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1、课程主讲人：第7章 杆件结构力学问题有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院工程中的杆件结构工程中的杆件结构重庆水东门大桥重庆水东门大桥广州塔广州塔输电杆塔输电杆塔卢浮宫金字塔卢浮宫金字塔有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 结构单元结构单元2 杆件单元杆件单元杆单元（桁架单元），梁单元，板单元，壳单元，索单元，膜单元等。杆单元（桁架单元），梁单元，板单元，壳单元，索单元，膜单元等。轴力单元轴力单元扭转单元扭转单元梁弯曲单元梁弯曲单元拉伸压缩变形拉伸压缩变形仅受拉伸仅受拉伸索单元索单元扭转变形扭转变形弯曲变形弯曲变形有限单元法基础 |
2、严波重庆大学航空航天学院3 杆件结构单元杆件结构单元桁架结构单元（平面和三维空间）桁架结构单元（平面和三维空间）轴力单元轴力单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院平面框架结构单元平面框架结构单元轴力单元轴力单元+ +梁弯曲单元梁弯曲单元空间框架结构单元空间框架结构单元轴力单元轴力单元+ +扭转单元扭转单元+ +梁弯曲单元梁弯曲单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 基本方程基本方程受轴向载荷作用的等截面直杆受轴向载荷作用的等截面直杆几何关系几何关系 xuxdd本构关系本构关系 xuEExxdd平衡方程平衡方程 （A：杆的截面积）：杆的截面积） 端端部位移边界条件部位移边界
3、条件 uu 沿杆轴向的分布力沿杆轴向的分布力d()( )dxAf xxkPf(x)载荷载荷有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院杆件的应变能杆件的应变能00111ddd222llxxxxxxVUVEA xNx 势能（泛函）为应变能和外力势之和势能（泛函）为应变能和外力势之和uk是是作用有作用有集中力集中力2 势能势能xxNA截面上的轴力截面上的轴力p0002001( )d( ) d21d( ) d2d() d( ) d2dlxxkkVkllxxkkkllkkkuVf x u xPuEA xf x u xPuEAuxf x u xPux kP的点的位移的点的位移有限单元法基础 | 严波重庆
4、大学航空航天学院位移插值：位移插值： x=+1=-1=0 x1xnxC坐标变换：坐标变换： 12121( )neiininuuuNuNNNuNa1112()2()1nenxxxxxxxl LagrangeLagrange插值函数插值函数 11 轴向应变轴向应变1212addddddddenxnuuNNNuxxxxuB a3 有限元平衡方程有限元平衡方程有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院p0eeeeK aP均布力等效结点载荷：均布力等效结点载荷： 集中力直接加在结点上（一般在集中力作用处设置结点）集中力直接加在结点上（一般在集中力作用处设置结点） 单元势能（泛函）：单元势能（泛函）：
5、TTTTpaac00TTTTaac001()d()( )d()21() (d )() ( )d)2eeeelleeeeeelleeeeEAxf xxEAxf xxBaB B aNaaP= aBaaNPTTaa00dd() ()ddddeelleEAxEAxxxBNNKBTfcc0( )deleeeef xxP = PPNP2p00d( )() d( ) d2deellekkkEAuuxf x u xPux有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2结点结点Lagrange单元：单元： )1 (21),1 (2121NN111112112d111222eeeeeEAEAllK1f11(1)2(
6、 )d12(1)2eelfPf(x)=const1f11(1)12d =1122(1)2eeellff P坐标变换式坐标变换式1212()1xxxx211121 122111(1)()(1)(1)=222xxxxxxN xN x等参等参变换变换等参单元等参单元( 11) 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院受扭矩作用的等截面直杆受扭矩作用的等截面直杆 几何关系几何关系 xxdd（ ：扭率）：扭率） 本构关系本构关系 （I：截面极惯性矩）：截面极惯性矩） 平衡方程平衡方程 ttd( )0dMm xx或或 端端部部位移位移边界条件边界条件 xxtkM1 基本方程基本方程2t2d( )0dx
