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1、精选优质文档-倾情为你奉上热点专题突破专题一 动态几何与函数图象专题二 图形变换动态几何与函数图象问题是近年来中考的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况.其考点类型主要有两类，一是根据条件研究动元素的变化趋势(特殊位置)来判断函数图象；二是根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值.动态几何与函数图象问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类.典例诠释1.动态几何与函数图象根据条件研究动元素的变化趋势(特殊位置)来判断与函数图象的对应关系例1 (2016石景山一模)为了锻炼学生身体素质，训练定向
2、越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛.路线图如图2-1-1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着BED的路线匀速行进，到达点D.设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y.现有y与t的函数关系的图象大致如图2-1-1所示，则这一信息的来源是( ) 图2-1-1A.监测点AB.监测点BC.监测点CD.监测点D【答案】 C【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，分别假设这个监测点在点A,B,C,D，然后结合函数图象的变化趋势进行判断.利用排除法即可得
3、出答案.例2 (2016朝阳一模)如图2-1-2，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B,C重合，H是AC边上一点，且AGH=30.设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2-1-2所示，则这条线段可能是图中的( ) 图2-1-2A.线段CGB.线段AGC.线段AHD.线段CH【答案】 D【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各条线段的可能性，分别假设线段CG、线段AG、线段AH、线段CH长为y，然后结合函数图象的变化趋势进行判断.也可先根据函数图象上的特殊点的取值排除选项，然后再根据图形变化趋势进行求解.例3
4、(2015通州一模)如图2-1-3，在RtABC中，ACB=90，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿BCA运动.如图2-1-3所示，设=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2-1-3所示，则ABC的面积为( ) 图2-1-3A.4B.6C.12D.14【答案】 B【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.由已知易得，动点P沿BCA运动过程中，DBP的面积底BD不变，BD边上的高是先增大再减小，再结合图2-1-3易得BC值，AC值，可计算ABC的面积.例4 (2015顺义二模)如图2-1-4，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图的位置开始，匀速向右平移，到图的位置
5、停止运动.如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )图2-1-4 A B C D【答案】 C【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.关键是理解图形运动过程中的几个分界点.小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即按照自变量x分为三段.通过分析y随x的变化而变化的趋势及相应的自变量的取值范围解决问题.例5 (2015海淀二模)如图2-1-5所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿PABPCDP的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处(点O与点P不重合)利用仪器测量
6、了POQ的大小.设蜜蜂飞行时间为x，POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) 图2-1-5 A B C D【答案】 D【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.本题关键先分析POQ的增减情况，再确定POQ增大的过程用的时间要大于POQ减小的过程用的时间.也可由轴对称图形的定义看出图象为C,D中的一个，然后再根据POQ大小与时间的变化得出答案.2.动态几何与函数图象根据条件求出函数关系式，由函数关系式判断函数图象或求相应变量的值例1 (2016东城一模)如图2-1-6，点A的坐标为(0,1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰RtABC，使BAC=
7、90，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )图2-1-6 A B C D【答案】 A【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.过点C作CDy轴于点D，可证CDABOA，从而可得C点的坐标y与x的函数关系，此题得解.例2 (2016大兴一模)在五边形ABCDE中，B=90，AB=BC=CD=1，ABCD，M是CD边的中点，点P由点A出发，按ABCM的顺序运动.设点P经过的路程x为自变量，APM的面积为y，则函数y的大致图象是( )图2-1-7 A B C D【答案】 A【名师点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象.从点P的运动路径分析，分三段考虑
