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1、第三篇第三篇 运动学与动力学运动学与动力学 下一页下一页第十二章第十二章 点的运动点的运动第十三章第十三章 刚体的基本运动刚体的基本运动第十四章第十四章 点的合成运动点的合成运动第十五章第十五章 刚体的平面运动刚体的平面运动第十六章第十六章 动力学基本方程、动量定理、动力学基本方程、动量定理、 动量矩定理动量矩定理第十七章第十七章 动能定理动能定理第十八章第十八章 达朗伯原理达朗伯原理第三篇第三篇 运动学与动力学运动学与动力学 下一页下一页上一页上一页第十二章第十二章 点的运动点的运动 下一页下一页上一页上一页第十二章第十二章 点的运动点的运动第一节第一节 用失径法表示点的位置、速度和加速度用
2、失径法表示点的位置、速度和加速度第二节第二节 用直角坐标法确定点的位置、速度和加速度用直角坐标法确定点的位置、速度和加速度第三节第三节 用自然法确定点的位置、速度和加速度用自然法确定点的位置、速度和加速度课堂练习课堂练习 下一页下一页上一页上一页一、运动方程、轨迹一、运动方程、轨迹OMr = 下一页下一页上一页上一页第一节第一节 用失径法表示点的位置、速度和加速度用失径法表示点的位置、速度和加速度二、点的速度二、点的速度=v=rdtrdDtDrlimtD0三、加速度三、加速度=rdtvdDtDvaDtdt2rd20lim一、点的直角坐标运动方程一、点的直角坐标运动方程kzjyixr+=当点运动
3、时， x、y、z都是时 间t的单值连续函数，即：消去时间t可得到动点M的轨迹方程。 下一页下一页上一页上一页第二节第二节 用直角坐标法确定点的用直角坐标法确定点的 位置、速度和加速度位置、速度和加速度动点M的直角坐标运动方程=)()()(321tfztfytfx 解：以垂直导轨的交点为原点，作直角坐标系Oxy。设M点的 坐标为x，y。由图可得；jjsin31cos32lylx=将 代入上式，得点M的运动方程为twj=tlytlxwwsin31cos32=例1 已知连杆AB长为l，连杆两端分别与滑块铰接，滑块可 在两互垂直的导轨内滑动，角 求连杆上M点的运动方程和轨迹方程。,twj=lAM32=
4、 从运动方程中消去时间t，得点M的轨迹方程为l94222yx=+点M的轨迹为椭圆 下一页下一页上一页上一页二、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影二、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影kvjvivvzyx+=dtrdkdtdzjdtdyidtdxv+=dtvzxydtdzvdyvdtdx=,22yvv2zxvv+=zyx,vvkvvjvvviv=),cos(,v=cos()cos(xaykjaiaaz+=kdtdvjdvzyx+idtdvdt=dtvda = 下一页下一页上一页上一页iaa)aayx=),),2za22yxaaa+=akajaaaz=cos(cos(cos(10=v例2 跨过
5、起重架上滑轮C的绳子，一端挂重物B，另一端A被拖 着沿水平方向匀速运动，速度为 m/s，而A点高为h=1m，滑轮高为H=9m，不计滑轮重和重物尺寸。运动开始时，重物在地面上 处，绳子A端在 处。求重物B上升的轨迹方程，速度 和加速度方程以及重物上升到架顶所需时间。0B0A解： 以地面 处为坐标原点O ， 作x轴铅垂向上，设瞬时t重物B的 坐标为x，因绳长保持不变，故绳 绕过滑轮C拉过的长度等于重物B 上升的高度0BBB00CACAx-= 下一页下一页上一页上一页2220208)()(tAACACA+=+=m，故8,000=-=hHCAtvAA在 中，CAA0D代入式（a），可得B重物上升的运动
6、方程为8642-+=tx则重物B的速度方程为t264tdtdxv+=重物B的加速度方程为)(t=3264+64dtdva = 当重物B升到架顶时，x=H=9m，代入运动方程可解得所需时间t=15s。 下一页下一页上一页上一页一、运动方程)( tfs= 弧坐标是时间t的单值连续函数。二、自然轴系 下一页下一页上一页上一页第三节第三节 用自然法确定点的位置、用自然法确定点的位置、 速度和加速度速度和加速度 当点的轨迹已知时，以点的轨迹作为一条曲线形成的坐标轴来确定的位置，描述点的运动，这种方法称为自然坐标法。 坐标系是以动点M为坐标原点，以轨迹上过M点的切线和法线为坐标轴，并规定切线坐标轴以指向弧
