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1、小学数学思想梳理小学数学思想梳理什么是数学思想？什么是数学思想？n数学思想，就是对数学知识内容和所使用方法的本质认识，就是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它在后继认识运动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。这是对数学规律的理性认识。小学渗透的数学思想有：n一、化归思想一、化归思想 二、符号化思想二、符号化思想n三、类比思想三、类比思想 四、分类思想四、分类思想n五、模型思想五、模型思想 六、数形结合思想六、数形结合思想n七、对应思想七、对应思想 八、转化思想八、转化思想n九、极限思想九、极限思想 十、集合思想十、集合思想n十一、统计思想十一、统计思想 十二、假设思想十
2、二、假设思想n十三、代换思想十三、代换思想 十四、单位化思想十四、单位化思想n十五、函数思想十五、函数思想 十六、运筹思想十六、运筹思想一、化归思想一、化归思想n “化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学解决问题的基本方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题a,通过某种转化手段，归结为另一个问题b,而问题b是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，而通过对问题b的解决可得原问题a的解答。可直观表示为：一、化归思想一、化归思想n我们实施教学时，也是经常用到它，如化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。n例如小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；在教学平面图形求
3、积公式中，平行四边形、三角形和梯形的面积，把平行四边形转化为已学过的长方形，把三角形和梯形转化为平行四边形进行面积计算都是化归法。一、化归思想一、化归思想n用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆、便于运用。这就是符号思想方法。数学符号是数学抽象的结晶与基础。 二、符号化思想二、符号化思想n典型案例典型案例n 角的初步认识n 数学广角：搭配的学问n 用字母表示数n 长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、圆柱、圆锥的周长、面积和体积的计算公式推导n 比和比例n 用字母表示数n
4、解放程求未知数Xn 加法交换律、结合律、乘法。n 乘法交换律、结合律、分配律n 列方程解应用题n 解比例n 环形面积字母公式。二、符号化思想二、符号化思想三、类比思想三、类比思想n 类比，就是根据两个或两类对象在某方面相同或相似的性质，推断出它们在其他方面也相同或者相似的一种思维方法。也就是说，类比是以比较为基础，首先对两类或两个不同的事物的部分性质进行比较，找出它们的一些相同点或相似点，在此基础上由一事物所具有的性质推断出另一事物也具有这些性质的结论。 n典型案例n 二年级上册加减混合运算n 用7、8、9的乘法口诀求商n 三年级上册 万以内数的加、减法n 乘法交换律、结合律n 分数乘法n 分
5、数四则混合运算n 小数、分数四则混合运算顺序；n 圆柱的体积n 工程问题n 比的基本性质n 反比例n 比的基本性质n 化简比及求比值的方法三、类比思想三、类比思想n 即在比较的基础上，根据事物的某一本质属性进行划分成若干部分进行分析研究。它将事物区分为具有一定从属关系的不同等级、层次的系统。 四、分类思想四、分类思想n典型案例n 一年级上册：认识物体和图形。n 分类n 因数与倍数、奇数和偶数、质数和合数n 三角形的分类n 小数的分类n 四年级上册：角的分类四、分类思想四、分类思想n 数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、
6、分析综合概括等过程，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。数学模型是数学抽象的结果，是对现实原型的概括反映或模拟，是一种符号模拟。 五、模型思想五、模型思想n 我们要注重让学生通过解决生活中的具体问题，数量之间的关系，让学生在“解决具体问题抽象数学模型解释并说明模型再用模型解决问题”这样一系列的数学活动中，充分运用观察、比较、分析、综合、概括等思维方法，充分暴露思维过程，建立初步的模型思想。五、模型思想五、模型思想n典型案例典型案例n 二年级上册数学广角：握手的次数、打乒乓球的次数n 10以内数的认识n 20以内进位加法、退位减法n 四则混和运
7、算法则的总结n 四年级下册 植树问题n三年级上册 搭配、排列与组合n数学的概念、定理、公式、法则探索、研究、提炼、总结的过程，都是一个数学建模的过程。五、模型思想五、模型思想n 把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。n 数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。 六、数形结合思想六、数形结合思想n 小学数学中的数形结合表现为:n(1)以形辅数，对抽象的数学问题赋予直观图形意义，即通过线段图、树形图，或集合图来帮助学生理解数量关系，使复
8、杂问题明朗化。n(2)以数助形，对直观图形赋予数的意义，要求根据直观图形抽象为数的问题。 六、数形结合思想六、数形结合思想n典型案例典型案例n 10以内加、减法n 20以内进位加法、退位减法n 画线段图解答应用题。n 长方形、正方形、平行四边形、圆的周长、面积计算n 三角形、梯形的面积计算n 长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆环的面积和体积计算六、数形结合思想六、数形结合思想n 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，是现代数学的一个最基本的概念。如，数字的认识中，直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应的；七、对应思想七、对应思想n典型案例典型案例n 10以内数的认识 比多少n 位置
