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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一. 教学内容: 1. 圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系,正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。 (4)圆内接四边形的性质定理及其推论。 (5)切线的性质及判定。 (6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质,两圆的公切线性质。 (9)圆周长、弧长;圆、扇形,弓形面积。 (10)圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。 二. 中考聚
2、焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表: 圆的知识在中考中所占的比例大,题型多,常见的有填空题、选择题、计算题或证明题,近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图: 【典型例题】 【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以120m为半径的圆的外部,如图所示: 解: 点导火索的人非常安全 【例2】. 已知梯形ABCD内接于O,ABCD,O的半径为4,A
3、B6,CD2,求梯形ABCD的面积。 分析:要求梯形面积必须先求梯形的高,即弦AB、CD间距离,为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理,故作OECD于E,延长EO交AB于F,证OFAB。 此题容易出现丢解的情况,要注意分情况讨论。 解:分两种情况讨论: (1)当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时,如图(1): 过O作OECD于E,延长EO交AB于F 连OC、OB,则CEDE ABCD,OECD OFAB,即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中,EC1,OC4 (2)当弦AB、CD在圆心O的同侧时,如图(2): 过O作OECD于E,交AB于F 以下证法同(1),略。 【例3】
4、. 如图,已知AB为O的直径,P是OB的中点,求tanCtanD的值。 分析:为了求tanCtanD的值,需要分别构造出含有C和D的两个直角三角形。而AB是直径,为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD,则得到RtACB和RtADB。可以发现ACDABD,ADCABC,于是,可以把tanCtanD转化为 解:连结BC、BD AB是O的直径,ACBADB90 ACDABD,ADCABC 作AECD于E,作BFCD于F 则AECADB ACADAEAB 同理,BDBCBFAB APEBPF P为半径OB的中点 tanCtanD3 【例4】. 分析:由已知条件,等边ABC可得60角,根据圆的性质,可得
5、ADB60,利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段DC。 证明:延长DB至点E,使BEDC,连结AE ABC是等边三角形 ACBABC60,ABAC ADBACB60 四边形ABDC是圆内接四边形 ABEACD 在AEB和ADC中, AEAD ADB60 AED是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 说明:本例也可以用其他方法证明。如: (1)延长DC至F,使CFBD,连结AF,再证ACFABD,得出ADDF,从而DBCDDA。 (2)在DA上截取DGDC,连结CG,再证BDCAGC,得出BDAG,从而DBCDDA。 【例5】. 如图,已知四
6、边形ABCD内接于O,AB是直径,ADDC,分别延长BA、CD交于点E,BFEC交EC的延长线于F,若EAAO,BC12,求CF的长。 分析:在RtCFB中,已知BC12,求CF,故可寻找与之相似的直角三角形,列比例式求解。 解:连结OD,BD ABCAOD ODBC EAAO,EAAOBO AB16,BE24 四边形ABCD内接于O EDAEBC E是公共角 EDAEBC 设ADDCx,EDy,则有 AB为O的直径 ADBF90 又DABFCB RtADBRtCFB 说明:与圆有关的问题,大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形,找到线段之间的关系,并且运用了方程的思想解几何问
