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1、精选优质文档-倾情为你奉上近年来，大多数研究都是围绕改进牛顿法和P-Q分解法进行。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐引入潮流计算。但是，到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。由于电力系统规模不断扩大，对计算速度要求不断提高，计算机的并行计算技术也将在潮流计算中得到广泛应用，成为重要的研究领域。经过三十多年的发展，潮流算法已经比较成熟，但是仍存在不少尚待解决的问题。例如各种牛顿法潮流算法，对于某些条件可能导致不收敛。潮流计算的多解现象及其机理在重负荷情况下，临近多根与电压不稳定问题的关联。当前无论在实践上还是在理论上，均有许多问题需待
2、解决，特别是如何快速求解成千上万个变量的大规模非线性规划问题。近几年，对潮流计算的研究仍然是如何改善传统的潮流算法。牛顿拉夫逊法，由于其在求解非线性潮流方程时采用逐次线性化方法，为了进一步提高算法的收敛性和计算速度，人们考虑采用将泰勒级数高阶项或非线性项也考虑进来，于是产生了二阶潮流算法。后来又提出了根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程的特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法。在这种情况下，进行电力系统规划和运行条件分析时，若不考虑随机变化因素，就要对众多可能发生的情况作大量的方案计算，计算时间是难以承受的，并且很难反映系统整体的状况。随机潮流计算是解决上述问题的有效方法和手
3、段。应用随机理论来描述这种不确定性，探讨相应的数学建模，计算机算法和实际应用，称为随机潮流（Probabilistic Load Flow,简写为PLF）研究，也称为随机潮流。采用随机潮流计算方法，输入数据为已知的随机变量，给定的是它们的随机统计特性（例如，给定节点注入功率的期望和方差或随机密度函数等），输出数据则是节点电压和支路潮流的统计特性，有期望值和方差或随机密度函数等。由这些结果，可以知道节点电压、支路功率、PV节点无功功率及平衡节点功率的平均值、取值范围以及其随机等。这样，只要通过一次计算就能为电力系统的运行条件提供更完备的信息，减少了大量的计算工作量。根据这些信息，可以更深刻地揭示
4、系统运行状况、存在问题和薄弱环节，为规划与运行决策提供更全面的信息，可以更恰当地确定输电线和无功补偿装置的容量以及系统的备用容量等，从而提高了电力系统的安全运行水平。1.3.1国外关于随机潮流计算的研究现状把随机分析方法应用在电力系统的潮流研究上来最初是B.Borkowska在1974年提出来的。自从那以后，就有两种方法采用了随机分析方法来研究潮流问题：随机潮流方法和随机潮流方法。在随机潮流研究中，负荷和发电量在ti瞬间被看成随机变量。这种方法研究了这种不确定性在每个瞬间给传统的潮流计算结果带来的影响。因此，随机潮流方法可以处理短时间的不确定性，对系统运行很有用。因为本文是研究负荷和发电机的不
5、确定性在一个很长时间内对输电网络的充裕性的影响，所以取了随机潮流的分析方法来进行系统规划研究。蒙特卡罗仿真方法是一种可以获得状态变量和支路潮流的累积分布函数方法。这种方法是根据输入变量（节点注入的有功功率和无功功率）的随机分布情况进行多次取值，然后用确定性潮流计算方法依次根据这些被选择的输入变量的值来计算状态变量和支路潮流的值。最后，从多次的计算结果中统计状态变量和支路潮流的随机分布情况。为了获得有实际意义的结果，通常需要上千次的蒙特卡罗仿真计算。以前学者认为，虽然蒙特卡罗仿真方法可以得到精确的结果，但是这种计算是非常的耗费时间的，因此蒙特卡罗方法不适合处理实际的系统。大多数研究者仅仅只是用它
