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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合，则（ ）A B C D2设，且，则（ ）A B C D3下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A B C D4在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5在中，则（ ）A B C D6执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A B C D7双曲线的离
2、心率大于的充分必要条件是A BC D8如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）A个 B个 C个 D个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 。10某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。 11若等比数列满足，则公比 ；前项和 。12设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 。13函数的值域为 。14向量，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为 。三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15（本小题共13分） 已知函数（1
3、）求的最小正周期及最大值。（2）若，且，求的值。16（本小题共13分） 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证：（1）底面（2）平面（3）平面平面18（本小题共13分）已知函数（1）若曲线在点处与直线相切，求
4、与的值。（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。19（本小题共14分）直线（）：相交于，两点，是坐标原点（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。20（本小题共13分）给定数列，。对，该数列前项的最大值记为，后项，的最小值记为，。（1）设数列为，写出，的值。（2）设，（）是公比大于的等比数列，且，证明，是等比数列。（3）设，是公差大于的等差数列，且，证明，是等差数列。2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1B 2D 3C 4A 5B 6C 7C 8B 二、
5、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9， 10 11，12 13 141答案：B解析：集合A中的元素仅有1,0,1三个数，集合B中元素为大于等于1且小于1的数，故集合A，B的公共元素为1,0，故选B.2答案：D解析：A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D.3答案：C解析：A选项为奇函数，B选项为非奇非偶函数，D选项虽为偶函数但在(0，)上是增函数，故选C.4答案：A解析：i(2i)12i，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A.5答案：B解析：根据正弦定理，则sin Bsin A，故选B.6 答案：C
6、解析：i0时，向下运行，将赋值给S，i增加1变成1，经判断执行否，然后将赋值给S，i增加1变成2，经判断执行是，然后输出，故选C.7答案：C解析：该双曲线离心率，由已知，故m1，故选C.8答案：B解析：设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示则D(0,0,0)，D1(0,0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，A(a,0,0)，A1(a,0，a)，P，则|，|，|，|，|，|，故共有4个不同取值，故选B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9答案：2x1解析：根据抛物线定义，p2，又准线方程为x1，故填2，
7、x1.10 答案：3解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V3313，故该棱锥的体积为3.11答案：22n12解析：根据等比数列的性质知a3a5q(a2a4)，q2，又a2a4a1qa1q3，故求得a12，Sn2n12.12答案：解析：区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到D的距离最小值为(1,0)到直线2xy0的距离.13答案：(，2)解析：当x1时，即，当x1时，02x21，即02x2；故f(x)的值域为(，2)14(2013北京，文14)已知点A(1，1)，B(3,0)，C(2,1)若平面区域D由所有满足(12,01)的点P组
8、成，则D的面积为_答案：3解析：，(2,1)，(1,2)设P(x，y)，则(x1，y1)得12,01，可得如图可得A1(3,0)，B1(4,2)，C1(6,3)，|A1B1|，两直线距离，S|A1B1|d3.三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15（本小题共13分） 解：（1） 所以，最小正周期当（），即（）时 （2）因为 所以 因为，所以 所以，即16（本小题共13分）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天， 所以概率为（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：，其中只有一天重度污染的为，共4种
9、，所以概率为（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17（本小题共14分）证明：（1）因为，平面底面且平面底面 所以底面（2）因为和分别是和的中点，所以，而平面，平面，所以平面（3）因为底面， 平面 所以，即因为，所以而平面，平面，且所以平面因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而平面，平面所以平面，同理平面，而平面，平面且 所以平面平面， 所以平面 又因为平面所以平面平面18（本小题共13分）解：（1）因为曲线在点处的切线为所以，即，解得（2）因为 所以当时，单调递增 当时，单调递减 所以当时，取得最小值， 所以的取值范围是19（本小题共14分）解：（1）线段的垂
10、直平分线为， 因为四边形为菱形，所以直线与椭圆的交点即为，两点对椭圆，令得所以（2）方法一：当点不是的顶点时， 联立方程得设，则， 若四边形为菱形，则，即所以即因为点不是的顶点，所以，所以即，即所以此时，直线与轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，所以四边形不可能为菱形方法二：因为四边形为菱形，所以，设（）则，两点为圆与椭圆的交点联立方程得所以，两点的横坐标相等或互为相反数。因为点在上若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形不可能为菱形。20（本小题共13分）解：（1），（2）因为，（）是公比大于的等比数列，且 所以所以当时，所以当时，所以，是等比数列。（3）若，是公差大于的等差数列，则 ，应是递增数列，证明如下： 设是第一个使得的项，则 ，所以，与已知矛盾。 所以，是递增数列再证明数列中最小项，否则（），则显然，否则，与矛盾因而，此时考虑，矛盾因此是数列中最小项综上，（）于是，也即，是等差数列专心-专注-专业