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1、精选优质文档-倾情为你奉上导数定义例1 在处可导，则 思路： 在处可导，必连续 例2已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）； （2）分析：在导数定义中，增量x的形式是多种多样，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）（2）例3观察，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数 令 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点. (1) 若点的坐标为, 求证：;(2) 若函数的图象
2、不通过坐标原点, 证明直线与函数的图象上点处切线垂直. 证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )， 设F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则F(x)=2x +2f (x)f ( x ) 已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点， |OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值 F(a)=0， 即 2a+2f (a)f (a)=0 (2) 线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f (a) 由(1)知f (a)f (a)
3、= a，图象不过原点，a 0，f (a) = 1OPl，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.利用导数证明不等式例6求证下列不等式（1） （相减）（2） （相除）（3） 证：（1） 为上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 （理做）设a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.（）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒
4、有，故在内单调增加所以当时，即(利用单调性证明不等式）故当时，恒有（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,),，令，解得x=0，当-1x0时,，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：.由(I)的结论知，由题设0ab,得,因此，所以又 综上(II)证法二：，设，则，当0xa时，因此F(x)在(a,+)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)
5、=0,ba,所以F(b)0,即设,则当x0时,因此G(x)在(0,+)上为减函数，因为G(a)=0,ba,所以G(b)0，t1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，当时，有，函数f(t)在递增f(t)f(1)即t-1g(1)=0综上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得利用导数求和例7利用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，；当x1时，两边都是关于x的函数，求导得即（2），两边都是关于x的函数，求导得。令x=
6、1得，即。单调区间讨论例设，求函数的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解：. 当时 .（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.（2009安徽卷理） 已知函数，讨论的单调性. 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.3.设
7、函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性 （3）方程有两个不相等实根 w.w.w.k.s.5.u.c当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数(2009山东卷文)已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分
8、别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.（2009浙江文）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点
9、处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析 （）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得分离常数已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.学科网解：的定义域为， 的导数. 令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值. 学科网（）解法一：令，则， 学科网 若，当时，学科网故在上为增函数，所以，时，即.学科网 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，即，与题设相矛盾.
10、综上，满足条件的的取值范围是. 学科网解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 令， 则. 当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是，所以的取值范围是. 广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题（本小题满分14分）已知()求函数的单调区间;()求函数在上的最小值;()对一切的,恒成立,求实数的取值范围. () 2分4分()()0tt+2，t无解；5分()0tt+2，即0t1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 已知函数f(x)=()当时, 求的最大值;() 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理
11、由.()当-2时，由=0得x1= 显然-1x1,x22，又=当xx2时，0，单调递增；当x2x2时，a；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn。解析：（1），是方程f(x)=0的两个根，； （2），=，有基本不等式可知（当且仅当时取等号），同，样，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又导数与解析几何3.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得几何，即，切线方程，即选A（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )ABCD答案 A解析由已知，而，所以故选A若曲线存在垂直
12、于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 答案 -219.（2009浙江文）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析 （）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取
13、到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得零点(07广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 . 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时, 则 或解得或综上所求实数的取值范围是 或 . 若函数，当时，函数有极值，（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)