6、来和其它方法进行比较而已。卷积方法是另一种可以获得支路潮流累积分布函数的方法，已有参考文献6采用这种方法。通过应用线性化方法，状态变量和支路潮流被转换成输入变量的组合量。因此，假定所有的变量之间都是相互独立，卷积方法可以用来获得目标变量的随机密度函数。传统的卷积方法将随机学中对随机变量累积分布函数的卷积计算公式作为算法的核心，其概念清晰，但计算工作量较大。因为等效持续负荷曲线（ELDCEquivalent Load Duration Curve）是用离散点的函数值来描述的，为了保证计算的精确度，往往需要数以百计的离散点描述其持续负荷曲线；而每次卷积及反卷积计算都必须重新计算这些离散点的函数值，
7、计算量相当大。并且，随着电力系统规模的扩大以及对水电机组和分段机组的考虑，这种采用递归卷积计算处理离散点的方法使计算量急剧上升，给随机生产模拟的实际应用带来很大困难。为了克服上述生产困难，国内外学者提出了不少简化算法。例如：基于直流潮流模型下，计算支路的随机密度函数（Probabilistic Density FunctionPDF）和累计分布函数（CumulativeDistribution FunctionCDF）的方法。该方法结合了累积量和Gram-Charlier展开级数理论，通过综合的方法来计算支路的随机密度函数和累计分布函数。该方法避免了负责的卷积计算，取而代之的是简单的代数计算过
8、程，这是由于半不变量所特有的性质决定的。并且，一次运行就可以得到支路的随机密度函数和累计分布函数。这种方法可以大大地减少存储空间，这是由于低阶的Gram-Charlier展开级数估计随机密度函数和累计分布函数有着足够高的精度。多重线性化模拟算法。该模型假定负荷为正态分布的随机变量，认为节点注入功率要么相互独立的，要么为线性相关的随机变量，因而支路功率是节点注入功率的线性组合（当采用线性化潮流计算时），因此其随机分布可用随机理论中卷积公式计算。该方法存在的不足在于：（1）节点注入功率的相关性不易处理。这种相关性是极为复杂的，不局限于前面假设的两种最简单状态，它不仅受到随时间、空间分布变化的负荷影
9、响，并且受到系统调度决策（如机组组合、经济运行、发电再调度、电力市场中的阻塞管理、输电开放等）影响。（2）采用卷积计算需要将潮流方程在假定的负荷点附近线性化，由于负荷变化的不确定性，这种线性化会导致较大的误差。（3）没有考虑网络拓扑结构的随机变化。实际上，网络的计划检修和随机故障均可导致线路停运，进而对系统潮流分布有着显著影响。1.3.2国内关于随机潮流计算的研究现状我国进行电网规划时，大部分沿用的仍是传统的确定性潮流分析方法，随机潮流分析方法应用不多，为使制定的电网规划方案更具合理性，应拓展这方面的应用研究。传统的潮流分析计算是在所有给定量，如节点负荷、投运的发电机台数、出力，都是在确定量的
10、基础上进行的。然而，电网规划实际上涉及了大量不确定性因素，如负荷的变化、长期规划负荷预测的不准确性、发电机装机及出力计划发生变化、设备故障退出运行等。这些因素对电网规划方案有很大影响。为了全面考察电网性能，规划人员要分别对很多运行方式进行确定性潮流计算这样不仅计算量大而且也难以反映全局情况。因此，有必要采用能计入不确定性影响因素的潮流分析方法，将直接能处理不确定变量的随机论引入潮流分析计算中，形成了随机潮流。在现有电力系统随机特征根分析方法的基础上，依据特征根各阶矩对整体随机分布的影响程度，将随机变量的中心矩与累加量混合使用，以求达到计算精度与计算量需求之间的协调。文中所考虑的不确定因素为基于
11、节点功率运行曲线的系统多运行方式，利用不同近似程度的特征根1阶和2阶灵敏度算式，从节点电压或节点注入功率的随机特性计算出特征根的各阶数字特征，然后由Gram-Charlier级数确定临界特征根的随机密度和稳定随机。在该混和算法中，既不限制随机变量的分布类型，又充分计及变量之间的相关性，同时也考虑了运算过程中方差对均值的修正。以前面方法为基础，探讨随机潮流计算在电力系统规划设计和运行方式研究中的应用，特别是对无功补偿和调压计算的研究。提出了在随机潮流计算中设置电压控制节点的概念和方法，可用来分析节点电压随机波动对系统其它节点电压和支路潮流的影响。对于电压控制节点，还可以计算它的无功注入功率的随机