7、rGIm xxtddxrrMGIGIxddxrrrxddxrrGGrxt2dddddddddxrAAxxrAMrArGrAxGrAGIxx载荷载荷mt(x)有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院扭转轴的应变能扭转轴的应变能22002222000d111dd d() d d222ddd111()d d()dd2d2d2llxrrrrVAAlllxxrrAUVGA xGrA xxGrA xGIxGIxxx 或或2t000d111dd() d222dlllxrrUMxGIxGIxx作用有集中作用有集中扭矩扭矩结点的扭转角度结点的扭转角度2 势能势能ptt002tt001()d( )d21d(
8、)d2llxrxkxkkllrxkxkkGIxm xxMGIxm xxM势能势能有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院单元的势能单元的势能： 12121( )xnxexixinixnNNNN Na单元的单元的扭角插值扭角插值单元的扭率单元的扭率1212tddddddddxxexnxnNNNxxxxB a2ptt001()d( )d2eellexrxkxkkGIxm xxM3 有限元平衡方程有限元平衡方程11 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院注意：注意：前述扭转方程为自前述扭转方程为自由扭转方程，对于非园截由扭转方程，对于非园截面杆，扭转后截面不再保面杆，扭转后截面不再保持为平
9、面，即发生翘曲，持为平面，即发生翘曲，需应用约束扭转理论。需应用约束扭转理论。 p0eeeeK aP计算计算截面截面任意点任意点的的剪应力剪应力trrM rI2结点结点一次扭转单元的刚度矩阵一次扭转单元的刚度矩阵1111ereGIlKdd2elx11 1TTtt012dd() ()ddddelerreGIGIxxxlNNKB BTTfctctc00( )d( )d2eeelleeeeelm xxmP = MMNMNM有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 Euler-Bernoulli平面平面梁梁基本理论基本理论Euler-Bernoulli梁变形特征梁变形特征变形前垂直于中面的截面变
10、形后仍然垂直于中面，且保持为平面变形前垂直于中面的截面变形后仍然垂直于中面，且保持为平面。忽略。忽略层间剪切变形影响。层间剪切变形影响。ddwxddwuzzx 22ddddxuwzzxx 0yzxyxzyz有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院22222222222222dddddddddhhhhhhxwwwMzzEzzEzzEIEIxxx Euler-Bernoulli梁微元体及应力分布梁微元体及应力分布0oM 33ddddMwQEIxx 0zF 44dd( )ddQwEIq xxx端端部位移边界条件部位移边界条件 xwwwdd,载荷载荷q(x)m(x)jPkM有限单元法基础 | 严波
11、重庆大学航空航天学院几何关系几何关系 22ddxw（ ：梁中面变形后的曲率）：梁中面变形后的曲率）应力应变关系应力应变关系 22ddxwEIEIM（I：截面惯性矩截面惯性矩） 平衡方程平衡方程 33ddddxwEIxMQ)(ddddQ44xqxwEIx或或端端部部位移位移边界条件边界条件 xwwwdd,基本方程基本方程 应变能应变能和势能和势能222200222222220000111ddd d() d d222d1d1d11()d d() ddd2d2d22llxxxxVAAllllAwUVEA xEzA xxwwEzA xEI xMxEIxxx 2p0001dd( )d( ) d( )d(
12、)2ddllljjkjkkwwwEIxq x w xm xxP wMxx载荷载荷q(x)m(x)jPkM有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 2结点结点Euler-Bernoulli梁梁单元单元 2结点结点Euler-Bernoulli梁单元梁单元Hermite 插值函数插值函数 11213242dd( )( )+( )() +( )+( )()ddwwwHwHHwH11212()2()11exxxxxxl dd2elxdddd=ddd2 d2eewwxlwlxx4112132421( )( )+( )+( )+( )22eeiiillwHwHHwHN a有限元离散有限元离散有限单元
13、法基础 | 严波重庆大学航空航天学院d()(1,2)diiwix （Hermite 插值函数插值函数 ）11123422ewwNNNNwNa22b22dd=ddeewxx NaB a231111( )( )(1) (2)=(23)44NH22322( )( )(1) (1)(1)288eeelllNH233311( )( )(1) (2)=(23)44NH22344( )( )(1) (1)( 1)288eeelllNH 广义应变矩阵广义应变矩阵有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院 p0eeeeK aP由由单元的势能泛函单元的势能泛函2p0001dd( )d( ) d( )d()2dd
