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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数与导数高考压轴题选一选择题（共2小题）1（2013安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1x2，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A3B4C5D62（2012福建）函数f（x）在a，b上有定义，若对任意x1，x2a，b，有则称f（x）在a，b上具有性质P设f（x）在1，3上具有性质P，现给出如下命题：f（x）在1，3上的图象是连续不断的；f（x2）在1，上具有性质P；若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x1，3；对任意x1，x2，x3，x41，3，有f（x1）+f（x
2、2）+f（x3）+f（x4）其中真命题的序号是（）ABCD二选择题（共1小题）3（2012新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=三选择题（共23小题）4（2014陕西）设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围5（2013新课标）已知函数f（x）=exln（x+m）（）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（）当m2时，证明f（x）06（2013四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）为该
3、函数图象上的点，且x1x2（）指出函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围7（2013湖南）已知函数f（x）=（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，x1+x208（2013辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围9（2013陕西）已知函数f（x）=ex，xR（） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx
4、的图象相切，求实数k的值；（） 设x0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m0）公共点的个数（） 设ab，比较与的大小，并说明理由10（2013湖北）设n是正整数，r为正有理数（）求函数f（x）=（1+x）r+1（r+1）x1（x1）的最小值；（）证明：；（）设xR，记x为不小于x的最小整数，例如令的值（参考数据：11（2012辽宁）设f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切（I）求a，b的值；（II）证明：当0x2时，f（x）12（2012福建）已知函数f（x）=axsinx（aR），且在上的最大值为，（1）求函数f
5、（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，）内的零点个数，并加以证明13（2012湖北）设函数f（x）=axn（1x）+b（x0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为x+y=1（）求a，b的值；（）求函数f（x）的最大值；（）证明：f（x）14（2012湖南）已知函数f（x）=exax，其中a0（1）若对一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0（x1，x2），使f（x0）=K恒成立15（2012四川）已知a为正实数，n为自然
6、数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距（）用a和n表示f（n）；（）求对所有n都有成立的a的最小值；（）当0a1时，比较与的大小，并说明理由16（2011四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=（）设函数F（x）=f（x）h（x），求F（x）的单调区间与极值；（）设aR，解关于x的方程log4f（x1）=log2h（ax）log2h（4x）；（）试比较f（100）h（100）与的大小17（2011陕西）设函数f（x）定义在（0，+）上，f（1）=0，导函数f（x）=，g（x）=f（x）+f（x）（）求g（x）的单调区间和最小值；（）讨论g（x）与的大
7、小关系；（）是否存在x00，使得|g（x）g（x0）|对任意x0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由18（2011四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=（）设函数F（x）=18f（x）x2h（x）2，求F（x）的单调区间与极值；（）设aR，解关于x的方程lgf（x1）=2lgh（ax）2lgh（4x）；（）设nNn，证明：f（n）h（n）h（1）+h（2）+h（n）19（2010四川）设，a0且a1），g（x）是f（x）的反函数（）设关于x的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：；（）当0a时，试比较|与4的大小，并说明理由
8、20（2010全国卷）设函数f（x）=1ex（）证明：当x1时，f（x）；（）设当x0时，f（x），求a的取值范围21（2010陕西）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR，（）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；（）设函数h（x）=f（x）g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值（a）的解析式；（）对（）中的（a）和任意的a0，b0，证明：（）（）22（2009全国卷）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（）证明：f（x2）23（2009湖北）在R上
