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1、精选优质文档-倾情为你奉上信息论与编码课后习题答案详解2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？ 解： 四进制脉冲可以表示 4 个不同的消息，例如：0, 1, 2, 3 八进制脉冲可以表示 8 个不同的消息，例如：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 二进制脉冲可以表示 2 个不同的消息，例如：0, 1 假设每个消息的发出都是等概率的，则： 四进制脉冲的平均信息量H X( 1) = logn = log4 = 2 bit symbol/ 八进制脉冲的平均信息量H X( 2) = logn = log8 = 3 bit symbol/ 二进制脉冲的平均信息量H X(
2、0) = logn = log2 =1 bit symbol/ 所以： 四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍。 2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解： 设随机变量 X 代表女孩子学历 X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75 设随机变量 Y 代表女孩子身高 Y y1（身高160cm） y2（身高 log6不满足信源熵的极值性。 解： H Xp xp xi =
3、(0.2log0.2 + 0.19log0.19 + 0.18log0.18+ 0.17log0.17 + 0.16log0.16 + 0.17log0.17) = 2.657 bit symbol/H X() log 62 = 2.585不满足极值性的原因是。 i 2.7 证明：H(X3/X1X2) H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。证明： H X(3 / X X12 ) H X(3 / X1)= p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 ) + p x x( i1 i3 )log p x( i3 / xi1)i1i2i
4、3i1i3= p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 ) + p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / xi1)i1i2i3i1i2i3 p x( i3 / xi1)= i1i2i3 p x x x( i1 i2i3 )log p x( i3 / x xi1 i2 )p x( i3 / xi1)1log2 e i1i2i3 p x x x( i1 i2i3 ) p x( i3 / x xi1 i2 ) = p x x( i1 i2 ) (p xi3 / xi1) p x x x( i1 i2i3 )log2 e i1i2i3i1i
5、2i3= p x x( i1 i2 ) p x( i3 / xi1) 1log2 e i1i2 i3= 0H X( 3 / X X1 2) H X( 3 / X1)p x( i3 / xi1)10时等式等等当 = p x( i3 / x xi1 2i ) p x( i3 / xi1) = p x( i3 / x xi1 2i ) p x x( i1 2i ) (p xi3 / xi1) = p x( i3 / x xi1 2i ) (p x xi1 2i ) p x( i1) (p xi2 / xi1) (p xi3 / xi1) = p x x x( i1 2 3ii ) p x( i2 /
6、 xi1) (p xi3 / xi1) = p x x( i2 3i / xi1)等式等等的等等是X1, X2, X3是马氏链_ 2.8证明：H(X1X2 。 Xn) H(X1) + H(X2) + + H(Xn)。证明： H X X(12.X n ) = H X(1)+ H X(2 / X1)+ H X(3 / X X12 )+.+ H X(n / X X12.X n1 )I X(2 ;X1 ) 0 H X(2 ) H X(2 / X1 ) I X(3;X X12 ) 0 H X(3 ) H X(3 / X X12 ).I X( N;X X1 2.Xn1) 0 H X( N ) H X( N
7、 / X X1 2.Xn1) H X X( 1 2.Xn) H X( 1)+H X( 2)+H X( 3)+ +. H X( n) 2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算H(X2), H(X3/X1X2)及H； (3) 试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。 解： (1) 这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号” (2) H X(2 ) = 2H X() = 2(0.4log0.