14、eeelllejjkjkkwwwEIxq x w xm xxP wMxxTTpbb00TTT0TT1() ()d()( )d2d()d()( )d()()dd1()()()2eeelleeeeleeekjjkjkeeeeeEIxq x xxm x xxPMxxB aB aNaNNaNaaaKaaPTbb0() ()deleEIxKBBTTTT00d()d( )d()( )d()()ddeelljejjkjkxq x xm x xxPMxxNNPNN有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院d2 dddexlNN22222d4 dddexlNN222222d16(1)(321)6(1)(321
15、)d8d16(31)6(31)d4eeeellllNN22b2222d4 d16(31)6(31)ddeeeellxll NNB223221261266462=1261266264eeeeeeeeeeeeeellllllEIlllllllK单元刚度矩阵单元刚度矩阵有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院TT11TT11d2 d( )d( )d()()2ddeejjkkejklqmPMlNNPNN( )constqqTT2211212212212212eeeeeeeeqqlqlqlqlllqlPT1010emmP22222222d4 d4 ddddeeewwxll Na2224ddeeEIM
16、EIl Na33333333d8d8ddddeeewEIwEIQEIxll Na22224 d( )6(31)6(31)deeeexeeMzzzllEIll Naa33338d433deeeeeeQEIEIllAl Al A Naa( )constmm计计算算单单元元中中任任意意一一点点的的值值有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 Timoshenko平平面梁面梁基本理论基本理论Timoshinko梁截面的转动关系梁截面的转动关系梁的高度相对于跨度不太小，层间剪切变形不能忽略，横向剪切力产生的梁的高度相对于跨度不太小，层间剪切变形不能忽略，横向剪切力产生的剪切变形引起的附加挠度不
17、能忽略，因此原垂直于中面的截面变形后不再剪切变形引起的附加挠度不能忽略，因此原垂直于中面的截面变形后不再垂直于中面，但假设该截面仍为平面垂直于中面，但假设该截面仍为平面。ddwxuz ddddxuzxx ddddddxzwuwxzx ddxzwxddx 22ddwx 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院正应力分布正应力分布剪应力实际分布剪应力实际分布剪应力等效均匀分布剪应力等效均匀分布ddxxEEzx d()dxzxzwGGx截面上均匀分布的剪应变，截面上均匀分布的剪应变，等于中面处的剪应变等于中面处的剪应变 剪力剪力 等效均等效均布剪应力布剪应力 校正因子校正因子实际上，剪应变和剪应
18、力在截面上按抛物线分布，变形后截面实际上，剪应变和剪应力在截面上按抛物线分布，变形后截面不再是平面，引入校正因子不再是平面，引入校正因子 k 。sxzsxzxzQAAGkAG有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院22111d222sxzxzsxzxzAUAAGkAG sxzsxzxzQAAGkAGxzQkAG212QUkAG按实际剪应力分布的剪应变能按实际剪应力分布的剪应变能截面的等效剪切应变能截面的等效剪切应变能211dd22xzxzxzAAUAAG UU2221(d )2xzAQQkAAGUAGG矩形截面矩形截面： k=5/6圆截面圆截面：k=9/10令令有限单元法基础 | 严波重庆
19、大学航空航天学院梁的应变梁的应变能：弯曲应变能能：弯曲应变能+ +剪切应变能剪切应变能梁的势能泛函梁的势能泛函 ddx ddxzwx220011dd22llxzUEIxkGAx22p000011dddd22llllxzjjkkjkEIxkGAxqw xmxP wM2200001d1d() d() d2d2dddllplljjkkjkwEIxkGAxxxqw xmxP wM等截面梁等截面梁有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院忽略位能泛函中载荷贡项，并除以忽略位能泛函中载荷贡项，并除以12EI，得到如下泛函，得到如下泛函 22p00dd() d() dddllkGAwxxxEIx该式反映了