7、题,这是解几何问题的一种重要方法。 【例6】. 如图,已知等腰ABC中,ABAC,以AB为直径的O分别交AC、BC于 解:连结FD AB是直径,ADBC ABAC,BDDC,FADDAB 四边形ABDF是圆内接四边形 CFDB C是公共角 ABCDFC ABAC CDDF (也可以证CFDB,ABAC,BC,CCFD,CDDF。) DE切O于D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF,DECF 设CD3x,AC5x EC9 【例7】. 如图,相交两圆的公共弦长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部
8、分的面积。 解:公共弦AB120 【例8】.一个长方体的香烟盒里,装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后,二十支香烟排列成三行,如图(1)所示。经测量,一支香烟的直径约为0.75cm,长约为8.4cm。 (1)试计算烟盒顶盖ABCD的面积(本小题计算结果不取近似值)。 (2)制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张(不计重叠粘合的部分,计算结果 解题点拨:四边形ABCD中,AD长为7支香烟的直径之和,易求;求AB长,只要计算出如图(2)中的O1E长即可。 解:(1)如图(2),作O1EO2O3 四边形ABCD的面积是: (2)制作一个烟盒至少需要纸张: 【例9】. 在直径为20cm的圆中,有
9、一弦长为16cm,求它所对的弓形的高。 解:一小于直径的弦所对的弓形有两个:劣弧弓形与优弧弓形。 如图,HG为O的直径,且HGAB,AB16cm,HG20cm 故所求弓形的高为4cm或16cm【例10】.求:CAD所夹圆内部分的面积。 解:符合题设条件的图形有两种情况: (1)圆心O在CAD的内部,如图(1),连结OC、OD,过O作OEAD于点E OCAB (2)圆心O在DAC的外部时,如图(2),有: 【例11】. 分析:由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定,所以要分多种情况讨论,可分为四种情况。 解:(1)当AB、CD不相交时,且AB、CD在圆心的两侧,如图(1)连结OD、OB。 M、N
10、分别是弦AB、CD的中点,OD、OB过圆心O 图(1) (2)当AB、CD不相交,且在圆心O的同侧时,如图(2),连结OB、OC 图(2) (3)当AB、CD相交于点P,且圆心O在DPA的内部时,如图(3),DPA是圆内角, 图(3) (4)当AB、CD相交于点P,且圆心O在DPA的外部时,如图(4) 图(4) 【例12】.已知:如图,圆心A(0,-3),圆A与x轴相切,圆B的圆心B在x正半轴上,且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N:(1)求证AOBNPB;(2)设圆A半径为r1,圆B半径为r2,若r1:r23:2,求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式;(3)
11、设点B(x1,0),点B关于y轴的对称点B(x2,0),若x1x2-6,求过B、A、B三点的抛物线解析式;(4)若圆A的位置大小不变,圆心B在x正半轴上移动,并始终有圆B与圆A外切,过点M作圆B的切线MC,C为切点,MC时,B点在x轴的什么位置?从你的解答中能获得什么猜想? 解:(1) 设直线MP的解析式为ykxb, (3)设抛物线为yax2bxc(a0) 令y0,则有ax2bxc0 B与B关于y轴对称, x1x20,即b0, 又点A(0,-3),C=-3 (4)MCMP 可证APMAOB 猜想:圆心B在x轴的正半轴上任一位置时,都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。【模拟
12、试题】一. 选择题:(本题共24分,每小题4分,每道题只有一个正确答案) 1. 已知AB是O的直径,半径EOAB于O,弦CDEO于F点,若CDB120,则的度数为( ) A. 10B. 15C. 30D. 60 2. 如图,已知O中,M是弦CD的中点,N为弦AB的中点,并且的度数为130、90,则MON的度数为( ) A. 70B. 90C. 130D. 160 3. 已知ABC中,a、b、c是A、B、C的对边,若r是内切圆半径,则ABC的面积可以表示为( ) A. B. C. D. 4. 已知两圆的半径分别为R、r,且圆心距为d,若,则这两圆的位置关系为( ) A. 外离或外切B. 相交或内
13、切 C. 外切或内切D. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足,则这个多边形是( ) A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD边长为5,剪去四个角后成正八边形,则正八边形的边长为( ) A. B. C. D. 二. 填空题:(本题共16分,每小题4分) 7. 已知ABC,C90,B28,以C为圆心,以CA为半径的圆交AB于D,则的度数为_。 8. 已知ABC内接于O,F、E是的三分之一点,若AFE130,则C_度。 9. 已知PA切O于A,APO30,若,OP交于O于C,则PC_。 10. 两圆半径之比为2:1,大圆内接正六边