14、，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（
15、1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为 令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得
16、即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（
17、2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程，有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000增极大值减极小值增由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即、已知函数与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其中，求F(x)的单调区间 解：(1
18、)过点a=-8, 切线的斜率 的图像过点4b+2c=0, ,解得：b=8,c=-16 切线方程为即16x-y-32=0 (2) 当m0时，m1 当时 当时 F(x)的单调减区间是 F(x)的单调增区间是(1，) 即m0时，F(x)的单调递增区间是(1，)，单调减区间是(，) 。2已知函数f(x)=1n x，g(x)=(a为常数)，若直线l与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切，且l与y=f(x)的图象相切于定点P（1，f（1）（1）求直线l的方程及a 的值；（2）当kR时，讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数解：（1）f(x)=，f（1）=1 k1=1,又切点为P（1，
19、f（1），即（1，0）l的解析式为y=x-1， y=x-1l与y=g(x)相切，由 ,消去y得x2-2x+2a+2=0 y=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-（2）令h（x）=f(x2+1)-g(x)=1n(x2+1)h(x)=-x=-，则为增函数，-1x0或x1时，故x=1时，h（x）取极大值1n2， x=0时，h（x）取极小值。因此当k（1n2，+），原方程无解；当k=1n2时，原方程有两解；当k1n2时，原方程有四解；当k=时，原方程有三解；当k时，原方程有两解已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附
20、近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故导数与不等式综合已知二次函数的导数为，对于任意实数都有
21、，则的最小值为（ C ）A3 B C2 D设二次函数，方程的两根和满足（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小并说明理由本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力解法1：（）令，则由题意可得故所求实数的取值范围是（II），令当时，单调增加，当时，即解法2：（I）同解法1（II），由（I）知，又于是，即，故解法3：（I）方程，由韦达定理得，于是故所求实数的取值范围是（II）依题意可设，则由，得，故已知函数（）求函数的最大值；（）当时，求证:（）解： ,令得当时， 当时，又当且仅当时，取得最大值0 （）证明： 由（1）知又 （2009辽宁卷文）（本小题满
22、分12分）设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。(1)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(2)证明：当 解析（）.有条件知，故. 2分 于是.故当时，0； 当时，0.从而在，单调减少，在单调增加.6分（）由（）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为. 从而对任意，有. 10分 而当时，. 从而12分（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解析 (1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得
23、在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有12分（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知函数（1）如，求的单调区间；（1）若在单调增加，在单调减少，证明6. ()由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得 于是 已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下
24、表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（），由此得，故设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，() 判断函数在上的单调性； () 设，比较与的大小，并证明你的结论；（）设，若，比较与的大小，并证明你的结论.解：()由于得，而，则，则，因此在上是增函数.()由于，则，而在上是增函数，则，即，（1），同理 （2）（1）+（2）得：，而，因此 .（）证法1: 由于，则，而在上是增函数，则，即， 同理 以上个不等式相加得：而证法2：数学归纳法（1）当时，由（）知，不等式成立；（2）当时，不等式成立，即成立，则当时， +再由()的结论, +因此不等式对任意的自
25、然数均成立. .已知函数的定义域为I，导数满足且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根。（I）若对任意，存在，使等式成立。求证：方程不存在异于的实数根；（II）求证：当时，总有成立；（III）对任意，若满足，求证：证明：（I）假设方程有异于的实根m，即则有成立因为，所以必有，但这与矛盾，因此方程不存在异于的实数根。4分（II）令函数为减函数又当时，即成立8分（III）不妨设为增函数，即又，函数为减函数，即即设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得an恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式
26、、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立。构造1. 已知函数(1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；(2) 若0，1，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上
27、是减函数，则在R上恒成立，故，解之得（2）当0，1时，即对任意的0，1，即在0，1成立，由于，则必需满足或或，解得导数与二项式定理 已知函数f (x ) =x2 + lnx.（I）求函数f (x )在1，e上的最大、最小值；（II）求证：在区间1，+上，函数f (x )的图象在函数g (x ) =x3的图象的下方；（III）求证：(x )n(xn)2n2（nN*）.解：（I）易知f (x )在1，e上是增函数. f (x )max = f (e ) =e2 + 1；f (x )min = f (1 ) =.（II）设F (x ) =x2 + lnxx3，则(x ) = x +2x2 =. x1， (x )0，故F (x )在(1，+)上是减函数，又F (1) =0， 在(1，+)上，有F (x )0，即x2 + lnxx3，故函数f (x )的图象在函数g (x ) =x3的图象的下方.（III）当n = 1时，不等式显然成立；当n2时，有：(x )n(xn) = (x +)n(xn +)=xn1+xn2+ +x=xn2 +xn4 + +x=(xn2 +) +(xn4 +) + +(+ xn2)(2+ 2+ + 2) = 2n2.注：第二问可数学归纳法证专心-专注-专业