8、，点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CM上运动，分别求出y与x的函数表达式，继而可得出函数图象.真题演练1.(2015北京)一个寻宝游戏的寻宝通道如图2-1-8所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成.为记录寻宝者的进行路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2-1-8所示，则寻宝者的行进路线可能为( ) 图2-1-8A.AOBB.BACC.BOCD.CBO【答案】 C2.(2014北京)已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时
9、针匀速运动一周.设点P运动的时间为x，线段AP的长为y.表示y与x的函数关系的图象大致如图2-1-9，则该封闭图形可能是( )图2-1-9 A B C D【答案】 A3.(2013北京)如图2-1-10，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )图2-1-10 A B C D【答案】 A4.(2012北京)小翔在如图2-1-11所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与
10、教练的距离为y(单位：米)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2-1-11所示，则这个固定位置可能是图中的( ) 图2-1-11A.点MB.点NC.点PD.点Q【答案】 D5.(2016石景山二模)如图2-1-12，在等边ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设AP=x，图中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2-1-12所示，则等边ABC的面积为( ) 图2-1-12A.4B.2C.12D.4【答案】 D6.(2016门头沟一模)如图2-1-13，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A(4，0)，C(0，3).直线y=x由原点开始向上平移，所得的
11、直线y=x+b与矩形两边分别交于M,N两点，设OMN面积为S，那么能表示S与b函数关系的图象大致是( )图2-1-13 A B C D【答案】 B专题二 图形变换 图形的平移、轴对称、旋转是近年中考的热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力、探索与实践能力，因此在解题时应注意：熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法；结合具体问题大胆尝试，动手操作，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法.典例诠释1.图形变换平移例 (2014海淀二模)在ABC中，ABC=90，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且ab.将ABD沿射线BC方向平移，得到FCE，点A
12、，B，D的对应点分别为点F，C，E.连接BE.(1)如图2-2-1，若D在ABC内部，请在图中画出FCE；(2)在(1)的条件下，若ADBE，求BE的长(用含a,b的式子表示)；(3)若BAC=，当线段BE的长度最大时，则BAD的大小为 ；当线段BE的长度最小时，则BAD的大小为 (用含的式子表示). 备用图 图2-2-1【解】 (1)如图2-2-2. 图2-2-2(2)如图2-2-3,连接BF.图2-2-3 将ABD沿射线BC方向平移，得到FCE， ADEF,AD=EF,ABFC,AB=FC. ABC=90， 四边形ABCF为矩形. AC=BF. ADBE, EFBE. AD=a，AC=b，
13、 EF=a，BF=b. BE=.(3)180；.提示：当线段BE的长度最大时，点E在BF的延长线上.由题意可知ABDFCE,所以BAD=EFC.又因为BFC=BAC=，所以BE的长度最大时，BAD=180.当线段BE的长度最小时，点E在BF上.由题意可知ABDFCE,所以BAD=EFC.又因为BFC=BAC=,所以BE的长度最小时，BAD=.【名师点评】 本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、图形平移的性质.解答本题关键是要掌握图形平移后边的大小，形状不变.(1)把A，D向右平移BC的距离即可得到对应点F，E,然后连接EF，FC，EC即可；(2)易证四边形ABCF为
14、矩形，则AC=BF.在直角BEF中，利用勾股定理即可求解.(3)当线段BE的长度最大时，点E在BF的延长线上；当线段BE的长度最小时，点E在BF上.2.图形变换轴对称例1 (2016石景山一模)在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1)请你在图2-2-4中画出BEM，使得BEM与BEC关于直线BE对称；(2)若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2-2-4中探究ABF与CBE的数量关系，并证明；(3)在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CEDE，请写出求cosFED的思路.(可以不写出计算结果). 备用图 图2-2-4【解】 (1)补全图形，如图2-2-5所
15、示 图2-2-5 (2)ABF与CBE的数量关系为ABF+CBE=45证明如下：如图2-2-6,连接BF,EF，延长DC到G，使得CG=AF，连接BG图2-2-6 四边形ABCD为正方形， AB=BC，A=BCG=ABC=90 BAFBCG BF=BG，ABF=CBG AF+CE=EF， EF=GE BEFBEG FBE=GBE=ABF+CBE ABF+CBE=45(3)求解思路如下：a设正方形的边长为3a，AF为x，则EF=x+a，DF=3ax；b在RtEFD中，由,可得,从而得到x与a的关系2x=3a；c根据cosFED=，可求得结果【名师点评】 本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质以
