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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十七讲 平面几何中的定值问题定值问题的证明或计算,一般是通过图形的定量,如线段和定角来讨论的如果问题中已明确给出定值,那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决;如果问题中未给出定值,可以利用特殊的方法推测出定值,然后再加以一般化的证明下面举几个例题,说明上述思考方法例1 如图380已知ABC中,AB=AC,P是其底边BC上任一点,设AP交ABC的外接圆于Q点,求证:APAQ为定值分析 欲证APAQ为定值,我们先用特殊化方法找出这个定值是什么,然后再给以一般化的证明为此,我们取P与B(或C)重合,则Q点也必与B(或C)重合,则APAQ应等于AB2(定值)
2、,以下证明这个推测证连结BQ因为AB=AC,所以ABC=ACB又因为ACB=AQB,所以ABC=AQB又因为BAQ=PAB,所以所以 APAQ=AB2(定值)注意 如果连结QC,将怎样证明?请读者思考例2 如图381已知ABC中,AB=AC,如果直线EF,MN都垂直于BC,试证明:不论MN,EF怎样平行移动,只要MN,EF之间的距离不变,五边形AMNFE的周长是一个定值分析 从图381中可以发现,如果引ADBC于D,由已知条件可知AB(或AC),AD,NF,BD(或CD)都为定值,因此,若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式,则可判定其为定值证 作ADBC于D,则所以所以又因为所以所
3、以所以由于ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形,所以AD,BD,CD,AB为定值,又因为EF,MN之间距离为定长,所以NF为定值所以五边形AMNFE的周长为定值例3 设OA,OB是已知圆O的任意两条半径,过B引BEOA于E,过E作EPAB于P求证:OP2+EP2为定值(图382)分析 由已知A,B为O上任意两点,如果固定A,让B在圆上移动,当B点移动到半圆中点时,BE变成了半径r,E与O重合,证 延长OP交O于C,D(图382)因为在直角三角形AEB中,AEB=90,EPAB于P,所以EP2=APPB=CPPD(OC-OP)(OD+OP)r2-OP2,所以EP2+OP2=r2(定值)例4 若
4、P为圆O内一定点,过P任作一弦AC,分别过A,C引圆的切线,再过P分别作两切线的垂线,垂足为Q,R(如图384),分析 根据已知,AC为过圆O内定点P的任意一弦,为了找定值,使AC特殊化,令AC为直径,则P是直径AC上的一个定点,这时由于PC,PQ同时垂直于切线,所以Q,C两点重合同理A,R也重合(图385)于是, 下面证明这个推测结论证 在图384中,作直径AB,连BC,并过OP作直径EF由于ACB=90,于是ABCAPR又因为ABCPCQ,所以因此 例5 设d1,d2,d3是单位圆O的三条直径,且两两交角为60,在圆周上任一点P向d1,d2,d3作垂线,垂足分别为A,B,C证明:ABC为定
5、三角形(图386)分析 因为P为圆O上的动点,所以当P点移动到d1的一个端点D时(P与D重合,见图3-86),因为DFd3于F,DEd2于E,而FOD=EOD=60,所以EDF=60证 连OP,作BMOA于M因为PAO=PBO=90,所以,A,P,B,O四点共圆,且OP=1因此,在ABM与OPB中,MAB=BPO,BMA=OBP=90,所以AMBPBO,所以 例6 相交的两圆的交点为A,B,经过B点所作的任意直线与两圆的交点分别是C,D,那么ACAD是定值(图387)分析 因CD是过B点的任意直线,为确定ACAD,使CD特殊化,令其垂直于AB,这时因为ABC=CAD=90,那么AC,AD必定是
6、两圆直径若设d1,d2为两圆直径,则ACAD=d1d2(定值)下面对以上推测做一般性证明证 在图388中,设CD是过B点交两圆于C,D的任一直线,过B作CD交两圆于C,D,且使ABCD于B,连AD,DD,AC,CC,易知ADD=ACC=90又ADD=ABD =ACC,所以ADDACC,所以ACAD=ACAD=d1d2(定值)练习十七 1如图389直线l1l2l3,A,B是l2上两定点,P,Q分别为l1和l3上的动点求证:四边形PAQB的面积为定值2如图390ABC是正三角形,由其中任一点P,向三边引垂线,设垂足分别为M,N,Q,求证:PM+PN+PQ为定值3已知正方形ABCD,以A为圆心,AB为半径在正方形内作圆别交BC,CD于E,F求证:EAF为定值4若M,N为ABC的边AB,AC的中点,P为MN上的任意5两平行线l1,l2分别与已知圆O相切于A,B,作圆O的任意切线l3与l1,l2分别交于C,D求证:ACBD为定值专心-专注-专业