二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选.doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选【例1】. 已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似；若存在，求

2、t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在中，由x=0得y=2，C（0，2）。 由 y=0得 x=2，A（2，0）。 AB=2，B（4，0）。 可设抛物线的解析式为，代入点C（0，2）得。抛物线的解析式为。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=42t。EDBA，CEDCOB。 ，即。ED=2t。当t=1时，有最大值1。当t=1时，的值最小，最小值是1。（3）存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B（4，0），C（0，2）得 ，解得，C所在直线的解析式为。 由题意可得：D点的纵坐标为t2，则D点的横坐标为2t。又。PBD=ABC，以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似有两种情

3、况：当时，即，解得；当时，即，解得。综上所述，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x2）（x4），代入点C的坐标求出a即可。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由EDBA得出CEDCOB ，从而，求出ED=2CE=2t，根据 ，根据二次函数的最值求出即可。（3）以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似有两种情况：和代入求出即可。【例2】. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负

4、半轴上，且OD10，OB8将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；(2)若抛物线yx2bxc经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MNx轴于点N问是否存在点M，使AMN与ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(4)当x7，在抛物线上存在点P，使ABP的面积最大，求ABP面积的最大值【答案】解：（1）（6，0），（0，8）。 （2）。 （3）存在。设M，则N（m，0）MN=，NA=6m。 又DA=4，CD=8，若点M在点N上方，则AMNACD。，即，解

5、得m=6或m=10。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N下方，则AMNACD。，即，解得m=2或m=6。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N上方，则AMNACD。，即，方程无解。此时不存在点M，使AMN与ACD相似。若点M在点N下方，则AMNACD。，即，解得m=或m=6。当m=时符合条件。此时存在点M（，），使AMN与ACD相似。综上所述，存在点M（，），使AMN与ACD相似。（4）设P（p，）， 在中，令y=0，得x=4或x=6。 x7分为x4，4x6和6x7三个区间讨论：

6、如图，当x4时，过点P作PHx轴于点H则OH=p，HA=6p ，PH=。 当x4时，随p的增加而减小。当x=时，取得最大值，最大值为。如图，当4x6时，过点P作PHBC于点H，过点A作AGBC于点G。则BH= p，HG=6p，PH=， 当4x6时，随p的增加而减小。当x=4时，取得最大值，最大值为8。如图，当6x7时，过点P作PHx轴于点H。则OH=p，HA= p6，PH=。当6x7时，随p的增加而增加。当x=7时，取得最大值，最大值为7。综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数

7、的性质。【分析】（1）由OD10，OB8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2OB2=10282=36，OA=6。A（6，0），B（0，8）。（2）抛物线yx2bxc经过点A、B， ，解得。 这条抛物线的解析式是。（3）分若点M在点N上方，若点M在点N下方，若点M在点N上方，若点M在点N下方，四种情况讨论即可。（4）根据二次函数的性质，分x4，4x6和6x7三个区间分别求出最大值，比较即可。【例3】. 在平面直角坐标系xoy中， 一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0） （1）请直接写出点B、C的

8、坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M 设AE=x，当x为何值时，OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可设过A、B、C三点的抛物线为 。 又C（0，）在抛物线上，解得。经过A、B、C三点

9、的抛物线解析式 即。（2）当OCEOBC时，则。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 当x=2时，OCEOBC。 存在点P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此时，CAE为等边三角形。 AEC=A=60。又CEM=60， MEB=60。 点C与点M关于抛物线的对称轴对称。 C（0，），M（2，）。 过M作MNx轴于点N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM为等腰三角形，则：)当EP=EM时, EM=2，且点P在直线x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，P(1，2) 。 ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与

10、直线x=1的交点，P(1，) 综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）时，EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。 求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。【例4】. 已知

11、直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N（1）如图，当点M与点A重合时，求：抛物线的解析式；（4分）点N的坐标和线段MN的长；（4分）（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得OMN与AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4分）【答案】解：（1）直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，A（，0），B（0，5）。当顶点M与点A重合时，M（，0）。抛物线的解析式是：，即。N是直线与在抛物线的交点，解得或。N（，4）。如图，过N作NCx轴，垂足为C。N（，4），C（，0）NC=4MC=OMOC=。 。（2）存在。点M

12、的坐标为（2，1）或（4，3）。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】（1）由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。 联立和，求出点N的坐标，过N作NCx轴，由勾股定理求出线段MN的长。（2）存在两种情况，OMN与AOB相似： 情况1，OMN=900，过M作MDx轴，垂足为D。 设M（m，），则OD= m，DM=。 又OA=，OB=5， 则由OMDBAO得，即，解得m=2。M（2，1）。 情况2，ONM=900，若OMN与AOB相似，

13、则OMN=OBN。 OM=OB=5。 设M（m，），则解得m=4。M（4，3）。综上所述，当点M的坐标为（2，1）或（4，3）时，OMN与AOB相似。【例5】. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？