7、坐标的正方向为其正方向，法线坐标轴以指向曲线内凹的方向即指向曲率中心的一方为其正方向。此正交坐标系称为自然坐标轴系，简称自然轴系。三、点的速度三、点的速度四、点的加速度四、点的加速度 下一页下一页上一页上一页tt=vdtdStD0=DD=dSrddtdSDDSrtStD0limlimtt0DDtr0(=DD=vDDDDtStr)limlimvvvtdtdvdtddtvdadtdtddtttt+=+=dtSd22)(切向加速度 表示速度大小的变化ta法向加速度 表示速度方向的变化 na 下一页下一页上一页上一页t=tt=22dtSddtdvatDDD20SvtDD=t0limtSSvvdtdva
8、ttnDDDD=DD=ttt0)(limlimlim0vdStSt)(dt=DDD由图可知：nnaaaaaattarctan,22=+= 下一页下一页上一页上一页jttjjjjttttDD=DDDDD=D=-=D于是时，当122sin, 002sin22sin2Stnvdtdvaaanvannrtrt22,+=即即2rjjjjjt1)2sin(lim2sin2limlim000=DDDD=DD=DDDDDdSdSSSttt（匀速圆周运动）（匀速直线运动或静止）（直线运动）（匀速运动） （圆周运动）（匀速运动）（直线运动）（匀速曲线运动）（匀变速直线运动）常数常数= 3. 有何不同？就直线和曲线
9、有何不同？就直线和曲线说明。说明。adtvd=（直线、曲线都一样），adtdv=为速度的大小变化率，在曲线中应为切向加速度。dtdva=t 下一页下一页上一页上一页4. 判断下列运动是否可能出现，若能出现判断是什么运动？判断下列运动是否可能出现，若能出现判断是什么运动？（加速运动）（不可能） （匀速曲线运动） （不可能或改作 直线加速运动）vMMavMvMaaav（不可能）（减速曲线运动） （不可能或改作 直线减速运动）MvaMavMav 下一页下一页上一页上一页 5. 点作直线运动时，若其速度为零，其加速度也为零。点作曲线运动时，若其速度大小不变，加速度是否 一定为零。答：不一定。 速度为零
10、时加速度不一定为零（自由落体上抛到顶点）。加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心 加速度。6. 切向加速度和法向加速度的物理意义？切向加速度和法向加速度的物理意义？答： 表示速度大小的变化dtdva=tr2van=表示速度方向的变化 下一页下一页上一页上一页解：qMOMMs10=OAOOAOO11, D=因 为等腰三角形，例3 一曲柄摆杆机构，曲柄端点铰接一套管，套管套在摆杆 上。当曲柄端动时，通过套管带动杆绕 轴摆动。已知曲 柄长 OA=10cm， 的单位为 t 的单位为s，摆杆 长 =24cm，距离 =10cm，求M点的摆动方程和t=1s 的位置、速度和加速度。1OMO1jpj,42
11、t=,radMO1OO1 下一页下一页上一页上一页qj2=，于是故运动方程cm3421242221ttMOsppj=scm8.186=pv2scm8.186=pta22scm8.1423=pna222scm9.23=+=naaat。=8.51,7.12tanaaaantscm6 tdtdsvp=2scm6pt=dtdva22222scm2324)6(ttvanppr=cm32tsp= 下一页下一页上一页上一页例4 列车沿圆弧轨道做匀减速运动，初速度540=v km/h，经过800m 后，车速降为18=vkm/h。 如果圆弧半径R=1000m，求列车经过这段路程所需要的时间及通过起点和末点时的加
12、速度。解：将列车视为动点，设列车前进的方向为弧坐标正方 向，取起点 O为弧坐标的原点。当 t=0 时，00=s 下一页下一页上一页上一页初速度sm1560601000540=v末速度sm56060100018=v2220sm225.01000150=Rvan222sm025.010005=Rvan列车在起点和末点的法向加速度为()2220202sm125.08180021552-=-=-=-=ssvvat得列车的切向加速度为mss8000=-以及路程代入()02022ssavv-+=ts80125.01550=-=-=tavvt，可求得列车经过这段路程所需的时间为再由tavvt+=0 下一页下一页上一页上一页()()222220sm257.0225.0125.00=+-=+=naaat于是列车在起点时的全加速度为0皚=05.29225.0125.0arctanarctan00naaata与法线正向间的夹角为()()22222sm127.0025.0125.0=+-=+=naaat列车在末点时的全加速度为上一页上一页a与法线正向间的夹角为=69.78025. 0125. 0arctanarctan2naaat