20、弯曲和剪切变形对刚度的相对贡献该式反映了弯曲和剪切变形对刚度的相对贡献当当梁梁的高度很小的高度很小时时=kGAEI会很大会很大22p00dd() d() d ,ddllwkGAxxxxEI如：如：矩形截面梁矩形截面梁312bhI 0h d0dxzwx（罚参数）（罚参数）讨论：讨论：梁梁的高度很小的高度很小时剪切时剪切变形变形的约束条件得以的约束条件得以满足满足。Euler-Bernoulli梁梁有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 在在Euler-Bernoulli梁单元中引入剪切应变的梁单元梁单元中引入剪切应变的梁单元1 1）位移插值）位移插值 法向位移：法向位移： sbwww弯曲
21、引起的法向位移弯曲引起的法向位移 剪切变形引起的附加法向位移剪切变形引起的附加法向位移 2 2 结点单元的单元结点位移结点单元的单元结点位移 2211)dd()dd(xwxwbb11123422bbebbbwwNNNNwN a5162sssesswN wN w N a与不考虑剪切变形梁相同的与不考虑剪切变形梁相同的HermiteHermite插值插值 2 2结点结点LagrangeLagrange插值插值 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院b1234s56,NNNNNNNN212223241( )(1) (2)4( )(1) (1)81( )(1) (2)4( )(1) (1)8ee
22、NlNNlN5611(1),(1)( 11)22NN HermiteHermite插值插值 函数函数LagrangeLagrange插值函数插值函数 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2）有限元平衡方程有限元平衡方程 利用位移插值关系，由利用位移插值关系，由p0e可得可得 bbbK aPsssK aP（与不考虑剪切变形梁弯曲问题有限元方程一致）（与不考虑剪切变形梁弯曲问题有限元方程一致） s1111eekGAlK1TTsss1d()2ejjjlqPePNN单元的势能单元的势能22p00001d1d() d() ddd2d2deeeellllejjkkjkwEIxkGAxqw xmxP
23、 wMxx22bb22dd=ddbeewxx NaB a156ss2ddddddddddssssexzswNNwuwxzxxxwB a有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院单元平衡方程可以进一步简化单元平衡方程可以进一步简化，由弹性关系可得，由弹性关系可得 561221ddd()()dddsssssxzeNNwkGAQkGAkGAkGAwwwwxxxl2211222d6 ()(31)(31)dbbbeeewEIMEIEIwwllxl 由平衡条件由平衡条件 有几何关系有几何关系 ssbbwwwwww12121221123d2 d12=()()dd2ebbeeMMEIlQwwxll21211
24、2312()()()2essbbeekGAEIlwwwwll212112()()2essbblwwww212eEIkGAl有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院由上两个方程可以得到由上两个方程可以得到 代入代入2121121()()12(1)ebblwwww2212112()()12(1)esslwwwwEuler-Bernoulli梁单元的平衡方程梁单元的平衡方程112211322222212612664621261266264beeeeeeebeeeeeepwllmllllEIplwllmllll1121221121232121222121212()6 ()6 ()2(2)12()6
25、 ()6 ()2(2)bbeebbeebbeebbepwwlmlwwlEIplwwlmlwwl121122212112322112222211212()6 ()6 ()(4)(2)(1+ )12()6 ()6 ()(2)(4)eeeeeeeeepwwlmlwwllEIplwwlmlwwll有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院T2211wwea223221261266(4)6(2)(1)1261266(2)6(4)eeeeeeeeeeeeeellllllEIlllllllKeeeK aP11221132222221261266(4)6(2)(1+ )1261266(2)6(4)eeeee