14、若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）由抛物线过A（3，0），B（1，0），则 ，解得 。 二次函数的关系解析式为。 （2）设点P坐标为（m，n），则。 连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N。 PM =， ，AO=3。 当时，所以OC=2。 0，函

15、数有最大值，当时，有最大值。 此时。存在点，使ACP的面积最大。 （3）存在。点。 （4）存在。点。 （5）点。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求得a、b，从而得到二次函数的关系解析式。（2）设点P坐标为（m，n），则。连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N，根据求出S关于m的二次函数，根据二次函数最值求法即可求解。（3）分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。（4）分BQEAOC，EBQAOC，QEBAOC三种情况讨论即可。（5）分AC是边和

16、对角线两种情况讨论即可。【例6】. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）将CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（，0）、B（3，

17、0）、C（0，3）三点， 抛物线的解析式可设为， 将C（0，3）代入得，解得。 抛物线的解析式为，即。 （2）存在。如图， 由得对称轴l为， 由B（3，0）、C（0，3）得tanOBC=， OBC=300。 由轴对称的性质和三角形外角性质，得ADP=1200。由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。DP=CP=1，AD=4。在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断Q1CDADP，此时，Q1的坐标为（0，7）。由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足Q2CDADP，过点Q2作Q2Gy轴于点G，则在RtCQ2G中，由Q2C=4，Q2CG=600可得CG=2，Q2G=2

18、。OG=1。Q2的坐标为（2，1）。在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则Q3DCADP，此时，Q3的坐标为（，2）。由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足Q2DCADP，过点Q4作Q4Hl于点H，则在RtDQ4H中，由Q4D=4，Q4DH=600可得DH=2，HQ4=2。Q4的坐标为（3，4）。综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（2，1）或（，2）或（3，4）。（3）（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋

19、转的性质。【分析】（1）根据已知点的坐标，设抛物线的交点式，用待定系数法即可求。 （2）求出ADP的两边夹一角，根据SAS作出判断。（3）如图，作做EFl于点F，由题意易证明PMD EMD，CME DNE， PM=EM=EN=2DN。由题意DF=1，EF=，NF=1-DN 在RtEFN中， ，整理得，解得（负值舍去）。 。点N的纵坐标为。N（）。【例7】. 如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DMx轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，DAC=90（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线

20、，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE是否存在点P，使BPF与FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得，解得。直线AB的解析式为y=x+4。（2）过D点作DGy轴，垂足为G，OA=OB=4，OAB为等腰直角三角形。又ADAB，DAG=90OAB=45。ADG为等腰直角三角形。DG=AG=OGOA=DMOA=54=2。D（2，6）。（3）存在。由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x4），将D（2，6）代入，得a=。抛物线解析式为y=

21、x（x4）。由（2）可知，B=45，则CFE=BFP=45，C（2，2）。设P（x，0），则MP=x2，PB=4x，当ECF=BPF=90时（如图1），BPF与FCE相似，过C点作CHEF，此时，CHE、CHF、PBF为等腰直角三角形。则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4x+2（x2）=x，将E（x，x）代入抛物线y=x（x4）中，得x=x（x4），解得x=0或，P（，0）。当CEF=BPF=90时（如图2），此时，CEF、BPF为等腰直角三角形。则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=x（x4）中，得2=x（x4），解得x=或。P（，0）。综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）

22、。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。 （2）作DGy轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，OAB为等腰直角三角形，而ADAB，利用互余关系可知，ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OGOA=DMOA=54=2，可求D点坐标。（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角CFE=BFP=45，故当BPF与FCE相似时，分为：ECF=BPF=90，CEF=BPF=90两种情况，根据等腰

23、直角三角形的性质求P点坐标。【例8】. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线于点C，交x轴于点G。PMx轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足为点M，PCM为等边三角形。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求点P的坐标； （3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使CMN与CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）抛物线的顶点为B（2，1）， 可设抛物线的解析式为。 将A（

24、0，2）代入，得，解得。 该抛物线的表达式。（2）将代入，得， 点C的坐标为（2，2），即CG=2。 PCM为等边三角形，CMP=600，CM=PM。 PMx轴，CMG=300。CM=4，GM=。OM=，PM=4。 点P的坐标为（，4）。（3）相等。理由如下： 联立和得，解得，。 不合题意，舍去，EF=，点E的坐标为（，）。 。 又，。 CE=EF。（4）不存在。理由如下： 假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使CMNCPE，则CN=CE，MCN=PCE。 MCP=600，NCE=600。CNE是等边三角形。EN=CE，CEN=600。又由（3）CE=EF，EN=EF。又点E是直线上的点，CEF

25、=450。点N与点F不重合。EFx轴，这与“垂线段最短”矛盾，原假设错误，满足条件的点N不存在。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。【分析】（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。（2）由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标，由PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。（3）计算出CE和EF的值即可得出结论。（4）用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使CMNCPE，推出