12、分布，并由此确定在这些节点上应配置的无功补偿设备容量。以节点注入功率和PV电压运行曲线为基础，比较了线性化模型，近似二阶模型和完整二阶模型等三种随机潮流模型在迭代算式和计算准确度上的差别。各种模型中除计及方差对均值的修正，还采用扩展的雅可比矩阵考虑PV节点和平衡节点电压运行曲线的影响。算例结果表明，线性化模型和近似二阶模型可以保证电压均值的准确性，但电压实部的方差有较大误差。完整二阶模型中，通过多个运行样本在均值点处的二阶迭代求取电压偏差曲线，能够准确计及电压的三阶和四阶中心矩对电压协方差的修正，准确度很高。因此可以根据计算时间和不同的计算精度要求采用相应的计算模型。针对目前随机潮流算法在处理
13、节点功率间变化的相关性、网络拓扑随机变化及评价指标方面的不足，提出了一种基于蒙特卡罗模拟的随机潮流算法，采用K均值聚类负荷模型，考虑了发电和输电元件的故障停运和检修停运，并在网络模型中计及继电保护和重合闸等二次元件故障的影响，建立了较为完整的评估指标体系，从而在随机潮流的实用化方面取得了显著进展。研究了分布式发电中的风力发电和太阳能发电的随机出力对配电系统电压质量的影响，建立了风力发电和太阳能发电的随机分析模型，将此模型引入到接有分布式发电的IEEE14配电系统中进行随机潮流计算，得到了节点电压随机密度曲线及系统年期望电压越限小时数。文中还将风力太阳能混合发电系统与单独风力发电系统进行比较，得
14、出前者更有利于提高系统电压质量的结论。析比较了现有的网损计算方法，提出了随机网损的新的分析方法，并将随机潮流方法应用于随机网损的分析计算，详细阐述了具体的实现过程并将该方法进一步应用于电力市场转运网损（过网网损）的分析计算。此外，还提出采用随机模拟技术来安排发电计划的方法，揭示了电力市场发电竞价的随机性。探讨了在AT自耦变压器供电方式下，交流电气化铁道牵引供电系统的数学模型。推导了在多辆电力机车运行条件下各机车电压与牵引变电所供电功率的计算公式。提出了利用电力机车运行速度的变化曲线来计算其位置随机分布的方法。从而应用蒙特卡罗仿真，随机抽样确定电力机车在牵引网中的位置和运行状态，然后进行潮流计算
15、，最终得到机车电压与供电功率的随机分布。提出了一种包含统一潮流控制器（UPFC）的随机潮流算法。UPFC采用等效注入功率模型，随机潮流采用非序贯蒙特卡罗仿真算法。讨论了UPFC的初值选取对潮流收敛性的影响，分析了发电机和线路随机故障时UPFC对线路潮流和节点电压的控制作用。新的较实用的方法求解随机潮流问题。在数学模型中保留了潮流方程的非线性，同时又结合了线性化的因素，因而数学模型的精确度和适应性都有所提高。用该文提出的方法对几个系统进行了试算，并用蒙特卡罗随机模拟验证了计算结果，同时将该方法与其它方法作了比较。将随机潮流与二阶连续潮流（QCPF）相结合，在QCPF计算中考虑负荷变化的彼此相关性
16、。节点电压取直角坐标形式，确定了二阶随机连续潮流（PCPF）的相关算式。在正态分布的正负四个标准差内，由求得的各点电压的分布特性，确定出PV曲线的分布范围，所得算法在IEEE57节点的标准算例上进行了分析。将蒙特卡罗模拟法和灵敏度分析法相结合，以直流潮流为基础，建立了输电系统可用传输能力（ATC）计算的随机模型。应用蒙特卡罗模拟法合理考虑了输电系统中的不确定性因素，应用灵敏度分析法快速计算了输电系统ATC，两者结合，不仅可以得到ATC的数学期望及其随机分布，还可以得到影响输电系统ATC的主要因素，反映输电系统的薄弱点，为输电系统的规划和电力交易商的商业行为提供决策依据。测试系统的计算结果说明了
17、该算法的正确性和有效性。3.1随机潮流计算方法蒙特卡罗仿真随机潮流算法，保留非线性的电力系统随机潮流算法，半不变量法潮流计算。三种主要方法。3.1.1 蒙特卡罗仿真随机潮流算法3.1.1.1蒙特卡罗方法概述蒙特片罗方法思想的提出可以追溯到18世纪末期，但实际上直到20世纪40年代以后，随着电子计算机的发展，该方法才得到迅速的发展和应用。在第二次世界大战中,蒙特片罗方法首先被美国科学家应用于原子弹的研究中。目前这一方法已经应用到物理学、医学、材料科学、农业、交通和管理、社会科学等许多领域。这些都充分表现出这种方法完全区别于其他方法，具有独特功能和优越性。蒙特卡罗方法亦称统计模拟方法(Statis
