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1、第一章 整式的乘除一、整式乘除中的运算法则一、整式乘除中的运算法则1.同底数幂的乘法的运算性质同底数幂的乘法的运算性质.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，amanamn (m，n都是正整数都是正整数).(1)底数必须相同底数必须相同.(2)适用于两个或两个以上的同底数幂相乘适用于两个或两个以上的同底数幂相乘.知识归纳2.幂的乘方幂的乘方.幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方，底数不变，指数相乘.即：即：(am)namn(m，n都是正整数都是正整数).3.积的乘方积的乘方.积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再
2、把所得的幂相乘，即，所得的幂相乘，即，(ab)nanbn(n是正整数是正整数).4.同底数幂的除法的运算性质同底数幂的除法的运算性质.同底数幂相除，底数不变，指数相减同底数幂相除，底数不变，指数相减.即即amanamn (a0,m，n都是正整数，都是正整数，mn).(1)底数必须相同底数必须相同.(2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除适用于两个或两个以上的同底数幂相除.5.零指数幂零指数幂.因为因为amam1，又因为，又因为amamamma0,所以所以a01.其中其中a0.即：任何不等于即：任何不等于0的数的零次幂都等的数的零次幂都等于于1.对于对于a0：(1)a0.(2)a01.6.单项式
3、与单项式相乘单项式与单项式相乘.把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变母连同它的指数不变,作为积的因式作为积的因式.7.单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘.就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加再把所得的积相加.8.多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘.先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加项，再把所得的积相加.9.平方差公式平方差公式.两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，两数和与这两数差的积，等于
4、它们的平方差，即即(a+b)(a-b)=a2-b2.10.完全平方公式完全平方公式.两数和两数和(或差或差)的平方，等于它们的平方和加上的平方，等于它们的平方和加上(或或减去减去)这两数积的这两数积的2倍倍,即即(ab)2=a22ab+b2.11.单项式相除单项式相除.把系数、同底数幂分别相除后把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式作为商的因式;对于对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式作为商的一个因式.12.多项式除以单项式多项式除以单项式.先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把
5、所得的商相加所得的商相加.二、整式乘除法则的比较二、整式乘除法则的比较1.同底数幂的乘法与除法比较同底数幂的乘法与除法比较. 注：注：(1)同底数幂相乘同底数幂相乘(相除相除)时，对于底数可以是时，对于底数可以是一个数，一个单项式，还可以是一个多项式一个数，一个单项式，还可以是一个多项式. (2)同底数幂相除时，因为零不能作除数，所以底同底数幂相除时，因为零不能作除数，所以底数不能为数不能为0.2.幂的乘方与积的乘方比较幂的乘方与积的乘方比较. 注：注：(1)同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方要同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方要区分开，避免用错公式区分开，避免用错公式.(2)公式中的公式中的
6、“a”“b”可以是单项式，也可以是多项可以是单项式，也可以是多项式式.(3)对于幂的乘方，当有三重幂时也适用此性质对于幂的乘方，当有三重幂时也适用此性质.(4)对于积的乘方，积中有三个或三个以上的因式对于积的乘方，积中有三个或三个以上的因式时也适用此性质时也适用此性质. 3.整式的乘法整式的乘法.注：注：(1)对于含有负号的式子乘方时易出现符号错对于含有负号的式子乘方时易出现符号错误误.(2)单项式乘以单项式时容易漏乘只在一个单项式单项式乘以单项式时容易漏乘只在一个单项式中所含有的字母中所含有的字母.(3)单项式与多项式相乘，漏乘多项式中的常数项单项式与多项式相乘，漏乘多项式中的常数项.(4)
7、对对“项项”的理解存在偏差，误认为项不包括系的理解存在偏差，误认为项不包括系数的符号，计算时符号出错数的符号，计算时符号出错. 4.乘法公式乘法公式.注：注：(1)公式中的公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或可以是具体的数，也可以是单项式或多项式多项式.(2)完全平方公式可以用口诀记忆：首平方，尾平方，首尾完全平方公式可以用口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积乘积2倍在中央倍在中央.(3)完全平方公式常用的变形有以下几种：完全平方公式常用的变形有以下几种：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).(a+b)2-(a-b)2=4
