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1、20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1 1页页 第八章 习题课习题课石头石头1.极限极限2.偏导数偏导数 3.全微分全微分多元函数微分法多元函数微分法4.几何应用几何应用5.抽象复合抽象复合2阶阶6.隐函数导数隐函数导数7.梯度方向导数梯度方向导数8.极值极值20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2 2页页充分充分必要必要20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3 3页页必要必要充分充分20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页
2、第第4 4页页充分充分20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第5 5页页充分充分20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第6 6页页将二元函数将二元函数z = f(x , y)在点在点(x , y)的以下七个命题填入框图：的以下七个命题填入框图： （1 1）有定义）有定义 （2 2）有极限）有极限 （3 3）连续）连续 （4 4）偏导存在）偏导存在 （5 5）方向导数存在）方向导数存在 （6 6）偏导连续）偏导连续 （7 7）可微）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）2.2. 七框图七框图问题：箭头是否
3、可逆？问题：箭头是否可逆？ 不可逆的试举出反例。不可逆的试举出反例。20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第7 7页页3. 讨论二重极限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时, 下列算法是否正确是否正确?20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第8 8页页分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kk
4、xx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, , 1,111xyxxy时例如20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第9 9页页解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的任意性,时当4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意, 在某些情况下可
5、以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 .解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1010页页83214.函数f(x,y)在点(x,y)处连续且偏导数存在是f(x,y)在该点可微分的( ).A.充分条件,但不是必要条件; B.必要条件,但不是充分条件;C.充分必要条件; D.既不是充分条件,也不是必要条件.解：由定理知函数f(x,y)在该点可微分，则函数f(x,y)在该点处一定连续且偏导数存在.但函数f(x,y)在该点处连续且偏导数存在不能保证函数在该点可微分的.解答
6、完毕20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1111页页例例5 5.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设解解)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1212页页xyzyxz 22)(2214fxfxx 2212114132)(4xfxyfyfxfx xyxyfxz,3)(222212xyfyfx .24221
7、14213f yf yxf xfx 解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1313页页t dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 , )(xyy 及)(xzz 分别由下两式确定求.ddxu又函数公式公式321ddfdxdzfdxdyfxu( 考研题 ）6. 设接下页20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1414页页2 yxeyx事实上，由yxffxyddxxeyyexyxy11xyxyexeyxyt dttezxx0sinzxffxzddzxzxzxzxe
8、xsinsinzxzxexsin1答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1515页页例例7. 设其中 f 与F分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对 x 求导, 得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(考研题)解答结束解答结束2012201
9、2年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1616页页解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程两边求微分, 得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1717页页上求一点 , 使该点处的法线垂直于8. 在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程 .提示提示: 设所求点为, ),(000zyx则法线方程为000zzyyxx利用113100 xy得3,1,300
10、0zyx平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面点在曲面上133113zyx解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1818页页8613222. 9yxz求曲面022zyx与平面平行的切平面方程。) 1, 2, 2(0221nzyx的法向量平面) 1,2 ,(2222yxnyxz的法向量曲面21/nn11222yx3, 1, 2zyx0)3() 1(2)2(2zyx0322zyx解答完毕20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第1919页页8623f 可微分才对A错应该是(3,1,-1) B错
11、20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2020页页86230 ,0 xfzyxx)0 , 0(, 0 , 1 (xft (1,0,3)选择C解答完毕20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2121页页解 由题意知l方向的单位向量为(cos cos)(cos sin) 即方向余弦为coscos cossin 因为 fx(1 1)(2xy)|(1 1)1 fy(1 1)(x2y)|(1 1)1 所以在点(1 1)沿方向l的方向导数为 cos) 1 , 1 (cos) 1 , 1 ()1 , 1(yxfflf)4s
12、in(2sincos20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2222页页cos) 1 , 1 (cos) 1 , 1 ()1 , 1(yxfflf)4sin(2sincos (1)当4时 方向导数最大 其最大值为2(2)当45时 方向导数最小 其最小值为2(3)当43及47时 方向导数为0 解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2323页页例例12.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：2261zyxd设为抛物面上任一点， 则 P ),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题