18、tical simulation method )，它是以随机统计理论为基础的利用随机数进行数值模拟的一种方法。蒙特卡罗方法从发现时起，在科学研究中得到了广泛的应用，理论得到了深入的发展。1930年， Enrico Fermi利用蒙特卡罗方法研究中子的扩散，并设计了一个蒙特卡罗方法机械装置，Fermiac，将这种方法用于计算核反应堆的临界状态。Von Neumann是蒙特卡罗方法的正式奠基者，他与Stanislaw Ulam合作建立了随机密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器.该方法首先建立一个随机模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量，然后通过多次模拟一个统
19、计试验，统计出某事件发生的百分比。只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的随机，利用建立的随机模型，求出要估计的参数，再次对模拟结果进行分析总结，预言或者验证该系统的某些特性。蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理过程，所以能解决一些通常数学方法难以解决的问题。蒙特卡罗方法算法由以下几个方面组成:求得系统的随机密度函数 (Probability density function)。给出描述一个系统的随机密度函数是应用蒙特卡罗方法的前提;利用随机数产生器产生在区间0,1上服从均匀分布的随机数然后根据随机数和元件数系统状态的已知随机比较进而确定某
20、一抽样当中的要确定的元件或系统状态然后再进行随机性检验并且进行随机性检验;确定随机变量抽样规则，即从在区间0,1上均匀分布的随机数出发，随机抽取满足给定的随机密度函数的随机变量，常用的有直接、舍选、复合抽样;模拟结果记录，记录一些感兴趣的量的模拟结果;进行误差估计，确定统计误差(或方差)随模拟次数以及其它一些量的变化规律;减少方差的技术，采用该技术可减少模拟过程中计算的次数。3.1.1.2蒙特卡罗方法基本步骤蒙特卡罗方法以随机模拟和统计试验为手段，是一种从随机变量的随机分布中，通过随机选择数字的方法产生一种符合该随机变量随机分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解的方法
21、。在应用该方法时、要求产生的随机数序列应符合该随机变量特定的随机分布。而产生各种特定的、不均匀的随机分布的随机数序列、可行的方法是先产生一种均匀分布的随机数序列、然后再设法转换成特定要求的随机分布的随机数序列、以此作为数字模拟试验的输入变量序列进行模拟求解。基本步骤如下:1)构造或描述随机过程。.对本身就具有随机性质的问题，要正确地描述和模拟这一随机过程;对于本来不是随机性质的问题，要用Monte-Carlo法求解，就要人为构造一个随机过程，使它的某些参数恰好是所求问题的解。2)已知分布的母体中抽样。构造了随机模型以后，要考虑的问题是如何从己知分布的母体中抽样，即如何进行数学模型试验。由于各种
22、随机模型都可以看作是由有关随机变量的随机分布构成的，因此产生服从已知随机分布的随机变量，就成为实现Monte-Carlo模拟试验的基本手段。3)建立各种估计量。当实现了模拟后，就要确定一个随机变量，作为所要求问题的估计量，若这个随机变量的期望值就是所求问题的解，则称此估计量为无偏估计量。 在上述步骤中，占主要地位的是由具有己知分布的母体中抽取简单的子样。在连续分布中，最简单的一个分布是(0，1)上的均匀分布。在Monte-Carlo方法中，将由(0，1)上的均匀分布中所产生的简单子样称为随机数序列，其中每一个个体称为随机数。 当已知各节点负荷的随机分布和节点发电机功率的随机分布时(负荷曲线转为