8、ab.这几种变形在计算求值、代数式变形中有着广泛的应用，这几种变形在计算求值、代数式变形中有着广泛的应用，要熟练掌握要熟练掌握. 5.5.整式的除法整式的除法. .注：注：(1)单项式除以单项式漏掉某个同底数幂或只单项式除以单项式漏掉某个同底数幂或只在被除式中出现的字母在被除式中出现的字母.(2)多项式除以单项式时漏项造成错误多项式除以单项式时漏项造成错误.探究点一探究点一 幂的运算幂的运算【相关链接】【相关链接】 幂的运算包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘幂的运算包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方及零指数幂和负整指数幂的运算方、积的乘方及零指数幂和负整指数幂的运算,它它是整式运算的基
9、础，如单项式乘单项式的实质就是整式运算的基础，如单项式乘单项式的实质就是同底数幂的乘法是同底数幂的乘法.幂的运算是中考命题热点之一，幂的运算是中考命题热点之一，常以选择题、填空题的形式出现常以选择题、填空题的形式出现.合作探究【例】下列运算正确的是【例】下列运算正确的是( )(A)a2a3=a6 (B)a3a2=a (C)(a3)2=a9 (D)a2+a3=a5【思路点拨】【思路点拨】根据幂的运算法则计算各个选项根据幂的运算法则计算各个选项得出结论得出结论【自主解答】【自主解答】选选B.因为因为a2a3=a5 ，故，故A错错 ；因为；因为(a3)2=a6 ，故，故C错；错；D中中a3和和a2不
10、是同类项不是同类项,不能合并，不能合并，故故D错错. 例题学习探究点二探究点二 乘法公式乘法公式【相关链接】【相关链接】 乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，即乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，即(a+b)(a-b)=a2-b2和和(ab)2=a22ab+b2.这类公式是这类公式是简便计算整式乘法的有利工具，也是我们继续学简便计算整式乘法的有利工具，也是我们继续学习新知识的基础习新知识的基础.解决此类问题的关键是把握公式解决此类问题的关键是把握公式的结构特征，准确应用的结构特征，准确应用.【例】如图，边长为【例】如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边的正方形纸片剪出一个边长为长为m的正
11、方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为，则另一边长为_.例题学习【思路点拨】【思路点拨】根据拼成的长方形的面积等于大正根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解得解.【自主解答】【自主解答】设拼成的长方形的另一边长为设拼成的长方形的另一边长为x，则则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)，解得解得x=2m+4.答案：答案：2m+4探究点三探究点三 整式的运算整式的运算【相关链接】【相关链接】 整式的运算
12、包括整式的加减、乘除、幂的运算整式的运算包括整式的加减、乘除、幂的运算等等.解决此类问题的关键是严格按运算顺序计算，解决此类问题的关键是严格按运算顺序计算，即：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有即：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，应先算括号里面的括号，应先算括号里面的.【例】计算：【例】计算：(x+1)2-x(x+2).【教你解题】【教你解题】确定运算顺序确定运算顺序按照法则运算按照法则运算计算最后结果计算最后结果先乘方、再乘除、最后加减先乘方、再乘除、最后加减原式原式=(x2+2x+1)-(x2+2x) =x2+2x+1-x2-2x1例题学习整式的运算幂的运算同底数幂的乘法幂
13、的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂和负整数指数幂科学记数法整式的乘法整式的除法单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法分配率乘法分配率平方差公式完全平方公式单项式除以单项式多项式除以单项式课堂小结1.计算计算-(-3a2b3)4的结果是的结果是( )(A)81a8b12 (B)12a6b7 (C)-12a6b7 (D)-81a8b12【解析】【解析】选选D.-(-3a2b3)4=-(-3)4a8b12=-81a8b12.2.下列计算正确的是下列计算正确的是( )(A)a2+a4=a6 (B)4a+3b=7ab(C)(a2)3=a6 (D)a6a3=a2【解析】【解析】选选C.A，
14、B两个选项中，不是同类项的幂根本不两个选项中，不是同类项的幂根本不能相加；能相加；C选项是幂的乘方的应用，是正确的；选项是幂的乘方的应用，是正确的；D选项根选项根据同底数幂的除法法则，应该是据同底数幂的除法法则，应该是a6a3=a3,所以正确结果是所以正确结果是C.巩固训练3.计算计算a3b2ab2=_.【解析】【解析】a3b2ab2=(a3a)(b2b2)=a2.答案：答案：a24.(a-3b+2c)(a+3b-2c)=(_)2-(_)2.【解析】【解析】(a-3b+2c)(a+3b-2c)=a-(3b-2c)a+(3b-2c)=a2-(3b-2c)2.答案：答案：a 3b-2c5.先化简，
15、再求值：先化简，再求值：(4ab3-8a2b2)4ab+(2a+b)(2a-b),其中其中a=1,b=2.【解析】【解析】原式原式=b2-2ab+4a2-b2=-2ab+4a2,当当a=1,b=2时，时，-2ab+4a2=-212+412=-4+4=0.【归纳整合】【归纳整合】在化简求值的运算中，要注意必须先化简再在化简求值的运算中，要注意必须先化简再求值，化简在整个题目中所占的分值比较重，而化简一般求值，化简在整个题目中所占的分值比较重，而化简一般是整式的混合运算是整式的混合运算,应注意其运算顺序应注意其运算顺序.6.化简：化简：2(m-1)m+m(m+1)(m-1)m-m(m+1).若若m是任意整数，请观察化简后的结果，是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？你发现原式表示一个什么数？【解析】【解析】2(m-1)m+m(m+1)(m-1)m-m(m+1)，=2(m2-m+m2+m)(m2-m-m2-m)=-8m3，原式，原式=(-2m)3，表示，表示3个个-2m相乘相乘.