16、及勾股定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识，解答本题关键是利用轴对称的性质得出对应边相等.(1)根据题意直接画出图形即可；(2)方法一：连接BF，EF，延长DC到G，使得CG=AF，连接BG.可证BAFBCG，从而可证BEFBEG，可得答案；方法二：连接BF，EF，在EF上截取EH=CE，连接BH，再证明三角形全等,此题得解.(3)设正方形的边长为3a，AF为x，则可表示EF，DF；在RtEFD中，利用勾股定理得出x与a的关系，可求得结果.提示：要求写思路的题，要写清关键步骤.例2 (2015怀柔一模)在等边ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD,CD，其中CD
17、交直线AP于点E.(1)依题意补全图2-2-7；(2)若PAB=30，求ACE的度数；(3)如图2-2-7，若60PAB120，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明. 图2-2-7【解】 (1)补全图形，如图2-2-8所示. 图2-2-8(2)如图2-2-8，连接AD. 点D与点B关于直线AP对称， AD=AB，DAP=BAP=30. AB=AC,BAC=60， AD=AC,DAC=120. 2ACE+60+60=180， ACE=30.(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60角的三角形.证明如下：连接AD，EB，如图2-2-8. 点D与点B关于直线AP对称
18、， AD=AB，DE=BE，可证得EDA=EBA. AB=AC,AB=AD, AD=AC, ADE=ACE. ABE=ACE.设AC，BE交于点F,又 AFB=CFE, BAC=BEC=60, 线段AB,CE,ED可以构成一个含60角的三角形.【名师点评】 本题主要考查了轴对称作图以及等腰三角形的性质.解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质.(1)根据题意作出图形；(2)根据题意可得DAP=BAP=30，然后根据AB=AC，BAC=60，得出AD=AC，DAC=120，最后根据三角形的内角和公式求解；(3)由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形
19、，连接AD，EB，根据对称可得EDA=EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出BAC=BEC=60.3.图形变换旋转例1 (2015朝阳二模)数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,ABC=60,APC=30,连接PB，那么PA,PB,PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA的延长线上(如图2-2-9)，得到了一个猜想:.小东：我假设点P在ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转PAB后得到PCB,并且可推出PBP,PCP分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和
20、证明方法.这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：(1)如图2-2-9，点P在ABC的内部，PA=4，PC=2，PB= .用等式表示PA，PB，PC之间的数量关系，并证明.(2)对于点P的其他位置，是否始终具有中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明. 图2-2-9【解】 (1)2； .证明如下：如图2-2-10，作PBPABC60，且使BPBP，连接PC，PP, 12.图2-2-10 ABCB， ABPCBP. PAPC，ABCP.在四边形ABCP中， ABC60，APC30， ABCP270. BCPBCP270. PCP360(BCPBCP)90. PBP是等边三角形. PPPB.在R
21、tPCP中，, . (2)点P在其他位置时，不是始终具有中猜想的结论，举例：如图2-2-11，当点P在CB的延长线上时，结论为.(说明：答案不唯一)图2-2-11【名师点评】 本题主要考查了旋转变换问题.解答本题的关键是正确作出旋转后的图形、熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质.(1)根据结论代入即可填写；(2)根据ABPCBP得出PA=PC，A=BCP，即可得出PA，PB，PC之间的数量关系；(3)当点P在CB的延长线上时，得出结论.(说明：答案不唯一) 备用图图2-2-12例2 (2015海淀一模)如图2-2-12，在菱形ABCD中，ADC=120，点E是对角线AC上一点，连接
22、DE，DEC=50，将线段BC绕点B逆时针旋转50并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG=BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系： .(1)【解】 补全图形，如图2-2-13所示 图2-2-13(2)【证法一】 连接BE，如图2-2-13 四边形ABCD是菱形， ADBC ADC=120, DCB=60. AC是菱形ABCD的对角线， DCA=DCB=30. EDC=180DECDCA=100.由菱形的对称性可知，BEC=DEC=50,EBC=EDC=100. GEB=DEC+BEC=100, GEB=CBE. GBC=50, EBG
23、=EBCGBC=50, EBG=BEC.在GEB与CBE中， GEBCBE, EG=BC.【证法二】 连接BE，设BG与EC交于点H，如图2-2-13 四边形ABCD是菱形， ADBC ADC=120, DCB=60. AC是菱形ABCD的对角线， DCA=DCB=30， EDC=180DECDCA=100.由菱形的对称性可知，BEC=DEC=50,EBC=EDC=100. GBC=50， EBG=EBCGBC=50=BEC BH=EH在GEH与CBH中， GEHCBH, EG=BC(3)AE+BG=EG.【名师点评】 本题主要考查了旋转变换问题、菱形的性质.解答本题的关键是正确作出旋转后的图