23、随机模型、一可以由离散点负荷的频数直方图来构造随机模型;也可先进行曲线拟合、一得到更多的随机点然后再由频数直方图的方法得到随机分布)，按照其分布分别产生一组随机数值序列假设产生n个样本)、然后由这n组数据进行潮流计算一(或采用待求量与注入功率的经验公式进行计算沉最终得到待求量(节点电压、支路潮流、支路网损)一的n组样本值、然后再用随机统计的方法求取期望、方差、随机分布等等。Monte-Carlo法的计算量(抽样次数)一般不受系统规模的影响、该方法的抽样次数与抽样精度的平方成反比、在一定的抽样精度下，减小方差是减少抽样次数的有效方法。一般情况下n取5000-10000，这样才能保证模拟的有效性。
24、3.1.1.3蒙特卡罗方法的思想及特点 所谓蒙特片罗方法，就是根据待求随机问题的变化规律，根据物理现象本身的统计规律，或者人为的构造一个合适的随机模型，按照该模型进行大量的统计试验，使它的某些统计参量正好是待求问题的解。用蒙特片罗方法求解问题时，应建立一个随机模型，使待解问题与此随机模型相联系，然后通过随机试验求得某些统计特征值作为待解问题的近似解。随着现代计算机技术的出现和飞速发展，用计算机模拟随机过程，实现大量模拟试验并统计计算结果，进而可获得所求问题的近似结果。计算机的大存储量、高运算速度使得在短时间内获得精度极高且内容丰富的模拟结果。在历史上，也正是原子弹工程研究初期阶段的工作，为模拟
25、裂变物质的中子随机扩散，提出了运用大存储量、高运算速度计算机的要求，这也成为当时推动计算机技术发展的重要动力。也就是在第二次世界大战期间，冯诺依曼和鸟拉姆两人把他们从事的与研制原子弹有关的秘密工作-对裂变物质的中子随机扩散进行直接模拟-以摩纳哥国的世界闻名赌城蒙特片罗作为秘密代号来称呼。用赌城名比喻随机模拟，风趣又贴切，很快得到广泛接受。此后，人们便把这种计算机随机模拟方法称为蒙特片罗方法。 在用蒙特片罗方法解答问题时，一般需要这样几个过程:构造或描述随机过程，对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确的描述和模拟这个随机过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分、解
26、线性方程组、偏微分方程边值问题等，要用蒙特片罗方法求解，就必须事先构造一个人为的随机过程，它的某些参量正好是所求问题的解，即要将不具有随机性质的问题，转化为随机性质的问题，这就构成了蒙特片罗方法研究与应用上的重要问题之一。然后建立各种估计量，使其期望值是所要求解问题的解。最后根据所构造的随机模型编制计算程序并进行计算，获得计算结果。蒙特卡罗方法解决问题的特点在于能够比较逼真地描述具有随机性质的事物及系统过程，条件限制少，收敛速度与问题的维数无关，具有同时计算多个方案与多个未知量的能力，误差容易确定，程序结构简单，易于实现。不足之处是该方法耗时很长，收敛速度慢。而且可能出现随机取节点数据造成潮流
27、不收敛的问题。因此要增加上述n的值来提高其收敛速度。使其趋于收敛。3.1.2保留非线性的电力系统随机潮流算法保留非线性的电力系统随机潮流算法保留了潮流方程的非线性，又利用了P-Q解耦方法，因而数学模型精度较高，且保留了P-Q解耦的优点，有利于大电网的随机潮流计算。用提出的方法对一个典型的系统进行了计算。（1）保留非线性的随机潮流数学模型由：1）状态变量的期望值；现在来分析P-Q解耦的不含有截断误差的泰勒展开式、 （9） （10） （11） 试中： 为常数雅可比矩阵。对式(10)，(11)两边求数学期望值，这里期望值的符号为对应项上方加“-”便有 (12) (13) (14) (15)式(14)
28、，(15)交替迭代计算，直至及为止，这样便求出了保留非线性的状态变量的期望值。下面给出的随机计算式(14)，(15)中保留二阶项的，具体表达式节点电压： 节点注入电流： 节点导纳矩阵元素： 节点注入功率： 则有节点注入功率方程式： （16） （17）对16，17 两个式子围绕和，展开，并作 的简化，推导出： （18） （19）2）支路潮流的期望值；图1,图2分别为线路及变压器支路的等值电路。图2变压器等值电路其支路潮流方程简记为 (20)将式(20)围绕展开，得 试中：为雅可比矩阵。 这里我们取迭代收敛后状态变量的期望值作为，因此有 (21) 对式(21)两边求数学期望值，有 (22)式(22
