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1、精选优质文档-倾情为你奉上线线角与线面角习题一、复习目标1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为 .2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( ) (A). (B). (C). (D). 3.平面与直线
2、所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是 4.如图,ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为(A).30 (B).45 (C).60 (D).905.有一个三角尺ABC,A=30, C=90,BC是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45角时,AB边与桌面所成角的正弦值是 三、典型例题例1.(96全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.补形法:把空间图
3、形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:利用平面垂直的性质找平面的垂线.点的射影在面内的特殊位置.例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BFFB1=21, BF=BC=. (1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的
4、任意一点,证明：EFFC1; (2)试问:若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60角,为什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.四、反馈练习1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则 (A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D) BAC.2两条直线,与平面所成的角相等,则直线,的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能.3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中
5、，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为 .4已知、是一对异面直线，且、成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与、均成60o角的直线有 条.5异面直线、互相垂直，与成30o角，则与所成角的范围是 .6ACB=90在平面内,PC与CA、CB所成的角PCA=PCB=60o,则PC与平面所成的角为 .7设线段AB=,AB在平面内,CA,BD与成30角,BDAB,C、D在同侧,CA=BD=.求: (1)CD的长;(2)CD与平面所成角正弦值.课前预习1. 60 2.A 3. , 4.C 5.典型例题例1解:CBADCBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设
6、正方形ABCD的边长为,则BF=CBAB, EBABCEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角CBE=60 CE= FC= cosCBF=例2解:(1)设所求的角为,先证BD平面ACC1A1,则sin=sinOC1B=.故=30o.(2)A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. 棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H平面A1BC1,连A1H, B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=则A1B=得A1H=.故cosB1A1H=.所求角为例3解:(1)连接OF,容易证明AD面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DFFC1,FC1EF.(2)
7、 AD面BB1C1C, EFD是EF与平面BB1C1C所成的角.在EDF中,若EFD=60,则ED=DFtan60=,AB=BC=AC=2,AD=.E在DA的延长线上,而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60角.反馈练习1. D 2. D 3. 4. 3 5. 60,90 6. 45 7.解:(1)作DD于D,连接AD,BD.CA,CADD.四边形CADD是直角梯形,CAD=D DA=90,AB,ABDD.又ABBD,AB平面BDD,BD平面BDD.ABBD.DBD是BD与所成的角,DBD=30,BD=,DD=,BD=.在ABD中,AB=,BD=,ABD=90,
8、AD=.在CADD中，CD=.(2)作DCDC交CA于C,CDA是CD与所成的角,sinCDA=.线面角与面面角练习一、知识与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可
9、考虑用射影面积公式求二面角的大小。3判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面二、例题例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点(1)求证：AC1平面A1BD(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值解： (1)连AC，C1C平面ABCD， C1CBD又ACBD， AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在D1AC1中，MEAC1，AC1平面A1BDME平面A1BD连结BE，则MB
10、E为BM与平面A1BD成的角在中，例2如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P （1）求证：面ABP面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值证明（1） 由题设知APCPBP点P在面ABC的射影D应是ABC的外心，即DABPDAB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面ABC（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CDBCP为正三角形，CEBDBOD为等腰直角三角形，DEPBCED为二面角C-BP-A的平面角又由（1）知，面ABP面ABC，DCAB，AB面ABP面ABC，由面面垂直性质定理，得DC面ABPDCDE因此CDE为直角
11、三角形设，则，例3如图所示，在正三棱柱中，截面侧面(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数证明：在截面A1EC内，过E作EGAC，G是垂足，如图，面AEC面AC，EG侧面AC取AC的中点F，分别连结BF和FC，由ABBC得BFAC面ABC侧面AC，BF侧面AC，得BFEGBF和EG确定一个平面，交侧面AC于FGBE侧面AC，BEFG，四边形BEGF是 ，BEFGBEAA，FGAA，AACFGC解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结ADBACBCA60，DACDABBAC90，即 DAACCC面ACB，由三垂线定理得DAAC，所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90
12、CCAAABAC，CAC45，即所求二面角为45说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法三、作业： 1已知平面a的一条斜线a与平面a成q角，直线ba，且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A有最小值q，有最大值B无最小值，有最大值。C有最小值q，无最大值D有最小值q，有最大值p-q。2下列命题中正确的是（D）A过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45和30，这条线段的两个端点向平面的
13、交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A30B20C15D124设正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A30B45C60D905正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为6A是BCD所在平面外的点，BAC=CAB=DAB=60，AB=3，AC=AD=2. （）求证：ABCD； （）求AB与平面BCD所成角的余弦值.7正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值解过A，E分别作AH面BCD，EO面BCD，H，O为垂足，AH 2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，ECO即为所求AB=AC=A
14、D，HB=HC=HDBCD是正三角形，H是BCD的中心，连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点， ，在RtADH中，8在四面体ABCD中，DA面ABC，ABC90，AECD，AFDB求证：（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF证明 如图1-83（1）AD面ABCADBC又ABC90BCABBC面DABDB是DC在面ABD内的射影AFDBAFCD（三垂线定理）AECDCD平面AEFCDEF（2）CDAE，CDEFCD面AEFCD 面BCD面AEF面BCD（3）由EFCD，AECD AEF为二面角B-DC-A的平面又AFDB，AFCD，BDCDD AF平面DBC，二面角题目：例1 如图所示，已知面，二面角的平面角为，求证：2如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，求二面角的大小。例3设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，求（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2）二面角的大小；（3）异面直线AB和CD所成角的大小。例4.在正方体中，为的中点，求截面与底面所成较小的二面角的大小。选用：如图，正方体的棱长为1，求：（1）与所成角；（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角解：（1） 与所成角就是平面 （三垂线定理）在中， （2）作，平面平面平面，为与平面所成角在中， （3） 平面又平面 平面平面即平面与平面所成角为专心-专注-专业