26、eeeeeeeewpllmllllEIwplllmllllTT11TTbb11dd2d( )d()()2ddejjkkejklqmPMleNNPNN15236411()()22NNNNNNN有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院剪切变形的影响可以忽略剪切变形的影响可以忽略单元刚度矩阵简化为单元刚度矩阵简化为Euler梁梁单元单元刚度矩阵刚度矩阵 剪切变形的影响通过系数剪切变形的影响通过系数反映。反映。当梁的高度很小时，忽略横向当梁的高度很小时，忽略横向剪切变形的影响，可以理解为剪切模量剪切变形的影响，可以理解为剪切模量G趋于趋于无穷大无穷大212eEIkGAl讨论：讨论：0有限单元法基础
27、 | 严波重庆大学航空航天学院挠度和界面转动独立插值挠度和界面转动独立插值Ni：Lagrange插值函插值函数数。C0连续单元，便连续单元，便于推广到板壳。于推广到板壳。3 2结点结点Timoshenko梁单元梁单元11221122( )( )( )( )wNwNwNN 1211( )(1),( )(1)( 11)22NN 112112220000ewNNwNNw uNa1212121212dddddd()ddddddd112 111()=()()d2222eeNNxxxxll 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院12121 122121 122ddddddddd()()ddd1()(
28、)xzewwxxNNwwNNxwwNNlbe B aexzs B abs11001111(1)(1)22eeeellll BBTTpbbss00TT011() ()d() ()d22()d()eeelleeeeeleeeEIxkGAxqxmBB aB aB aaNaaFT1122ePMPMF单元结点处的集中力和集中力矩列向量单元结点处的集中力和集中力矩列向量有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院由由p0e得得 11TTbsbbbsss11,d ,d22eeeeeeEIlGAlKKKKB BKB BTTTTpbbss00TTT0() (d )()d )()d()eeelleeeeeleee
29、EIxkGAxqxm（aB BaaB BaaNaFeeeK aP1TT11221T111111221111T1122d2dddd2eeeqlPMPMmlN qN mN qN mPMPMPN若若q和和m为均匀分布为均匀分布TT11222eelqmqmPMPMP有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院当梁的高度变小时，当梁的高度变小时，剪切应变为零剪切应变为零常数项和一次项应分别为零常数项和一次项应分别为零0)(211221单元内：单元内：const梁不能发生弯曲变形梁不能发生弯曲变形单元单元剪切剪切锁死锁死（shear lockingshear locking）原因原因：w， 独立插值，同阶
30、，导致独立插值，同阶，导致不同阶。不同阶。,ddxw解决途径：解决途径：计算剪切应变时，使计算剪切应变时，使,ddxw预先保持同阶。预先保持同阶。剪切自锁现象剪切自锁现象0 xz121 122212121d1111()()()()()0d22xzeewwwNNwwxll 212111()()2ewwl有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院具体方案：具体方案：i i）减缩积分（）减缩积分（reduced integrationreduced integration）采用比精确积分要求少的积分点数。采用比精确积分要求少的积分点数。如：如：2 2结点单元，精确积分：结点单元，精确积分：2 2点
31、，减缩积分：点，减缩积分：1 1点。点。 采用减缩积分，以积分的一个采用减缩积分，以积分的一个值代替单元内的线性变化，值代替单元内的线性变化，,ddxw同阶，消除自锁现象。同阶，消除自锁现象。ii ii）假设剪切应变（）假设剪切应变（assumed shear strainsassumed shear strains）收敛性问题收敛性问题2 2结点单元不能描述纯弯曲状态。故结点单元不能描述纯弯曲状态。故推荐采用推荐采用3 3结点或结点或4 4结点结点TimoshenkoTimoshenko梁单元。梁单元。描述常弯曲状态的位移模式：描述常弯曲状态的位移模式：221xw对于剪切变形可以忽略的情况，
32、应尽量对于剪切变形可以忽略的情况，应尽量采用采用Euler-BernoulliEuler-Bernoulli梁单元。梁单元。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院二维桁架结构二维桁架结构每一根杆都是二力杆每一根杆都是二力杆每一根杆件的取向不同每一根杆件的取向不同局部坐标下局部坐标下的轴力单元的轴力单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院局部坐标和整体坐标下局部坐标和整体坐标下的典型平面桁架单元的典型平面桁架单元局部坐标下单元的局部坐标下单元的结点结点位移列向量位移列向量T12=euua整体坐标系下单元整体坐标系下单元结点结点位移列向量位移列向量T1122=euvuva111112