9、定义运算：（b、cR是常数），已知f1（x）=x22c，f2（x）=x2b，f（x）=f1（x）f2（x）如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记g（x）=|f（x）|（1x1）的最大值为M，若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围（参考公式：x33bx2+4b3=（x+b）（x2b）2）24（2009湖北）已知关于x的函数f（x）=x3+bx2+cx+bc，其导函数为f（x）令g（x）=|f（x）|，记函数g（x）在区间1、1上的最大值为M（）如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值：（）若|b|1，证明对任意的
10、c，都有M2（）若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值25（2008江苏）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x1（xR）的两边求导，得：（cos2x）=（2cos2x1），由求导法则，得（sin2x）2=4cosx（sinx），化简得等式：sin2x=2cosxsinx（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn（xR，正整数n2），证明：（2）对于正整数n3，求证：（i）；（ii）；（iii）26（2008天津）已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（xR），其中a，bR（）当时，讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）仅
11、在x=0处有极值，求a的取值范围；（）若对于任意的a2，2，不等式f（x）1在1，1上恒成立，求b的取值范围四解答题（共4小题）27（2008福建）已知函数f（x）=ln（1+x）x（1）求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在区间0，n（nN*）上的最小值为bn令an=ln（1+n）bn（i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（ii）求证：28（2007福建）已知函数f（x）=exkx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k0，且对于任意xR，f（|x|）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（x），求证：F（1）F（2）F（n）
12、（nN*）29（2006四川）已知函数，f（x）的导函数是f（x）对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：（）当a0时，；（）当a4时，|f（x1）f（x2）|x1x2|30（2006辽宁）已知f0（x）=xn，其中kn（n，kN+），设F（x）=Cn0f0（x2）+Cn1f1（x2）+Cnnfn（x2），x1，1（1）写出fk（1）；（2）证明：对任意的x1，x21，1，恒有|F（x1）F（x2）|2n1（n+2）n1函数与导数高考压轴题选参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2013安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1x2，则关于x的
13、方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A3B4C5D6【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，f（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，=4a212b0解得=x1x2，而方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的1=0，此方程有两解且f（x）=x1或x2不妨取0x1x2，f（x1）0把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）x1的图象，f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）x2的图象，f（x1）=x1，f（x1）x20，可知方程f（x）=x2只有一解综上可知：
14、方程f（x）=x1或f（x）=x2只有3个实数解即关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的只有3不同实根故选：A2（2012福建）函数f（x）在a，b上有定义，若对任意x1，x2a，b，有则称f（x）在a，b上具有性质P设f（x）在1，3上具有性质P，现给出如下命题：f（x）在1，3上的图象是连续不断的；f（x2）在1，上具有性质P；若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x1，3；对任意x1，x2，x3，x41，3，有f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）其中真命题的序号是（）ABCD【解答】解：在中，反例：f（x）=在1，3上满足性质P，但f（x）在1，3上不是
15、连续函数，故不成立；在中，反例：f（x）=x在1，3上满足性质P，但f（x2）=x2在1，上不满足性质P，故不成立；在中：在1，3上，f（2）=f（），故f（x）=1，对任意的x1，x21，3，f（x）=1，故成立；在中，对任意x1，x2，x3，x41，3，有=f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4），f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4），故成立故选D二选择题（共1小题）3（2012新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2【解答】解：函数可化为f（x）=，令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为0函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2即M+m=2
