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1、9.79.7抛物线抛物线第九章第九章内容索引必备知识必备知识 预案自诊预案自诊关键能力关键能力 学案突破学案突破必备知识必备知识 预案自诊预案自诊【知识梳理知识梳理】 1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.注意若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.距离相等焦点准线2.抛物线的几何性质 (0,0) y轴1 常用结论1.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则【考点自诊考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画
2、“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p0)的焦点间的距离为2,则p的值为()答案 A 3.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平
3、分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP答案 B解析 因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9答案 C解析 设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+ =12,解得p=6.5.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)
4、的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.关键能力关键能力 学案突破学案突破考点1考点2考点3考点4考点5考点考点1 1抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5(2)如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA,BB垂直于准线,交准线于点A,B,由抛物线的定义知|AA|=|AF|,|BB|=|BF|.考点1考点2考点3考点4考点5思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为
5、到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上一点,由定义易得|PF|=x0+ ;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线准线的交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=()A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一
6、个交点,若则|QF|=()考点1考点2考点3考点4考点5答案 (1)B(2)C解析 (1)如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,设|AB|=|BC|=m,直线l的倾斜角为.则|BE|=m|cos |,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cos |),考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点考点2 2抛物线的方程及几何性质抛物线的方程及几何性质【例2】 (1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB
7、为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x(2)(2020全国3,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()考点1考点2考点3考点4考点5答案 (1)D(2)B 考点1考点2考点3考点4考点5思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得 1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦
8、点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5答案 (1)C(2)D 考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点考点3 3与抛物线相关的最值问题与抛物线相关的最值问题(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10考点1考点2考点3考点4考点5答案 (1)B(2)A 考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2
9、考点3考点4考点5思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点
10、4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点考点4 4抛物线与其他圆锥曲线的综合抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】 (1)已知过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,A.3 B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为()答案 (1)A(2)D考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5思考求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题要注意什么?解题心得 求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,
11、将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5答案 (1)A(2)y2=4x-1 考点1考点2考点3考点4考点5(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|- ,则|NE|+ =|ME|,所以点E到直线x=-1的距离等于到点M(1,0)的距离,所以动圆圆心E的轨迹是以M为焦点,以x=-1为准线的抛物线,则其轨迹方程为y2=4x.点P坐标为(1,2),则点P在圆心E的轨迹上.设A(x1,y1),B(x2,y2).由已知设直线PA:m(y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y2=4my-
12、8m+4,即y2-4my+8m-4=0,则y1+2=4m,故y1=4m-2.考点1考点2考点3考点4考点5设直线PB:-m(y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y2=-4my+8m+4,即y2+4my-8m-4=0,则y2+2=-4m,故y2=-4m-2.x1-x2=my1-2m+1-(-my2+2m+1)=m(y1+y2)-4m=-8m.直线AB的斜率考点1考点2考点3考点4考点5考点考点5 5直线与抛物线的关系直线与抛物线的关系【例5】 (1)设抛物线y2=8x的焦点为F,其准线与x轴的交点为Q,过点Q作斜率为k(k0)的焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,A
13、B的中点为C,过点C作抛物线准线的垂线交准线于点C1,若CC1的中点为M(1,4),则p=()考点1考点2考点3考点4考点5答案 (1)A(2)B解析 (1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F(2,0),准线x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,由|AF|=2|BF|得x1+2=2(x2+2),即有x1=2x2+2,联立y2=8x与直线y=k(x+2)的方程得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则有考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5(方法3)几何法设抛物线的准线m:x=-2,分别过点A,B作AAm于A,BB
14、m于B,由|AF|=2|BF|,得|AA|=2|BB|,则有|QA|=2|QB|,则B是QA的中点,设A(xA,yA),B(xB,yB),从而有yA=2yB.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点
15、,则必须用弦长公式.考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,设点M(3,0).若MAB的面积为4 ,则|AB|=()A.2B.4C.2 D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k0)与抛物线y2=4x交于A,B两点,过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M,O为坐标原点,若SOBMSOBA=12,则k=.考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5考点1考点2考点3考点4考点5要点归纳小结1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.考点1考点2考点3考点4考点5要点归纳小结1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.