26、与公理矛盾的结论。【例9】. 如图，顶点坐标为(2，1)的抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由来源:【答案】解：（1）抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为(2，1)， 可设抛物线的表达式为。 点C(0，3)在上，解得。 抛物线的表达式为，即。 （2）令，即，解得。A（1，0），B（3，

27、0）。 设BC的解析式为，将B（3，0），C（0，3）代入得， ，解得。BC的解析式为。 当x=2时，y=23=1，D（2，1）。 。 （3）存在。假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似。 BCO是等腰直角三角形，以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。 由EFOC得DEF=450， 以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点。 当点F为直角顶点时，DFEF，此时DEFBCO。 DF所在直线为y=1。 由，解得 将代入，和，E（，）； 将代入，和，E（，）。 当点D为直角顶点时，DFED，此时EFDBCO。 点D在对称轴上，DA=DB。 CBA=45

28、0，DAB=450，ADB=900。 ADBC。点F在直线AD上。 设AD的解析式为，将A（1，0），D（2，1）代入得， ，解得。AD的解析式为。 由，解得或。 将代入，和，E（1，2）； 将代入，和，E（4，1）。 综上所述，点E的坐标为（，）或（，）或（1，2）或（4，1）。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）设抛物线的顶点式表达式，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。 （2）求出A、B、D点坐标，由即可求得ACD的面积。 （3）分点F为直角顶点和点D为直角顶点两种情况求解即可。【例

29、10】. 已知，如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1。 由RtABC知RtABORtCAO，即，解得OC=4。 点C

30、的坐标为（4，0）。 （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为， 将A（0，2）代入，得，解得。 过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。 ，抛物线的对称轴为。 （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。 点P（m，n）在上， P。 ， ，。 。 ，当时，S最大。当时，。点P的坐标为（2，3）。（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由RtABORtCAO可得，从而求出点C的坐标。（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶

31、点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。由点P在和可得。，整理，得。要使PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的0，即，解得。将代入得，将代入得。当S最大时点P的坐标为（2，3）。（4）设点M（）， C（4，0）, P（2，3）, PC=,PM=, CM=。分三种情况讨论：当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。M1（）。当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。 M2（），M2（）。 当点P是顶点时，PC= PM，即，

32、解得，。 M4（），M5（）。 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，MPC为等腰三角形。【例11】. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直角三角形？若存

33、在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。 （2）AB=AC，OB=OC。C（0，4）。 设直线AC：，由A（8，0），C（0，4）得 ，解得。直线AC：。 直线l移动的速度为2，时间为t，OE=2t。设P， 在中，令x=2t，得，M（2t，）。 BC=8，PM=，OE=2t，EA=， 。 四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0t4）。 ， 四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。（3）存在。由（2），在0t4，即0t8时，AMP和APM不可能为直角。 若PAM为直角，则PACA，AOCPEA。 设P，则OC=4，OA=8，EA=8p，E

34、P=， ，整理得，解得（舍去）。 当时，。P（3，10）。 当P（3，10）时，PAM是直角三角形。【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=1或x=8。 A（8，0），B（0，4）。 （2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。 （3）存在。易知，AMP和APM不可能为

35、直角。当PAM为直角时，AOCPEA，根据比例关系列出方程求解即可。【例12】. 已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且，求点M 的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=2；令x=0，得y =4。 A（2，0），D（0，4）。 将A（2，0），D（0，4

36、）代入，得 ，解得。 这条抛物线的解析式为。 令，解得。B（4，0）。 （2）设M（m，2 m + 4），分两种情况： 当M在线段AD上时，由得，解得，。M1（）。当M在线段DA延长线上时，由得，解得。M2（）。综上所述，点M 的坐标为M1（），M2（）。（3）存在。 点C（2，y）在上， 。C（2，4）。 设P，根据勾股定理，得 ， ，。 分三种情况：若PB=BC，则，解得，。点P在y 轴的正半轴上，P1（0，2）。若PB=PC，则，解得，。P2（0，）。若BC=PC，则，解得，。点P在y 轴的正半轴上，不符合要求。当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。BC=PC时，在y

37、轴的正半轴上是不存在点P，使BCP为等腰三角形。综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，），使BCP为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）求出点A，D的坐标，代入，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出点B的坐标。（2）分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。（3）P，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC，PB=PC，BC=PC三种情况讨论。【例13】. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A抛物线的图象过点E（1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）一次函数交y轴于点A，令=0，得y=2。A（0，2）。 A（0，2）、E（1，0）是抛物线的图象上的点， ，解得 。 抛物线的解析式是：。（2）一次函数交轴于点P，令y=0，得=6。P（6，0）。 ACAB，OAOP，AOCPOA。 AO=2，PO=6，。点C的坐标为。（3）存在。设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得MAB是直角三角形，即AMB=9