16、故答案为：2三选择题（共23小题）4（2014陕西）设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围【解答】解：（）当m=e时，f（x）=lnx+，f（x）=；当x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x（e，+）时，f（x）0，f（x）在（e，+）上是增函数；x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（）函数g（x）=f（x）=（x0），令g（x）=0，得m=x3+x（x0）；设（x）=x3+x（x0），（x）=x2+1=（x1）（x
17、+1）；当x（0，1）时，（x）0，（x）在（0，1）上是增函数，当x（1，+）时，（x）0，（x）在（1，+）上是减函数；x=1是（x）的极值点，且是极大值点，x=1是（x）的最大值点，（x）的最大值为（1）=；又（0）=0，结合y=（x）的图象，如图；可知：当m时，函数g（x）无零点；当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；当m0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m时，函数g（x）无零点；当m=或m0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；（）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）
18、x=lnx+x（x0），则h（b）h（a）h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）5（2013新课标）已知函数f（x）=exln（x+m）（）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（）当m2时，证明f（x）0【解答】（）解：，x=0是f（x）的极值点，解得m=1所以函数f（x）=exln（x+1），其定义域为（1，+）设g（x）=ex（x+1）1，则g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（1，+）上为增函数，又g（0）=0，所以当x0时，g（x）0，即
19、f（x）0；当1x0时，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当m2，x（m，+）时，ln（x+m）ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）0当m=2时，函数在（2，+）上为增函数，且f（1）0，f（0）0故f（x）=0在（2，+）上有唯一实数根x0，且x0（1，0）当x（2，x0）时，f（x）0，当x（x0，+）时，f（x）0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值由f（x0）=0，得，ln（x0+2）=x0故f（x）=0综上，当m2时，f（x）06（2013四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）为该
20、函数图象上的点，且x1x2（）指出函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；（）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围【解答】解：（I）当x0时，f（x）=（x+1）2+a，f（x）在（，1）上单调递减，在1，0）上单调递增；当x0时，f（x）=lnx，在（0，+）单调递增（II）x1x20，f（x）=x2+2x+a，f（x）=2x+2，函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f（x1），f（x2），函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，（2x1+2）（2x2+2）=12x1+20，2x2+20，=1
21、，当且仅当（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值为1（III）当x1x20或0x1x2时，故不成立，x10x2当x10时，函数f（x）在点A（x1，f（x1），处的切线方程为，即当x20时，函数f（x）在点B（x2，f（x2）处的切线方程为，即函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由及x10x2可得1x10，由得=函数，y=ln（2x1+2）在区间（1，0）上单调递减，a（x1）=在（1，0）上单调递减，且x11时，ln（2x1+2），即ln（2x1+2）+，也即a（x1）+x10，a（x1）1l
22、n2a的取值范围是（1ln2，+）7（2013湖南）已知函数f（x）=（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，x1+x20【解答】解：（）易知函数的定义域为R=，当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0函数f（x）的单调递增区间为（，0），单调递减区间为（0，+）（）当x1时，由于，ex0，得到f（x）0；同理，当x1时，f（x）0当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，不妨设x1x2由（）可知：x1（，0），x2（0，1）下面证明：x（0，1），f（x）f（x），即证此不等式等价于令g（x）=，则g（x）=xex（e2x1）当x（0，1）时，g（x）0，