29、)就是计算支路潮流期望值的表达式。3）状态变量和支路潮流的方差构成。将非线性潮流方程简记为. ，围绕状态变量的期望值附近展开后，有 (23)式中: 为的雅可比矩阵。式(21)两边求数学期望值，有 (24)节点注入功率方差矩阵 将式(23), (24)代入上式，并令，简化得到状态变量的协方差矩阵的表达式为 上式写成解的形式:(25)(26)式中:下标a表示有功、相角部分;下标r表示无功、电压部。, 对于支路潮流的方差，将式(20), (21)代入上式，并令，化简得到解耦形式的支路潮流协方差矩阵为 (27) （28）式中: ,定义为有功、无功支路功率的灵敏度矩阵，, ,其中,3.1.3半不变量法潮
30、流计算法为了避免复杂的卷积运算,在这里引入随机论中随机变量的一个数字特征:半不变量。半不变量是随机变量一个数字特征，将卷积和反卷积计算简化为几个半不量的加法和减法运算，可以使计算量显著减少。当已知某随机变量的各阶半不变量的时候，可以利用Gram-Charilier级数展开式求得随机变量的分布函数或随机密度。当已知随机变量的分布时，设连续随机变量x的密度函数为g(x)，则其期望值u为: （29）由期望值u可以求出各阶中心矩Mv: （30）对离散变量来说，假设离散随机变量x取值xi的随机为Pi，则其期望和各阶中心矩如下: （31） （32）中心矩和半不变量都是随机变量的数字特征，在一定程度上代表了
31、随机分布的特性。随机变量的前八阶半不变量由以下公式给出: （33）半不变量具有如下性质，如果随机变量X(1). X(2)相互独立，且各自有k阶半不变量k(1)、kv(2)(v=1, 2.，k)存在，则随机变量:x(t)=x(1)+x(2)(式中符号“+”表示卷积运算)的，阶半不变量Kv(t)为 （34）上述性质可以推广到。个独立随机变量x(i) (i=1. 2.，。)的情况。这时n个独立随机变量之和x(t)的v阶半不变量可表示为 （35）式(34)和式(35)称为半不变量的可加性，而中心矩则无相应的性质，这就是引出半不变量的原因。半不变量还具有另外一个性质，就是随机变量a倍的k阶半不变量等于该
32、变量的k阶半不变量的a云倍。以上介绍的半不变量的两个性质在随机潮流计算中都将被用到，这使得随机变量的计算大大被简化。半不变量应用： 首先，各节点注入功率的随机变量由下式决定 （36）其中wg和wl分别为各节点发电机及负荷功率的随机变量，符号“+”由所表示的卷积运算在这里可以用半不变量来实现。在传统电力系统情况下，若考虑简单的两状态发电机模型，则当已知该节点发电机的容量和停运率时，即可求得该发电机出力的随机分布。在电力市场情况下，发电机出力的随机分布是通过发电竞价的离散数据统计得到的。对于节点负荷功率来说，其随机成分是由负荷预测误差或负荷的随机波动引起的，这个随机成分一般可用正态分布的随机变量来
33、描述。当负荷功率按某一负荷曲线变化时，可以用离散的随机分布来模拟，这样就能够把若干负荷水平的运行方式概括地反映在潮流模型中。 根据半不变量的可加性，可以由节点负荷注入功率的各阶半不变量功率的各阶半不变量,求出节点注入功率的各阶半不变量,(k)发电机注入 （37）各阶半不变量可以由相关公式来求得，一般求取八阶即可在计算精度上满足工程问题的要求。 结合半不变量的另外一个性质，根据线性关系相关公式和相关公式，由W的各阶半不变量可以求出状态变量X和支路潮流Z的各阶半不变量，即 （37） （38）式中S0(k)和T0(k)分别为矩阵S0和T0中元素的k次幂所构成的矩阵，即对任意元素i, j有 （39）
34、（40）由以上讨论可知，将随机变量转化为半不变量的形式后，其卷积和线性变换运算关系式非常简单。因此在求出节点负荷和发电机注入功率随即分布的各阶半不变量后，可以很容易求出状态变量X和支路潮流Z的各阶半不变量Z(k)和X(k)。在此基础上应用Gram-Charilier级数就可以求出X和Z的随机分布。由随机理论知识可知,随机变量的半不变量具有以下特殊的性质:独立随机变量之和的各阶半不变量等于各随机变量的各阶半不变量之和。该性质称为半不变量的可加性,而其他的数字特征则无相应的性质,这就是应用半不变量的原因。半不变量法潮流计算法就是应用上面半不变量的性质,可以由节点负荷注入功率的各阶半不变量和发电机注