8、4+ 0.6log0.6) =1.942 bit symbol/H X(3 / X X12 ) = H X(3 ) = p x( i )log p x( i ) = (0.4log0.4+ 0.6log0.6) = 0.971 bit symbol/ iH = lim H X(N / X X12.X N1 ) = H X(N ) = 0.971 bit symbol/N(3) H X(4 ) = 4H X() = 4(0.4log0.4+ 0.6log0.6) = 3.884 bit symbol/X 4的所有符号： 00000001001000110100010101100111100010
9、01101010111100110111101111 2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为0, 1, 2。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H。 解： (1) p e( 1 ) = p e p e( 1 ) ( 1 /e1 ) + p e( 2 ) (p e1 /e2 )p e( 2 ) = p e( 2 ) (p e2 /e2 ) + p e( 3 ) (p e2 /e3 )p e( 3 ) = p e( 3 ) (p e3 /e3 ) + p e p e( 1 ) ( 3 /e1 )p e( 1 ) = p p e( 1 ) + p p e(
10、2 )p e( 2 ) = p p e ( 2 ) + p p e( 3 )p e( 3 ) = p p e( 3 ) + p p e( 1 ) p e( 1 ) = p e( 2 ) = p e( 3 )p e( 1 ) + p e( 2 ) + p e( 3 ) =1p e( 1 ) =1/3p e( 2 ) =1/3 p e( 3 ) =1/3p x( 1 ) = p e( 1 ) (p x1 /e1 ) + p e( 2 ) (p x1 /e2 ) = p p e( 1 ) + p p e( 2 ) = (p + p)/3 =1/3p x( 2 ) = p e( 2 ) (p x2 /
11、e2 ) + p e( 3 ) (p x2 /e3 ) =p p e( 2 ) + p p e( 3 ) = (p + p)/3 =1/3p x( 3 ) = p e( 3 ) (p x3 /e3 ) + p e p x( 1 ) ( 3 /e1 ) = p p e( 3 ) + p p e( 1 ) = (p + p)/3 =1/3 X 012 P X() = 1/3 1/3 1/3(2) Hp e p e( ) (/e )log p e( j /ei ) ij = 13 p e( 1 /e1)log p e( 1 /e1) + 13 p e( 2 /e1)log p e( 2 /e1) +
12、 13 p e( 3 /e1)log p e( 3 /e1) 111 + 3 p e(/e )log p e( 1 /e3) + 3 p e( 2 /e3)log p e( 2 /e3) + 3 p e( 3 /e3)log p e( 3 /e3)pppppplog1log1log1log1log1log131+=+ 33 pp3 pp33 pp3 = (plog p + plog p bit symbol) / 2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X=黑，白。设黑色出现的概率为P(黑) = 0.3，白色出现的概率为P(白) = 0.7。 (1) 假设图上黑白消息出现前后没有
13、关联，求熵H(X)； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) = 0.2，P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X); (3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。解： (1) H X() = p x( i )log p x( i ) =(0.3log0.3+ 0.7log0.7) = 0.881 bit symbol/ i(2) p e( 1 ) = p e p e( 1 ) ( 1 /e1 )+ p e( 2 ) (p e1 /e2 )p e( 2 ) = p e(
14、 2 ) (p e2 /e2 )+ p e p e( 1 ) ( 2 /e1 )p e( 1 ) = 0.8 (p e1 )+ 0.1 (p e2 )p e( 2 ) = 0.9 (p e2 )+ 0.2 (p e1 )p e( 2 ) = 2 (p e1 )p e( 1 )+ p e( 2 ) =1 p e( 1 ) =1/3p e( 2 ) = 2/3H = p e p e( i ) ( j /ei )log p e( j /ei )ij = 10.8log0.8+ 10.2log0.2+ 2 0.1log0.1+ 2 0.9log0.93333 0.553 =bit symbol/(3)
15、 1 = H 0 H = log20.881 =11.9%H 0log2 44.7%H(X) H2(X) 表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。 2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。解： (1) p x( i ) = + = I x(
16、 i ) = log p x( i ) = log = 4.170 bit(2) p x( i ) = = I x( i ) = log p x( i ) = log = 5.170 bit(3) 两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 2425 26 31 32 33 3435 36 41 42 43 4445 46 51 52 53 5455 56 61 62 63 6465 66 共有 21 种组合：其中 11，22，33，44，55，66 的概率是 其他 15 个组合的概率是 H X() = p x( i )log p x( i ) = 6 361