23、g（x）单调递减，g（x）g（0）=0即x（0，1），f（x）f（x）而x2（0，1），f（x2）f（x2）从而，f（x1）f（x2）由于x1，x2（，0），f（x）在（，0）上单调递增，x1x2，即x1+x208（2013辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【解答】（I）证明：当x0，1）时，（1+x）e2x1x（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，则h（x）=x（exex）当x0，1）时，h（x）0，h（x）在0，1）上是增函数，h（x）h（
24、0）=0，即f（x）1x当x0，1）时，ex1+x，令u（x）=ex1x，则u（x）=ex1当x0，1）时，u（x）0，u（x）在0，1）单调递增，u（x）u（0）=0，f（x）综上可知：（II）解：设G（x）=f（x）g（x）=令H（x）=，则H（x）=x2sinx，令K（x）=x2sinx，则K（x）=12cosx当x0，1）时，K（x）0，可得H（x）是0，1）上的减函数，H（x）H（0）=0，故H（x）在0，1）单调递减，H（x）H（0）=2a+1+H（x）a+3当a3时，f（x）g（x）在0，1）上恒成立下面证明当a3时，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立f（x）g（x）=x令v（
25、x）=，则v（x）=当x0，1）时，v（x）0，故v（x）在0，1）上是减函数，v（x）（a+1+2cos1，a+3当a3时，a+30存在x0（0，1），使得v（x0）0，此时，f（x0）g（x0）即f（x）g（x）在0，1）不恒成立综上实数a的取值范围是（，39（2013陕西）已知函数f（x）=ex，xR（） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（） 设x0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m0）公共点的个数（） 设ab，比较与的大小，并说明理由【解答】解：（I）函数f（x）=ex的反函数为g（x）=lnx，设直线y=kx+1与g（x）的
26、图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e2，k=e2（II）当x0，m0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=，则，则x（0，2）时，h（x）0，h（x）单调递减；x（2，+）时，h（x）0，h（x）单调递增当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m0）公共点的个数为0；当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m0）公共点的个数为1；当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m0）公共点个数为2（） =，令g（x）=x+2+（x2）ex（x0），则g（x）=1+（x1）exg（x）=xex0，g（x）在（0，+）上单调递增，且g（
27、0）=0，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递增，而g（0）=0，在（0，+）上，有g（x）g（0）=0当x0时，g（x）=x+2+（x2）ex0，且ab，即当ab时，10（2013湖北）设n是正整数，r为正有理数（）求函数f（x）=（1+x）r+1（r+1）x1（x1）的最小值；（）证明：；（）设xR，记x为不小于x的最小整数，例如令的值（参考数据：【解答】解；（）由题意得f（x）=（r+1）（1+x）r（r+1）=（r+1）（1+x）r1，令f（x）=0，解得x=0当1x0时，f（x）0，f（x）在（1，0）内是减函数；当x0时，f（x）0，f（x）在（0，+）内是增函数故函数f（x）
28、在x=0处，取得最小值为f（0）=0（）由（），当x（1，+）时，有f（x）f（0）=0，即（1+x）r+11+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x1且x0，有（1+x）r+11+（r+1）x，在中，令（这时x1且x0），得上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1nr+1+nr（r+1），即，当n1时，在中令（这时x1且x0），类似可得，且当n=1时，也成立综合，得，（）在中，令，n分别取值81，82，83，125，得，将以上各式相加，并整理得代入数据计算，可得由S的定义，得S=21111（2012辽宁）设f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线y=f（x
29、）与直线y=x在（0，0）点相切（I）求a，b的值；（II）证明：当0x2时，f（x）【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），f（0）=0，b=1曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切y|x=0=a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x0时，令k（x）=ln（x+1）x，则k（0）=0，k（x）=，k（x）0ln（x+1）x，由得，当x0时，f（x）记h（x）=（x+6）f（x）9x，则当0x2时，h（x）=f（x）+（x+6）f（x）9=h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，h（x）0当0x2时，f（x）12（2012福建）已知函数f（x
30、）=axsinx（aR），且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，）内的零点个数，并加以证明【解答】解：（I）由已知得f（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x（0，），有sinx+xcosx0，当a=0时，f（x）=，不合题意；当a0时，x（0，），f（x）0，从而f（x）在（0，）单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（0）=，不合题意；当a0时，x（0，），f（x）0，从而f（x）在（0，）单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（）=，解得a=1，综上所述，得（II）函数f（x）在（0，）内有且