33、2222coscoscoscosx xx yx xx yuuvu lvluuvu lv l 21212221212121222121()()()()x xex yexxxxllxxyyyyyyllxxyy结点结点位移位移变换变换1 结点位移坐标变换结点位移坐标变换=eeaTa0000 x xx yx xx yllllT有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院T=eeKT K T1111eeEAlKT1()2eeeeUaK aTT1()2eeeeUaT K TaT1()2eeeeU aK a22222222x xx x x yx xx x x yx x x yx yx x x yx yeex
34、 xx x x yx xx x x yx x x yx yx x x yx yllllllllllllEAlllllllllllllK2 刚度矩阵刚度矩阵坐标变换坐标变换=eeaTa局部坐标局部坐标系系整体整体坐标坐标系系应变能是标量，与坐标系无关应变能是标量，与坐标系无关有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院Tf0( )delexxPN f轴向分布载荷轴向分布载荷分解到整体坐标系的两个方向分解到整体坐标系的两个方向结点结点集中集中载荷载荷分解到整体坐标系的两个方向分解到整体坐标系的两个方向单元方程的组集单元方程的组集=Ka PTfcc0( )deleeeexxP = PPN fP单元等
35、效结点单元等效结点载荷载荷单元结点载荷单元结点载荷施加在整体平衡方程右端列向量中对应的自由度方向，施加在整体平衡方程右端列向量中对应的自由度方向，无需进行无需进行坐标坐标转换。转换。ceP3 刚度矩阵刚度矩阵及结点载荷的组集及结点载荷的组集有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院121211=1 1=1 1eeeeuuuullla=1 1eeEEla11=1 1eex xx yx xx yeellllllTaa=1 1eex xx yx xx yeeEEllllllTaa4 单元应变和应力计算单元应变和应力计算有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院算例算例 E=29.5X106Pa，
36、A=1.0m2。（1）计算每一个单元的刚度矩阵；）计算每一个单元的刚度矩阵；（2）组装得到结构的刚度矩阵；）组装得到结构的刚度矩阵；（3）计算结点位移；）计算结点位移；（4）计算每个单元的应力；）计算每个单元的应力；（5）计算支座反力。）计算支座反力。结点坐标结点坐标结点结点结点坐标（结点坐标（m）xy1002400340304030单元定义单元定义单元单元局部结点局部结点1局部结点局部结点2112232313443有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院单元长度和方向余弦单元长度和方向余弦单元单元l e /m方向余弦方向余弦1401.00.02300.0-1.03500.80.64401
37、.00.0 x xl x yl22222222x xx x x yx xx x x yx x x yx yx x x yx yeex xx x x yx xx x x yx x x yx yx x x yx yllllllllllllEAlllllllllllllK有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院611234101010000229.5 10101034000004K整体自由度整体自由度625634000050101629.5 10000033001014K6312560.640.480.640.4810.480.360.480.36229.5 100.640.480.640.48
38、5500.480.360.480.366K647856101070000829.5 10101054000006K有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院组集结构得到整体刚度矩阵组集结构得到整体刚度矩阵注意各单元结点自由度在整体坐标系中的对应关系注意各单元结点自由度在整体坐标系中的对应关系61234567822.685.7615.007.685.760014.32005.764.3200215.000000320.0020.000429.5 1022.685.7615.00560024.3200615.00708symmK结构的右端载荷列向量结构的右端载荷列向量T12478=2000002