14、形与小圆外切正六边形的面积比为_。三. 求解下列各题:(本题共18分,每小题6分) 11. 已知AB是O的直径,弦CDAB于E,若弦CD把O分为2:1的两部分,且,求O的直径及AE长。 12. 已知等边ABC内接于O,E是上一点,AE交BC于D,若BD:DC2:1,且AB6,求DE长。 13. 如图所示,AB是O的弦,EF切O于B,ACEF于C。 求证:四. 解答题:(本题共24分,每小题8分) 14. 如图所示,AB切O于B,AE过O点交O于E、C,过C作O切线交AB于D,若。 求证: 15. 如图所示,ABC中,A90,O是BC上一点,以O为圆心的圆切AB、AC于D、E,若AB3,AC4,
15、求阴影部分的面积。 16. 如图所示,O与O交于A、B,过A点任意作两圆的割线CAD,若连结CB、DB,问因割线CAD的位置不确定,CBD的大小是否改变?五. 解答题:(本题共18分,每小题9分) 17. 如图所示,PA切O于A,PO交O于B、C,若,AE交BC于D,且BEA30,DB1,求AP及PB长。 18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板,已经截去直径分别为20cm,10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形,问这两个圆形的最大半径是多少?参考答案一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示:设ABC的内切圆的圆心为O 连结OA、OB、OC,则ABC可分割
16、成三个三角形:ABO,BCO,ACO 则 应选B 4. C 提示:依题意,有: 所以,或 即,或 两圆内切或外切 5. C 提示:正多边形的边数越多,则边长越小,而有 因为,所以 则,是正五边形,应选C。 6. D 提示:如图所示,所截的四个角是全等的等腰三角形,且GEEFFH 设EFx,则根据勾股定理, 则有 即 应选D二. 填空题。 7. 56 8. 75或105 提示:如图所示: AFE130,的度数为260 则的度数为 F、E是的三分之一点 或 9. 12 10. 3:1 如图所示,设大圆与小圆的半径为2r和r 则大圆内接正六边形的边长为2r,小圆外切正六边形的边长为 因为这两个正六边
17、形相似,所以面积比等于边长比的平方 即三. 求解下列各题: 11. 解:如图,分两种情况:(1)点E在OA上;(2)点E在OB上 (1)直径AB弦CD于E, 根据垂径定理,有: A、B分别为和的中点 CD把O分成2:1两部分 的度数为120,的度数为240 连结BC,则 在中, (2)当点E在OB上时,AE6 直径为8,AE6或2 12. 解法一:如图(1),ABC是等边三角形,AB6图(1) BCABAC6,BACB60 BD:DC2:1 BD4,CD2 ADDEBDCD8 连结CE,BE60 ACBE CAD是公共角 ACDAEC 解法二:如图(2),过A作AGBC于G图(2) ABC是等
18、边三角形,BC6 CGGB3 由解法一得:CD2,BD4 DG1 在中, 在中, 根据相交弦定理,有: 13. 证明一:延长AD交O于D,连结BD,如图(1) AD是直径,ABD90,2AOAD EF切O于B 1D ACEF于C CABD90 ABCADB 即 证明二:延长AC至M,使CMAC,连结BM、OB图(2) BCAC,ACCM MBAB M2 OAOB 34 EF切O于B OBEF ACOB 23 234M 四. 解答题。 14. 证明:如图,依题意,设BDx,则AD2x AB、CD切O于B、C点 BDCDx,OCCD ACD90 AB是切线,ACE是割线 即 15. 解:如图,连结
19、OD,OE AB、AC切O于D、E ODAB,OEAC,ADAE A90 四边形ADOE是正方形 DOE90 设ADOEx DEAD,AB3,AC4 解得: 16. 解:大小不改变 C所对的弧为 D所对的弧为 C、D的度数不变 在BCD中,不变五. 解答题。 17. 解:如图,连结AB ,BC是直径 根据垂径定理的推论,可知: ADBC,ADDE, BEA30 DABEBAP30 在 ADBC,BC为直径 ,即 18. 解:如图(1):图(1) 依题意有: O1的直径为10cm,则半径为5cm O2的直径为20cm,则半径为10cm O的直径为30cm,则半径为15cm 设O与O1,O2,O3相切,半径为r 延长OO3交O于B,则: 则此题转化为解三角形问题,如图(2):图(2) 设,则 在和中,有: 在和中,有: 整理得: 得: 答:这两个圆形的最大半径是。专心-专注-专业