《高中数学必修5不等式知识点总结与题型归纳经典学案学案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修5不等式知识点总结与题型归纳经典学案学案.doc（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上3.1不等式与不等关系1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是用不等式组来表示问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x
2、元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：3.1不等式与不等关系回忆初中不等
3、式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若1、不等式的基本性质：证明以上的不等式的基本性质证明：1）(ac)(bc)ab0，acbc2），实际上，我们还有，（证明：ab，bc，ab0，bc0根据两个正数的和仍是正数，得(ab)(bc)0，即ac0，ac于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1） （2）（3） （4）2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）；（2）；（3）。证明：1）ab，acbc
4、,cd，bcbd,由、得 acbd2）3）反证法）假设，则：若这都与矛盾， 范例：例1、已知求证 。证明：以为，所以ab0,。于是 ，即,由c0 ，得3.随堂练习12、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） ；(4)当ab0时，loga logb答案：(1) （2） （3） （4） 补充例题例2、比较(a3)（a）与（a2）（a4）的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比
5、较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a22a1）（a22a）0（a3）（a）（a2）（a4）随堂练习21、 比较大小：（1）（x）（x）与（x）2 （2）4.小结学习不等式的性质，并用不等式的性质证明一些简单的不等式，研究如何比较两个实数（代数式）的大小作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论3.2一元二次不等式及其解法2.新课1）一元二次不等式的定义象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为
6、一元二次不等式2）探究一元二次不等式的解集怎样求不等式（1）的解集？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：,二次函数有两个零点：于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x5时，函数图象位于x轴上方，此时，y0,即；当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时，y0与 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况( 0，=0，0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a0分O，=0，0与0(或0) 计算判别式，分析不等式的解的情况：.0时，求
7、根，.=0时，求根，.0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得，因为，所以方程有两个实数根，由二次函数的图象，得不等式的解为：50x60因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。 补充例题（1
8、） 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系） 例：设不等式的解集为，求?（2） 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）例：设，且，求的取值范围.改：设对于一切都成立，求的范围.改：若方程有两个实根，且，求的范围.随堂练习21、已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.2、若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.改1：解集非空改2：解集为一切实数4.小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域2.新课1建立二元一次不等式模型把实际问题 数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（
9、把文字语言 符号语言）（资金总数为25 000 000元） （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） 即 （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：2二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成
10、的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y6的解集所表示的图形。如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面
11、内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。在平面直角坐标系中，不等式x-y6表示直线x-y=6右下方的区域； 直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）4二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,
12、y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点）【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域。解：先画直线（画成虚线）.。取原点（0，0），代入+4y-4,0+40-4=-40,原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。变式1、画出不等式所表示的平面区域。变式2、画出不等式所表示的平面区域。例2 用平面区域表示.不等式组的解集。分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式
13、所表示的平面区域的公共部分。解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式1、画出不等式表示的平面区域。变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。3.随堂练习3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域2.新课【应用举例】例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226
14、/班2/人高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有考虑到所投资金的限制，得到。即 另外，开设的班数不能为负，则把上面的四个不等式合在一起，得到：用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x,y分别为计划生产甲
15、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。补充例题例1、画出下列不等式表示的区域(1) ； (2) 分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由，得，又用代，不等式仍成立，区域关于轴对称。解：(1)或矛盾无解，故点在一带形区域内（含边界）。(2) 由，得；当时，有点在一条形区域内(边界)；当，由对称性得出。指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解例2、利用区域求不等式组的整数解分析：不等式组的实数解集为三条直线，所围成的三角形区域内部(不含边界)。设，求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转
16、化为的一元不等式组得出相应的的整数值。解：设，。于是看出区域内点的横坐标在内，取1，2，3，当1时，代入原不等式组有，得2，区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。3.随堂练习21（1）； （2）； （3）2画出不等式组表示的平面区域3.3.2简单的线性规划2.新课1、有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中
17、的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： .（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确
18、定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。2、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变
19、量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解1、 变换条件，加深理解（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2） 有上
20、述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？3.随堂练习1掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0。点（0，0）在直线:2x+y=0上.作一组与直线平行的直线:2x+y=t,tR. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以zmax=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区
21、域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=3+5=143.3.2简单的线性规划2 若实数，满足 求4+2的取值范围错解：由、同向相加可求得： 024 即 048 ，由得 11，将上式与同向相加得024 ，十得 04十212以上解法正确吗?为什么?辨析上述解法中，确定的048及024是对的，但用的最大(小)值及的最大(小)值来确定4十2的最大(小)值却是不合理的X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确正解：因为 4x+2y=3(x+
22、y)+(x-y)，且由已有条件有：（5），（6），将（5）（6）两式相加得 ，所以3.随堂练习11、求的最大值、最小值，使、满足条件2、设，式中变量、满足 4.小结结论一线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.结论二线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个3.4基本不等式2.新课3给出证明？证明：因为。当所以，即41）特别的，如果a0,b0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作： 2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证 (1)只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b- 0 （3）要证（3），只要证 （ -
23、 ） （4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式的几何意义探究： 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证tADtDB，那么D2AB。即D.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为a、b
24、的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.例题例1 已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，y都是正数 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.练习1.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc分析：对于此类题目，选择定理
25、：（a0，b0）灵活变形，可求得结果.解：a，b，c都是正数，ab20，bc20，ca20（ab）（bc）（ca）222abc，即（ab）（bc）（ca）abc.4.小结重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab，ab（）2.3.4基本不等式2.新课例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少
26、时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（362x）m，其中0x，其面积Sx（362x）2x（362x）当且仅当2x362x，即x9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由，可得 当且仅当x=y,即x
27、=y=9时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab，等号当且仅当ab时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab2，等号当且仅当ab时成立.例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等
28、式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得，当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.3.随堂练习1.已知x0，当x取什么值时，x2的值最小?最小值是多少?4.课时小结注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有
29、一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。3.4基本不等式2.新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m0,求证。思维切入因为m0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。证明因为 m0,，由基本不等式得当且仅当=，即m=2时，取等号。规律技巧总结 注意：m0这一前提条件和=144为定值的前提条件。3.随堂练习1思维拓展1 已知a,b,c,d都是正数，求证.思维拓展2 求证.例2 求证:.思维切入 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变
30、形后,在用基本不等式即可得证.证明 当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x0,求的最小值;(2)若x0和=36两个前提条件;(2)中x0来转化.解(1) 因为 x0 由基本不等式得,当且仅当即x=时, 取最小值12.(2)因为 x0, 由基本不等式得:,所以 .当且仅当即x=-时, 取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.随堂练习2思维拓展1 求(x5)的最小值.思维拓展2 若x0,y0,且,求xy的最小值.4.课时小结用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。5. 作业证明： 若，则为何值时有最小值，最小值为几？专心-专注-专业