39、5000RRRRRP有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院引入位移边界条件，高斯消去法求解得到结点位移引入位移边界条件，高斯消去法求解得到结点位移：T3= 0027.1205.6522.250010a=ex xx yx xx yeEllllla计算单元应力计算单元应力6130029.5 101010=20000.027.12 1040023421880.0Pa5208.0Pa4167.0Pa ，有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院利用整体平衡方程可以求支座的反力利用整体平衡方程可以求支座的反力：6312422.685.7615.007.685.760004.32005.764.3
40、200015.00000027.1220.0020.000029.5 101022.685.7615.005.6560024.320022.2515.00000200000symmRRR 7825000RR有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院12634780022.685.7615.007.685.760027.125.764.32005.764.3200029.5 101000020.0020.0005.65600000015.0015.0022.25000000000015833.RRRRR03126.021879.04167.00注意计算过程中注意计算过程中单位单位的统一。的统一
41、。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院局部坐标和整体坐标下局部坐标和整体坐标下的典型的典型三维三维桁架单元桁架单元局部坐标下单元的局部坐标下单元的结点结点位移列向量位移列向量T12=euua整体坐标系下单元整体坐标系下单元结点结点位移列向量位移列向量结点结点位移位移变换变换T111222=euvwuvwa=eeaTaz000000 x xx yxx xx yx zllllllT单元刚度矩阵变换单元刚度矩阵变换T=eeKT K T有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院平面框架平面框架杆件受力特点杆件受力特点：杆件受轴力和弯矩共同作用：杆件受轴力和弯矩共同作用有限单元法基础 | 严波
42、重庆大学航空航天学院局部坐标系内梁单元局部坐标系内梁单元结点位移：结点位移：单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：轴力单元刚度子矩阵轴力单元刚度子矩阵弯曲单元刚度子矩阵弯曲单元刚度子矩阵2 2结点结点EulerEuler梁单元刚度矩阵梁单元刚度矩阵323222323222000012612600646200000012612600626400eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll K1 单元矩阵及其变换单元矩阵及其变换单元应变单元应变T,(1,2,)iiiiuwina1112121
43、22212eeeneeeeneeennnnKKKKKKKKKK( )( )0,( ,1,2,)0aijeijbiji jn KKK局部坐标系下的二维梁单元局部坐标系下的二维梁单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院轴力结点载荷子矩阵轴力结点载荷子矩阵弯曲结点载荷子矩阵弯曲结点载荷子矩阵结点等效载荷结点等效载荷矩阵转换矩阵转换局部坐标系下局部坐标系下结点结点位移列向量位移列向量111222T12ennnnuwuwuwaaaa整体整体坐标系下坐标系下结点结点位移列向量位移列向量111222T12ennnuwuwuwaaaaT11eeeenPPPP( )( )aeiibi PPP局部坐标和整
44、体坐标下的梁单元局部坐标和整体坐标下的梁单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院线位移和转角的变换关系线位移和转角的变换关系,ii x xi x yii y xi y yuulwlwulwlcos( , )cos ,cos( , )sincos(y, )sin,cos(, )cosx xx yy xy ylx xlx ylxly y 1012020000000000000eennaTaaTaaTaaTa000001x xx yy xy yllllTeeeK aPTT()eeeTK aT PTTeeeT K TaT PeeeK aPTTeeeeeeKT K T,aTa ,PT P矩阵变换