17、log361 +15181 log181 = 4.337 bit symbol/ i(4) 参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下： P X(X ) = 36121813121419536561763685919 101211811112361 H X() = i p x( i )log p x( i ) = 2 1 log 1 + 2 1 log 1 + 2 1 log 1 + 2 1log1 + 2 5 log 5 + 1log 136361818121299363666 3.274 =bit symbol/(5) p x( i ) =11= I x( i ) = l
18、og p x( i ) = log =1.710 bit 2.13 某一无记忆信源的符号集为0, 1，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 (1) 求符号的平均熵； (2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100 - m）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。 解： (1) H X() = p x( i )log p x( i ) = 14log 14 + 43log 34 = 0.811 bit symbol/ i(2) p x( i ) = 14m 34100m = m 3100mI x( i ) = log p x( i
19、) = log 4100= 41.5+1.585m bit (3) H X( 100) =100H X() =1000.811= 81.1 bit symbol/ 2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下： 若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵； (2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。解： (1) 根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下： Xx1忙 闲x2P X() = 1036310340 H X() = 2 p x( i )log p
20、x( i ) = 10363 log10363 +10340 log10340 = 0.964 bit symbol/ i (2) 设忙闲为随机变量 X，天气状态为随机变量 Y，气温状态为随机变量 Z H XYZ() = p x y z( ijk )log p x y z( ijk )ijk = 12 log 12 + 8 log 8 + 27 log 27 + 16 log 16103103103103103103103103 + 8 log 8 + 15 log 15 +log 5 + 12 log 12 5103103103103103103103103 = 2.836 bit symb
21、ol/ H YZ() = p y z( jk )log p y z( jk ) jk = 20 log 20 + 23 log 23 + 32 log 32 + 28 log 28 103103103103103103103103 1.977 =bit symbol/H X YZ(/) = H XYZ() H YZ() = 2.8361.977 = 0.859 bit symbol/(3) I X YZ(;) = H X() H X YZ(/) = 0.9640.859 = 0.159 bit symbol/ 2.15 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为 Y X x1=0 x2=1 y
22、1=0 1/8 3/8 y2=1 3/8 1/8 并定义另一随机变量Z = XY（一般乘积），试计算： (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)； (2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)； (3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。 解： (1) p xp x yp x y p xp x yp x yH X() = p x( i )log p x( i ) =1 bit
23、symbol/i p yp x yp x y p yp x yp x yH Y( ) = p y( j )log p y( j ) =1 bit symbol/jZ = XY 的概率分布如下： Z z1 = 0z2 =1P Z( )= 7818 H Z( ) =k2 p z( k ) = 78 log 87 + 81log18= 0.544 bit symbol/p x( 1) = p x z( 1 1)+ p x z( 1 2) p x z( 1 2) = 0 p x z( 1 1) = p x( 1) = 0.5 p z( 1) = p x z( 1 1)+ p x z( 2 1) p z
24、( 2) = p x z( 1 2)+ p x z( 2 2)H XZ() = p x z( ik )log p x z( ik ) = 12log 12 + 83log83 + 81log81=1.406 bit symbol/ikp y( 1) = p y z( 1 1)+ p y z( 1 2) p y z( 1 2) = 0 p y z( 1 1) = p y( 1) = 0.5 p z( 1) = p y z( 1 1)+ p y z( 2 1) p z( 2) = p y z( 1 2)+ p y z( 2 2)H YZ() =k p y z( jk )log p y z( jk