35、入功率的各阶半不变量求出节点注入功率的各阶半不变量,即： （41）结合半不变量的可加性,根据线性化的潮流计算方程: （42）由注入功率的各阶半不变量求出状态变量和支路潮流的各阶半不变量 （43）上式中矩阵和分别是由和中的各元素的次幂所构成的矩阵,即对任意元素有，在求得状态变量和支路功率的各阶半不变量的基础上,应用Gram2Charlier展开级数就可以求出状态变量和支路功率的随机分布情况。 （44） （45）式中和分别为标准正态分布的随机密度函数和累积分布函数。上面两式(44)和(45)被称为GramCharlier展开级数。系数Ai可由半不变量求出。3.1.4上述方法的分类以上所介绍的随机潮
36、流方法中:第一类方法仅用于求解目标变量的期望和方差、因此适用范围很窄、可作为随机潮流分析的基础，第二类方法中: 1 蒙特卡罗仿真随机潮流算法。模拟法耗时很长、而且可能出现随机取节点数据造成潮流不收敛的问题。考虑其精度优势，一般用来作为基准方法进行比较; 2保留非线性的电力系统随机潮流算法线性化逐次计算法所做假设很少、适用范围广。但因其采用线性化的网损经验公式所以误差较大、而且计算量也比较大，耗时较长;3半不变量法潮流计算。随机过程模拟法理论性很强，但算法过于复杂;第一类方法仅用于求解目标变量的期望和方差、因此适用范围很窄、可作为随机潮流分析的基础，第二类方法中:1) 蒙特卡罗仿真随机潮流算法。
37、模拟法耗时很长、而且可能出现随机取节点数据造成潮流不收敛的问题。考虑其精度优势，一般用来作为基准方法进行比较;2) 保留非线性的电力系统随机潮流算法线性化逐次计算法所做假设很少、适用范围广。但因其采用线性化的网损经验公式所以误差较大、而且计算量也比较大，耗时较长;3) 半不变量法潮流计算。随机过程模拟法理论性很强，但算法过于复杂;3.1.1 蒙特卡罗仿真随机潮流算法3.1.1.1蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法亦称统计模拟方法(Statistical simulation method )，它是以随机统计理论为基础的利用随机数进行数值模拟的一种方法。该方法首先建立一个随机模型，使所求问题的解正好是
38、该模型的参数或其他有关的特征量，然后通过多次模拟一个统计试验，统计出某事件发生的百分比。只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的随机，利用建立的随机模型，求出要估计的参数，再次对模拟结果进行分析总结，预言或者验证该系统的某些特性。蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理过程，所以能解决一些通常数学方法难以解决的问题。蒙特卡罗方法算法由以下几个方面组成:求得系统的随机密度函数 (Probability density function)。给出描述一个系统的随机密度函数是应用蒙特卡罗方法的前提;利用随机数产生器产生在区间0,1上服从均匀分布的随机数
39、然后根据随机数和元件数系统状态的已知随机比较进而确定某一抽样当中的要确定的元件或系统状态然后再进行随机性检验并且进行随机性检验;确定随机变量抽样规则，即从在区间0,1上均匀分布的随机数出发，随机抽取满足给定的随机密度函数的随机变量，常用的有直接、舍选、复合抽样;模拟结果记录，记录一些感兴趣的量的模拟结果;进行误差估计，确定统计误差(或方差)随模拟次数以及其它一些量的变化规律;减少方差的技术，采用该技术可减少模拟过程中计算的次数。3.1.1.2蒙特卡罗方法基本步骤蒙特卡罗方法以随机模拟和统计试验为手段，是一种从随机变量的随机分布中，通过随机选择数字的方法产生一种符合该随机变量随机分布特性的随机数
