，其对应的脉冲响应序列特性。 k kc 0limlim1 nikiikkpAkc k0lim kiikpA0 iA1 ipni2 , 1 nm zG3.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v1. 若若 为实数为实数nppp,21图3-7离散系统实数极点的脉冲响应ImRej1o-j-11234563.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v如图3-7，对应于图中的-所示极点，有以下特点。v ，对应脉冲响应分量是发散序列。如图3-7中点；v ，对应脉冲响应分量是等幅序列，如图3-7中
29、点；v 时，对应脉冲响应分量是单调衰减序列，如图3-7中点；v ，对应脉冲响应分量是正负交替的衰减序列，如图3-7中点；v 时，对应脉冲响应分量是正负交替的等幅序列，如图3-7中点；v 时，对应脉冲响应分量是正负交替的发散序列，如图3-7中点。1 ip1 ip10 ip01 ip1- ip1- ip3.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v2. 极点中含有共轭复数对极点中含有共轭复数对v令共轭极点对为 ，所对应的部分分式为 （3-50）v脉冲传递函数为实系数，因此 与 也共轭，设 ， 与系统初始值有关，对应的脉冲响应为 （3-51）v可知共轭极点对应的脉冲响应分量以余弦规律振荡
30、， 振荡频率为 ，与共轭极点的幅角有关； 为响应分量 v 的幅值； 为初相位。nppp,21ijiiiiiepjbap 2, 1 11111 zepAzepAzCiijiijiii iA1 iAijiiieAA 1,i iikiiiikiikjiikjiiiiTkTpAkpAepAepAzCZkcii cos2cos211Ti kiipA 2 kcii 3.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v 图3.8 离散系统共轭极点对的脉冲响应分量 （1） 时，脉冲响应分量是发散振荡。如极点对 ；（2） 时，脉冲响应分量是衰减振荡。如极点对 ；（3） 时，脉冲响应分量是等幅振荡。如极点对
31、 。1 ip1 ipz平面ImRe1o-1p1p2p3p4p5p6p1p2p3p4p5p61 ip 6611,pppp 4433,pppp 5522,pppp3.3.2 计算机控制系统的稳定性计算机控制系统的稳定性v结论：结论：v1) 当极点分布在z平面的单位圆上或单位圆外时，单位脉冲响应分量为等幅或发散的序列，系统不稳定；v2) 若极点分布在z平面的单位圆内，脉冲响应分量为衰减序列，且极点越接近z平面原点，响应衰减越快，响应时间越快。相反地，极点越接近单位圆周，响应时间越长，原点处的响应时间最短；v3) 相对于z平面右半单位圆内的极点，左半圆内的极点引起的响应分量过渡特性较差；v4) 极点的
32、幅角越大，响应的振荡频率越高，若幅角为0（正实数根），则单调变化。若幅角为 （负实数根），振荡频率最高。 3.3.3 稳态误差稳态误差v稳态误差是衡量计算机控制系统“准”的重要性能指标，是指系统响应到达稳态后，系统响应采样值与参考输入采样值之间的偏差。v图3.9 计算机反馈控制系统v图中， 为控制器脉冲传递函数；令 为广义对象脉冲传递函数， 为系统的开环脉冲传递函数， zD zG z0 3.3.3 稳态误差稳态误差（3-52） （3-53）v则系统误差函数的z变换为 （3-54）v对上式进行整理得 （3-55） sGseZsGZzGpTs1 zHzGzDz 0 zEzzRzEzGzDzHzRzCzHzRzE0 zRzzE011 3.3.3 稳态误差稳态误差v则系统闭环误差脉冲传递函数为 （3-56）v设采样时刻误差为 ，根据终值定理可知，稳态误差 为 （3-57）v由上式可知，离散系统稳态误差 不仅与系统本身的结构和参数有关，而且与输入信号的形式和幅值有关，此外，还与采样周期T有关。 zzRzEz0e11 zRzzzEzkTeezztss01111*111lim1limlim te*sse*sse