13、归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2424页页)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在 , 241414161mind647故解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2525页页另外的简洁的解法另外的
14、简洁的解法例例12.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：设为抛物面上任一点，则曲面在 P 点的法向量),(zyxP22yxz22 zyx1,2 ,2yx 2, 1 , 1/1,2 ,2yx211212yx41 yx8122yxz81,41,41结果相同解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2626页页13. 在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示提示: 设切点为, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出. ),(
15、000zyx则切平面为所指四面体围体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函数 (见例见例4)5-220122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2727页页现将问题化为求函数xyzcbaV22261在条件1222222czbyax下的最小值的问题 或求函数f(x y z)xyz在1222222czbyax下的最大值的问题 作辅助函数) 1(),(222222czbyaxxyzzyxF令 1020202222222222czbyaxczxyzFbyxz
16、yFaxyzxF20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2828页页1020202222222222czbyaxczxyzFbyxzyFaxyzxF解方程组得3ax3by3cz于是 所求切点为)3 ,3 ,3(cya此时最小体积为abcV23解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第2929页页例例13 设设 y = f ( x ,t ) 而而 t 是由是由 F (x ,y ,t) =0确定的确定的x ,y 的函数的函数 ，试证明，试证明tyttxtxFFffFFfdxdy 证一证一方程组方程组
17、0),(),(tyxFtxfy确定了两个一元隐函数确定了两个一元隐函数 y =y (x) , t =t ( x )两边分别对两边分别对 x 求导得求导得 xtyxtFdxdtFdxdyFfdxdtfdxdy解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 解答结束解答结束 20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3030页页证二证二本题主要是弄清楚函数关系本题主要是弄清楚函数关系 ，具体求导则，具体求导则很简单，很简单，初看起来似乎初看起来似乎 y 是是 x 的显函数的显函数y = f ( x ,t ) ，但由但由F ( x , y , t ) =0 可得
18、可得 t = t ( x , y ) ，代入，代入y = f ( x ,t ) 得得 y = f x , t ( x , y ) 这是这是y = y ( x ) 的隐函数表示形式的隐函数表示形式 按题意按题意t = t ( x , y ) 满足满足F ( x , y , t ) =0 故故tytxFFytFFxt 20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3131页页由由t = t ( x , y ) 得得dxdyytxtdxdt 又又t = t ( x , y ) 满足满足y = f ( x ,t ) ，故，故dxdtffdxdytx 从而从而)(dx
19、dyytxtffdxdytx 解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 解答结束解答结束20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3232页页例例13 设设 y = f ( x ,t ) 而而 t 是由是由 F (x ,y ,t) =0确定的确定的x ,y 的函数的函数 ，证三证三两边取两边取全微分全微分并移项得并移项得 dxFdtFdyFdxfdtfdyxtyxt消去消去 dt 得得dxfFfFdyfFFtxxttyt)()( 解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy ttfF本题结束本题结束 20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8
20、-石头石头总总2424页页 第第3333页页证四证四曲面曲面 F ( x , y , t ) =0 及及 y = f ( x ,t ) 在（在（x , t , y ) 空间中的法向量分别为空间中的法向量分别为 ytxFFFn,1 1,2 txffn21nn 是两曲面的交线是两曲面的交线 L 的切向量的切向量L 的方程为的方程为 )()(xyyxttxx20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3434页页故故L 的切向量为的切向量为 dxdydxdt, 1 121txytxffFFFkjinn xttxyxxyttfFfFFfFFfF ,20122012
21、年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3535页页故故L 的切向量为的切向量为 dxdydxdt, 1 21/nn 即即 xttxyxxyttfFfFFfFFfFdxdydxdt , 1 解得解得tytfFF tyttxtxxttxFFffFFffFfFdxdy 本题结束本题结束 本片结束本片结束 20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3636页页将二元函数将二元函数z = f(x , y)在点在点(x , y)的以下七个命题填入框图：的以下七个命题填入框图： （1 1）有定义）有定义 （2 2）有极限）有极限 （3 3）
22、连续）连续 （4 4）偏导存在）偏导存在 （5 5）方向导数存在）方向导数存在 （6 6）偏导连续）偏导连续 （7 7）可微）可微偏导偏导连续连续 可微可微连续连续偏导存在偏导存在方向导数存在方向导数存在有定义有定义有极限有极限6.6. 七框图七框图问题：箭头是否可逆？问题：箭头是否可逆？ 不可逆的试举出反例。不可逆的试举出反例。20122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3737页页作业 P724，6，11，14，16，1720122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3838页页练习题练习题1. 设函数 f 二阶连续
23、可微, 求下列函数的二阶偏导数.2xyz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz2. 同济(下) P73 题1220122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第3939页页解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第 1 题解答结束解答结束xyz2xyz220122012年年3 3月月习题课习题课8- 8-石头石头总总2424页页 第第4040页页2222fxyxyz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz解答结束解答结束