40、值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解的方法。在应用该方法时、要求产生的随机数序列应符合该随机变量特定的随机分布。而产生各种特定的、不均匀的随机分布的随机数序列、可行的方法是先产生一种均匀分布的随机数序列、然后再设法转换成特定要求的随机分布的随机数序列、以此作为数字模拟试验的输入变量序列进行模拟求解。基本步骤如下:1)构造或描述随机过程。.对本身就具有随机性质的问题，要正确地描述和模拟这一随机过程;对于本来不是随机性质的问题，要用Monte-Carlo法求解，就要人为构造一个随机过程，使它的某些参数恰好是所求问题的解。2)已知分布的母体中抽样。构造了随机模型以后，要考虑的问题是如何从
41、己知分布的母体中抽样，即如何进行数学模型试验。由于各种随机模型都可以看作是由有关随机变量的随机分布构成的，因此产生服从已知随机分布的随机变量，就成为实现Monte-Carlo模拟试验的基本手段。3)建立各种估计量。当实现了模拟后，就要确定一个随机变量，作为所要求问题的估计量，若这个随机变量的期望值就是所求问题的解，则称此估计量为无偏估计量。 在上述步骤中，占主要地位的是由具有己知分布的母体中抽取简单的子样。在连续分布中，最简单的一个分布是(0，1)上的均匀分布。在Monte-Carlo方法中，将由(0，1)上的均匀分布中所产生的简单子样称为随机数序列，其中每一个个体称为随机数。 当已知各节点负
42、荷的随机分布和节点发电机功率的随机分布时(负荷曲线转为随机模型、一可以由离散点负荷的频数直方图来构造随机模型;也可先进行曲线拟合、一得到更多的随机点然后再由频数直方图的方法得到随机分布)，按照其分布分别产生一组随机数值序列假设产生n个样本)、然后由这n组数据进行潮流计算一(或采用待求量与注入功率的经验公式进行计算沉最终得到待求量(节点电压、支路潮流、支路网损)一的n组样本值、然后再用随机统计的方法求取期望、方差、随机分布等等。Monte-Carlo法的计算量(抽样次数)一般不受系统规模的影响、该方法的抽样次数与抽样精度的平方成反比、在一定的抽样精度下，减小方差是减少抽样次数的有效方法。一般情况
43、下n取5000-10000，这样才能保证模拟的有效性。3.1.1.3蒙特卡罗方法的思想及特点 所谓蒙特片罗方法，就是根据待求随机问题的变化规律，根据物理现象本身的统计规律，或者人为的构造一个合适的随机模型，按照该模型进行大量的统计试验，使它的某些统计参量正好是待求问题的解。用蒙特片罗方法求解问题时，应建立一个随机模型，使待解问题与此随机模型相联系，然后通过随机试验求得某些统计特征值作为待解问题的近似解。随着现代计算机技术的出现和飞速发展，用计算机模拟随机过程，实现大量模拟试验并统计计算结果，进而可获得所求问题的近似结果。计算机的大存储量、高运算速度使得在短时间内获得精度极高且内容丰富的模拟结果
44、。在历史上，也正是原子弹工程研究初期阶段的工作，为模拟裂变物质的中子随机扩散，提出了运用大存储量、高运算速度计算机的要求，这也成为当时推动计算机技术发展的重要动力。也就是在第二次世界大战期间，冯诺依曼和鸟拉姆两人把他们从事的与研制原子弹有关的秘密工作-对裂变物质的中子随机扩散进行直接模拟-以摩纳哥国的世界闻名赌城蒙特片罗作为秘密代号来称呼。用赌城名比喻随机模拟，风趣又贴切，很快得到广泛接受。此后，人们便把这种计算机随机模拟方法称为蒙特片罗方法。 在用蒙特片罗方法解答问题时，一般需要这样几个过程:构造或描述随机过程，对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确的描述和模拟这个随机过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分、解线性方程组、偏微分方程边值问题等，要用蒙特片罗方法求解，就必须事先构造一个人为的随机过程，它的某些参量正好是所求问题的解，即要将不具有随机性质的问题，转化为随机性质的问题，这就构成了蒙特片罗方法研究与应用上的重要问题之一。然后建立各种估计量，使其期望值是所要求解问题的解。最后根据所构造的随机模型编制计算程序并进行计算，获得计算结果。蒙特卡罗方法解决问题的特点在于能够比较逼真地描述