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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校统一考试数学试题卷 必做题部分一填空题1函数的最小正周期为 。2设（为虚数单位），则复数的模为 。3双曲线的两条渐近线的方程为 。4集合共有 个子集。5下图是一个算法的流程图，则输出的的值是 。6抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。7现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 。8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 。9抛物
2、线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部与边界）。若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 。10设分别是的边上的点，若 （为实数），则的值为 。11已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式的解集用区间表示为 。12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 。13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。14在正项等比数列中，则满足的最大正整数 的值为 。二解答题：15本小题满分14分。已知，。（1）若，求证：；（2）设，若，求的值。
3、16本小题满分14分。如图，在三棱锥中，平面平面，xyAlO，过作，垂足为，点分别是棱的中点.求证：（1）平面平面； （2）.17本小题满分14分。如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上。（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。CBA18本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为
4、，经测量，。（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19本小题满分16分。设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，其中为实数。（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：。20本小题满分16分。设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。卷 附加题部分选做题第21题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21A.选修4-1：几何证明选讲本小题满分10分。如图，和分别与圆相切于点，经过圆心，且求证：21B.选修4-2：矩阵与变换本小题满分10分。已知矩阵，求矩阵。21.C.选修4-4：坐标系与参数方程本小题满分10分。在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），曲线C的参数方程为 （为参数），试求直线与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。21D.选修4-5：不定式选讲本小题满分10分。已知0，求证：必做题第22、23题，每题10分，共20分。请在相应的答题区域内作答，若多做，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22本小题满分10分。如图，在
6、直三棱柱中，,点是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求平面与所成二面角的正弦值。23本小题满分10分。设数列，即当时，记，对于，定义集合（1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数。参考答案一、填空题1 25 3 48 53 62 7 8 910 11 12 13或 1412二、解答题15解：（1） 即，又，（2） 即 两边分别平方再相加得： 16证明：（1），F分别是SB的中点EF分别是SASB的中点 EFAB又EF平面ABC, AB平面ABC EF平面ABC同理：FG平面ABC又EFFG=F, EFFG平面ABC平面平面（2）平面平面平面平面=BCAF平面SABAFSBA
7、F平面SBC 又BC平面SBC AFBC 又, ABAF=A, ABAF平面SAB BC平面SAB又SA平面SABBCSA17解：（1）由得圆心C为（3,2），圆的半径为圆的方程为：显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即或者所求圆C的切线方程为：或者即或者（2）解：圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）则圆的方程为：又设M为（x,y）则整理得：设为圆D点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点由得由得终上所述，的取值范围为：18解：（1）， 根据得（2）设乙出发t分钟后，甲乙距离为d，则即时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。（3）由正弦定理得（m）乙
8、从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走710 m 才能到达C设乙的步行速度为V ,则为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内法二：解：（1）如图作BDCA于点D，设BD20k，则DC25k，AD48k，AB52k，由AC63k1260m，知：AB52k1040m（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示则：AM130x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000，其中0x8，当x(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短（3）由（1）知：BC500m，甲
9、到C用时：(min)若甲等乙3分钟，则乙到C用时：3 (min)，在BC上用时： (min) 此时乙的速度最小，且为：500m/min若乙等甲3分钟，则乙到C用时：3 (min)，在BC上用时： (min) 此时乙的速度最大，且为：500m/min故乙步行的速度应控制在，范围内CBADMN19证明：是首项为，公差为的等差数列，是其前项和（1） 成等比数列 左边= 右边=左边=右边原式成立（2）是等差数列设公差为，带入得： 对恒成立由式得： 由式得：法二：证：（1）若，则，当成等比数列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差数列，则型观察()式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，
10、即，而0，故经检验，当时是等差数列20.解：（1）由即对恒成立，而由知1 由令则当时0，当时0，在上有最小值1 综上所述：的取值范围为（2）证明：在上是单调增函数即对恒成立，而当时， 分三种情况：（）当时， 0 f（x）在上为单调增函数 f（x）存在唯一零点（）当0时，0 f（x）在上为单调增函数0且0f（x）存在唯一零点（）当0时，令得当0时，0；时，0为最大值点，最大值为当时，有唯一零点当0时，0，有两个零点实际上，对于0，由于0，0且函数在上的图像不间断 函数在上有存在零点另外，当，0，故在上单调增，在只有一个零点下面考虑在的情况，先证0为此我们要证明：当时，设 ，则，再设当1时，-20
11、，在上是单调增函数故当2时，0从而在上是单调增函数，进而当时，0即当时，当0时，即e时，0又0 且函数在上的图像不间断，函数在上有存在零点，又当时，0故在上是单调减函数函数在只有一个零点综合（）（）（）知：当时，的零点个数为1；当0时，的零点个数为221A证明：连接OD，AB与BC分别与圆O相切于点D与C,又 又BC=2OC=2OD AC=2AD21B 解：设矩阵A的逆矩阵为,则=，即=，故a=-1，b=0，c=0，d=矩阵A的逆矩阵为,=21C解：直线的参数方程为 消去参数后得直线的普通方程为 同理得曲线C的普通方程为 联立方程组解得它们公共点的坐标为，21D证明：又0，0，,22本题主要考
12、察异面直线二面角空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，,异面直线与所成角的余弦值为（2） 是平面的的一个法向量设平面的法向量为，,由 取，得，平面的法向量为设平面与所成二面角为， 得平面与所成二面角的正弦值为23本题主要考察集合数列的概念与运算计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。（1）解：由数列的定义得：，集合中元素的个数为5（2）证明：用数学归纳法先证事实上，来源:Z_xx_k.Com 当时， 故原式成立 假设当时，等式成立，即 故原式成立则：，时，综合得： 于是由上可知：是的倍数而，所以是的倍数又不是的倍数，而所以不是的倍数故当时，集合中元素的个数为于是当时，集合中元素的个数为又故集合中元素的个数为专心-专注-专业