9、n “求一个数比另一个数多（少）几的数是多少的应用题”n 一位数乘法口算n 0和任何数相乘都得0的计算过程n 倍的认识n 倍数应用题n 除数是一位数的除法n 自然数与直线上的点的关系n 乘数是两位数的乘法计算n 归一、归总应用题n 除数是两位数的除法n 差（和）对应两步应用题n 相遇问题n 分数的初步认识n 小数与数轴上的点。n “稍复杂的平均数”问题n 分数应用题七、对应思想七、对应思想n 为了谋求一个问题的解决，可以对它进行变形使之归结为另一个熟知的简单问题，在通过对熟知的简单问题的解决，把解得的结果作用于原问题，从而使原问题获解，这种解决问题的思想方法，就叫做转化。一般模式为n 问题 熟
10、知的简单问题n n 解答 解答八、转化思想八、转化思想n典型案例典型案例n 20以内进位加法n 两位数加两位数（不进位加）n 求一个数是另一个数的几倍”的问题。 n 异分母分数加减法n 分数乘法、除法计算n 整数乘法、除法计算n 工程问题n 四则混合运算中的简便计算n 组合图形的面积、体积n 平行四边形、三角形的面积、梯形和圆的面积n 整数、小数、分数、百分数的相互转化n 长方体、正方体表面积的计算n 圆的面积公式的推导n 圆柱表面积、体积公式的推导n 五年级上册 密铺八、转化思想八、转化思想n 极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事
11、物转化的重要环节，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变，了解它有重要意义。如在进行“自然数”“奇数”“偶数”“倍数”这些概念的教学时，让学生体会自然数、奇数、偶数、倍数的个数有无限多个，让学生初步体会极限思想。九、极限思想九、极限思想 典型案例典型案例n “自然数”“奇数”“偶数”“倍数”“质数”、“合数”n 循环小数的认识n 直线、射线、平行线的认识n 圆的认识n 圆的面积n 圆柱的体积n 角的认识及大小比较n 倍数与公倍数九、极限思想九、极限思想n 把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问
12、题的思想方法，让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系向学生渗透集合之间的关系，这种思想就是集合思想。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。 十、集合思想十、集合思想十、集合思想十、集合思想n典型案例典型案例n 加法的意义n 减法的意义n 10以内数的认识n 长方形、正方形的关系n 因数和倍数、质数和合数n 2、3、5的倍数的特征n 公约数和公倍数、n 最大公约数和最小公倍数n 平行四边形、长方形、正方形的关系n 三角形的分类n 三年级下册数学广角 求两个小组总人数n 在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问
13、题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。统计的作用表现在两个方面。例如考试结束后，老师常常将学生的考试成绩进行统计和分析，算出平均分和及格率，这就是一种描述性的统计。统计的第二个作用是推断客观事物或现象在数量方面的某些特点。无论是描述性的统计还是推断性的统计，都必须从需要出发，采用一定的手段，收集数据，进行科学的整理和分析，这一基础内容反映到小学数学中主要表现为数据的收集、整理及数据的收集、整理及简单的统计图表简单的统计图表的教学。 十一、统计思想十一、统计思想n 有两种或两种以上要求的数量，而且数量关系比较复杂隐蔽，如果将题中的某一未知
14、条件假设成已知条件，使题目中隐蔽的数量关系明朗，复杂的条件变单一，再与其他的已知条件配合，从而较易找到解题思路，是问题顺利的得到解决的方法就是假设思想方法。 十二、假设思想十二、假设思想n典型案例典型案例n 循环小数n 加法、减法的简便运算n 分数的意义n 分数应用题n 列方程解决问题n 工程问题n “鸡兔同笼”问题n 抽屉问题十二、假设思想十二、假设思想n 代换思想方法是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。n典型案例典型案例n 三年级下册数学广角例2n 四年级数学广角中的代换问题n 列方程解方程十三、代换思想十三、代换思想n 小学数学中，不管是数还是量的计算都得益于单位
15、思想。计数、计量教学中首要问题是合理引入计数、计量单位。 十四、单位化思想十四、单位化思想n 典型案例典型案例n 二年级上册 长度单位的认识n 二年级下册 克和千克n 百以内、万以内数的认识n “面积与面积单位”n 三年级上册 测量n 三年级上册 时、分、秒n 四年级上册 大数的认识十三、单位化思想十三、单位化思想n 函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系,通过类比、联想、转化合理地构造函数,运用函数的图像和性质,使问题获得解决。函数的思想方法是最重要、最基本的数学思想方法之一。 十五、函数思想十五、函数思想n典型案例典型案例n 用字母表示数n 商不变的性
16、质n 正比例和反比例n “周长和面积”的练习课n 利用数量关系在解决实际问题，如单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系n 统计与概率n 六年级上册“位置”n 一年级上册20以内进位加法表n 一位数乘法口算n 0和任何数相乘都得0的计算过程n 倍的认识；倍数应用题n 除数是一位数的除法n 自然数与直线上的点的关系n 乘数是两位数的乘法计算n 归一、归总应用题；除数是两位数的除法n 差（和）对应两步应用题n 相遇问题n 分数的初步认识n 小数与数轴上的点。十五、函数思想十五、函数思想n 优化问题是人们经常要遇到的问题。当年，华罗庚先生提出的“优选法”已经广泛的应用于人们的生产和生活中了。现在，这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支运筹学。 十六、运筹思想十六、运筹思想n典型案例n 四年级上册 烙饼问题、沏茶问题、码头卸货、赛马问题n 五年级下册“找次品”的教学，旨在渗透优化思想，n 五年级下册 打电话n 十六、运筹思想十六、运筹思想