24、形，根据题意证明三角形全等.(1)根据题意可以补全图形；(2)连接BE，根据已知条件和图形可以证明GEBCBE，得到答案.(3)根据GEBCBE，得到EC=BG，EG=BC，根据等腰三角形的性质和BAC=30，求出AB,BC的关系，得到答案.真题演练1.(2016北京)在等边ABC中：(1)如图2-2-14，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，BAP=20，求AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.依题意将图2-2-14补全；小茹通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA
25、=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证PA=PM，只需证APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证ANPPCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可). 图2-2-14【解】 (1) AP=AQ, AQB=APC.而APC=B+BAP=60+20=80, AQB=80. (2)补全图如图2-2-15.图2-2-15证明: ABC为等边三角形, ABC=ACB=BAC=60.又AP=A
26、Q, APQ=AQB. BAP+ABC=APQ,AQB=CAQ+ACB, BAP=CAQ. 点Q,M关于直线AC对称, AQ=AM，CAQ=MAC. PAM=PAC+MAC=PAC+BAP=BAC=60,且AP=AQ=AM, APM为等边三角形. PA=PM.2.(2015北京)在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH.(1)若点P在线段CD上，如图2-2-16.依题意补全图；判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；(2)若点P在线段CD的延长线上，且AHQ=152
27、，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果) 图2-2-16【解】 (1)如图2-2-17.图2-2-17如图2-2-17，连接CH. 四边形ABCD是正方形，QHBD， HDQ=45， DHQ是等腰直角三角形， HD=HQ,HQDHDQ=45. BCQ是由ADP平移得到的， DP=CQ.在HDP与HQC中， HDPHQC(SAS)， PH=CH，HPC=HCP. BD是正方形ABCD的对称轴， AH=CH，DAH=HCP， HPC=DAH. HPD+HPC=180, HPD+DAH=180, ADP+AHP=360(HPD+DAH)=360180=180， AHP
28、=180ADP=18090=90， AH=PH，AHPH. (2)如图2-2-18，连接CH.图2-2-18 四边形ABCD是正方形，QHBD， HDQ=45， DHQ是等腰直角三角形. BCQ由ADP平移得到， PD=QC.过点H作HRPC于点R. QHBD, BHQ=90. AHQ=152， AHB=AHQBHQ=15290=62. ABD=45,又ABH+AHB+HAB=180, HAB=180AHBABH=1806245=73.又 DAH+HAB=90, DAH=90HAB=9073=17.由(1)同理可得HCD=DAH=17.设DP=x，则DR=HR=RQ=， CR=CQ+RQ=x+
29、=.在RtHRC中，tanHCR=,即tan 17=，即tan 17=， x=.3.(2014北京)在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图2-2-19；(2)若PAB=20，求ADF的度数；(3)如图2-2-19，若45PAB90，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明. 图2-2-19【解】 (1)补全图形如图2-2-20所示. 图2-2-20 图2-2-21(2)如图2-2-21，连接AE. 四边形ABCD是正方形，点B和点E关于直线AP对称， AB=AD=AE，PAB=PAE. PAB=20
30、, EAD=BAD+BAE=90+40=130. AD=AE， ADF=25.证明如下：如图2-2-22，作点D关于直线AP的对称点D，连接FD，AD，ED,图2-2-22设PAB=，则EAD=360290=2702.由轴对称可知DAFDAF， AD=AD，DF=DF,DAF=DAF=90， AE=AD. AB=AD=AE, ADE=45. EFA=ADE+DAF=45. DFD=2EFA=90， DFDF. EAD=180EAPDAF=90, EAD是等腰直角三角形， .在RtEFD中，. AE=AB,DF=DF, .4.(2016海淀二模)已知：AB=BC，ABC=90.将线段AB绕点A逆
31、时针旋转(090)得到线段AD.点C关于直线BD的对称点为E，连接AE，CE.(1)如图2-2-23.补全图形；求AEC的度数；图2-2-23 (2)若AE=，CE=1，请写出求度数的思路.(可以不写出计算结果)【解】 (1)补全图形，如图2-2-24所示图2-2-24 如图2-2-24，连接BE. AB=BC，EC关于直线BD对称， AB=BC=BE BCE=BEC，BAE=BEA ABC=90, BAE+AEC+BCE=270 AEC=135(2)求解思路如下：a如图2-2-25,连接AC，过点A作AFCE，交CE的延长线于点F；b由(1)可求AEC=135，由AE=可求AF=EF=1；c由CE=1，可求AC=2,AB=BC=，可证ABE为等边三角形；d由C,E两点关于直线BD对称，AB=AD，可求EBD=15，ABD=75，=30. 图2-2-25专心-专注-专业