25、) = 12log 12 + 83log83 + 81log18=1.406 bit symbol/ jp x y z( 1 1 2) = 0 p x y z( 1 2 2) = 0 p x y z( 2 1 2) = 0 p x y z( 1 1 1)+ p x y z( 1 1 2) = p x y( 1 1) p x y z( 1 1 1) = p x y( 1 1) =1/8 p x y z( 1 2 1)+ p x y z( 1 1 1) = p x z( 1 1)p x y z( 2 1 1)+ p x y z( 2 1 2) = p x y( 2 1)p x y z( 2 2 1
26、) = 0p x y z( 2 2 1)+ p x y z( 2 2 2) = p x y( 2 2)H XYZ() = p x y z( ijk )log2 p x y z( ijk )ijk =1log1 + 3log3 + 3log3 + 1log1=1.811 bit symbol/88888888(2) H XY() = p x y( ij )log2 p x y( ij ) =18log18 + 83log83 + 83log83 + 81log81=1.811 bit symbol/ijH X Y(/) = H XY() H Y( ) =1.811 1 = 0.811 bit s
27、ymbol/H Y X(/) = H XY() H X() =1.811 1 = 0.811 bit symbol/H X Z(/) = H XZ() H Z( ) =1.4060.544 = 0.862 bit symbol/H Z X(/) = H XZ() H X() =1.406 =10.406 bit symbol/ H Y Z(/) = H YZ() H Z( ) =1.4060.544 = 0.862 bit symbol/H Z Y(/) = H YZ() H Y( ) =1.406 =10.406 bit symbol/H X YZ(/) = H XYZ() H YZ() =
28、1.811 1.406= 0.405 bit symbol/H Y XZ( / ) = H XYZ( ) H XZ( ) =1.811 1.406 = 0.405 bit symbol/ H Z XY( / ) = H XYZ( ) H XY( ) =1.811 1.811 = 0 bit symbol/(3) I X Y(; ) = H X() H X Y(/) = 10.811= 0.189 bit symbol/I X Z(;) = H X() H X Z(/) = 10.862 = 0.138 bit symbol/I Y Z( ;) = H Y( ) H Y Z(/) = 10.86
29、2 = 0.138 bit symbol/ I X Y Z(;/) = H X Z(/) H X YZ(/) = 0.8620.405 = 0.457 bit symbol/I Y Z X( ; / ) = H Y X( / ) H Y XZ( / ) = 0.8620.405 = 0.457 bit symbol/ I X Z Y( ; / ) = H X Y( / ) H X YZ( / ) = 0.8110.405 = 0.406 bit symbol/ 2.16 有两个随机变量X和Y，其和为Z = X + Y（一般加法），若X和Y相互独立，求证：H(X) H(Z), H(Y) H(Z)
30、。 证明： QZ = X +Y p z( k / xi ) = p z( k xi ) = p y( j ) (zk xi )Y0 (zk xi )YH Z X(/) = ik p x z( ik )log p z( k / xi ) = i p x( i )k p z( k / xi )log p z( k / xi ) = p x( i ) p y( j )log2 p y( j ) = H Y( ) i jQH Z( ) H Z X( / ) H Z( ) H Y( ) 同理可得H Z( ) H X( )。 1x2.17 给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布 p x( ) = e, x
31、 Hc (X) = log 2e2 12 x2 + y2 r2 ，求H(X), H(Y), 2.18 连续随机变量X和Y的联合概率密度为：p x y( , ) =r0其他H(XYZ)和I(X;Y)。 （提示： xdx） 解： r2x2r2x212 r 2 x 2p x( ) = r2x2 p xy dy()= r2x2 r 2 dy = r 2 (r x r)Hc Xp xp x dx =2222rrxpxrr( )logdx = ( )logdxp xr 2x dx2r logp xr 2x dx2 loge logrlog e bit symbol /其中：p xr 2x dx2+=+=2
32、0202022022020222202222logsin24cos212cos21log4logsinsin4logsin4sinlogsin4sinlogsin4coslogsinsin)(4cosddrdrddrrdrrrrdrrxrrxrxdxr令 r 2x dx2 e其中：= 1 sin 2 logsin02 02 sin 2d logsinde202sincoslog2sincos1=22 cos 2 d= log 2 e0= 2 log 2 e02 1+ cos22 d = 1 log e 2 d 1 log 2 e02 cos2d2 0 11= 2 log 2 e 2log 2
33、esin 2 02 eryry2222r2y212 r 2 y2p y( ) = p xy dx( ) = r2y2 r 2 dx = r 2 (r y r) p y( ) = p x( )HC ( )YH (X)logrlog e bit/symbolHc (XY) = p xy()log p xy dxdy()R1 = R p xy()logr 2 dxdy = logr 2 p xy dxdy()R = log2r 2 bit/symbolIc (X Y; ) = Hc (X) + H Yc ( ) Hc (XY) = 2log2r log2 e logr 2 = log2 log2 e bit/symbol 2.19 每帧电视图像可以认为是由3105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）？若要恰当的描述此图像，广播员在