45、关系矩阵变换关系有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 铰结点的处理铰结点的处理铰结点处铰结点处（a a）各杆线位移相同）各杆线位移相同（b b）截面转动不相同）截面转动不相同（c c）铰结点不承受弯矩）铰结点不承受弯矩单元单元的铰接端，转动属于内部自由度，可以在单元层次上凝聚掉。的铰接端，转动属于内部自由度，可以在单元层次上凝聚掉。 自由度释放自由度释放铰结点铰结点有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院由第二个方程由第二个方程100()cccccaKPK a代入第一个方程代入第一个方程*1*100000000,ccccccccK aPKKK KKPPK KP 为编程方便，为编程
46、方便，K*保留原来的阶次，将对应于释放自由度的相应保留原来的阶次，将对应于释放自由度的相应刚度系数置为零。刚度系数置为零。实现方法：实现方法：eeeK aP00000eeecccccc KKaPKKaP单元内需凝聚掉的自由度单元内需凝聚掉的自由度有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院3 单元截面应力计算单元截面应力计算T111222ennnuwuwuwa轴向位移轴向位移iu轴轴力单元几何关系计算力单元几何关系计算轴向应变轴向应变xxxE轴向应力轴向应力轴向变形轴向变形弯曲变形弯曲变形xMrEIx yQA 截面上的正应力需要将轴向力引起的正应力和弯曲引起的正应力进行叠加截面上的正应力需要将
47、轴向力引起的正应力和弯曲引起的正应力进行叠加有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院空间杆件系统受力特点：空间杆件系统受力特点：杆件受轴力、弯矩和扭矩共同作用。杆件受轴力、弯矩和扭矩共同作用。三维梁变形及受力特征三维梁变形及受力特征三维框架结构三维框架结构有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院三维空间三维空间2 2结点梁单元结点梁单元力和线位移力和线位移力矩和截面转动力矩和截面转动1 1 单元矩阵及其变换单元矩阵及其变换局部坐标系内空间杆单元的特性矩阵局部坐标系内空间杆单元的特性矩阵TTiiiixiyiziixiyizix xiiyiziuvwNNNMMMaPT12eaaaT12eP
48、PP有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院323232322230000000000126126000000012612600000000000004620000046200000000012000eezzzzeeeeyyyyeeeeeeyyyeeezzzeeeeezeEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllGJGJllEIEIEIlllEIEIEIlllEAlEIl 对K23261260000404zeyyeeeyezeEIlEIEIllGJlEIlEIl称有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院矩阵转换矩阵转换T10T2T0T0000000000000eena
49、TaTaT aaTTT,eeeeKT K TPT P01001010,0 x xx yx zy xy yyxzz xz yz zlllllllllTTTT空间梁空间梁局部坐标和整体坐标的转换局部坐标和整体坐标的转换有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2 单元截面应力计算单元截面应力计算轴向位移轴向位移iu轴轴力单元几何关系计算力单元几何关系计算轴向应变轴向应变xxxE轴向应力轴向应力轴向变形轴向变形（与平面框架类似）（与平面框架类似）弯曲变形弯曲变形（需计算两个方向弯矩对应的应力）（需计算两个方向弯矩对应的应力）结点位移结点位移T(1,)iiixiyiziuvwinia1yzxM rE
50、Izx zNA 2zyxM rEIyx yNA 扭转扭转变形变形xrrM rI截面上的应力需要将轴向截面上的应力需要将轴向变形、变形、弯曲弯曲和扭转和扭转引起的应力进行叠加引起的应力进行叠加。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1 1 梁单元的几何刚度矩阵梁单元的几何刚度矩阵梁单元梁单元梁的微元变形梁的微元变形受轴向力和弯矩作用的梁单元受轴向力和弯矩作用的梁单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院梁的微元，其在变形前的长度为梁的微元，其在变形前的长度为dx，发生弯曲变形后的长度改变为，发生弯曲变形后的长度改变为22222ddd(d )(d )(d )(d )d1 ()ddwwx