31、仅有两个零点证明如下：由（I）知，从而有f（0）=0，f（）=0，又函数在上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，又由（I）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点当x，时，令g（x）=f（x）=sinx+xcosx，由g（）=10，g（）=0，且g（x）在，上的图象是连续不断的，故存在m（，），使得g（m）=0由g（x）=2cosxxsinx，知x（，）时，有g（x）0，从而g（x）在，上单调递减当x（，m），g（x）g（m）=0，即f（x）0，从而f（x）在（，m）内单调递增故当x（，m）时，f（x）f（）=0，从而（x）在（，m）内无
32、零点；当x（m，）时，有g（x）g（m）=0，即f（x）0，从而f（x）在（，m）内单调递减又f（m）0，f（）0且f（x）在m，上的图象是连续不断的，从而f（x）在m，内有且仅有一个零点综上所述，函数f（x）在（0，）内有且仅有两个零点13（2012湖北）设函数f（x）=axn（1x）+b（x0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为x+y=1（）求a，b的值；（）求函数f（x）的最大值；（）证明：f（x）【解答】解：（）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0因为f（x）=anxn1a（n+1）xn，所以f（1）=a又因为
33、切线x+y=1的斜率为1，所以a=1，即a=1，故a=1，b=0（）由（）知，f（x）=xn（1x），则有f（x）=（n+1）xn1（x），令f（x）=0，解得x=在（0，）上，导数为正，故函数f（x）是增函数；在（，+）上导数为负，故函数f（x）是减函数；故函数f（x）在（0，+）上的最大值为f（）=（）n（1）=，（）令（t）=lnt1+，则（t）=（t0）在（0，1）上，（t）0，故（t）单调减；在（1，+），（t）0，故（t）单调增；故（t）在（0，+）上的最小值为（1）=0，所以（t）0（t1）则lnt1，（t1），令t=1+，得ln（1+），即ln（1+）n+1lne所以（1+）n
34、+1e，即由（）知，f（x），故所证不等式成立14（2012湖南）已知函数f（x）=exax，其中a0（1）若对一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0（x1，x2），使f（x0）=K恒成立【解答】解：（1）f（x）=exa，令f（x）=0，解可得x=lna；当xlna，f（x）0，f（x）单调递减，当xlna，f（x）0，f（x）单调递增，故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=aalna，对一切xR，f（x）1恒成立，当且仅当aalna1，令g（t）=
35、ttlnt，则g（t）=lnt，当0t1时，g（t）0，g（t）单调递增，当t1时，g（t）0，g（t）单调递减，故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，因此当且仅当a=1时，式成立，综上所述，a的取值的集合为1（2）根据题意，k=a，令（x）=f（x）k=ex，则（x1）=（x2x1）1，（x2）=（x1x2）1，令F（t）=ett1，则F（t）=et1，当t0时，F（t）0，F（t）单调递减；当t0时，F（t）0，F（t）单调递增，则F（t）的最小值为F（0）=0，故当t0时，F（t）F（0）=0，即ett10，从而（x2x1）10，且0，则（x1）0，（x1x2）10，0，则（
36、x2）0，因为函数y=（x）在区间x1，x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0（x1，x2），使（x0）=0，即f（x0）=K成立15（2012四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距（）用a和n表示f（n）；（）求对所有n都有成立的a的最小值；（）当0a1时，比较与的大小，并说明理由【解答】解：（）抛物线与x轴正半轴相交于点A，A（）对求导得y=2x抛物线在点A处的切线方程为，f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，f（n）=an；（）由（）知f（n）=an，则成立的充要条件是an2n3+1即知，an2n
37、3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a当a=，n3时，an4n=（1+3）n1+=1+2n3+2n3+1当n=0，1，2时，a=时，对所有n都有成立a的最小值为；（）由（）知f（k）=ak，下面证明：首先证明：当0x1时，设函数g（x）=x（x2x）+1，0x1，则g（x）=x（x）当0x时，g（x）0；当时，g（x）0故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0当0x1时，g（x）0，由0a1知0ak1，因此，从而=16（2011四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=（）设函数F（x）=f（x）h（x），求F（x）的单调区间与极值；（）设aR，解关于x的方程log
38、4f（x1）=log2h（ax）log2h（4x）；（）试比较f（100）h（100）与的大小【解答】解：（）由F（x）=f（x）h（x）=x+（x0）知，F（x）=，令F（x）=0，得x=当x（0，）时，F（x）0；当x（，+）时，F（x）0故x（0，）时，F（x）是减函数；故x（，+）时，F（x）是增函数F（x）在x=处有极小值且F（）=（）原方程可化为log4（x1）+log2 h（4x）=log2h（ax），即log2（x1）+log2=log2，当1a4时，原方程有一解x=3；当4a5时，原方程有两解x=3；当a=5时，原方程有一解x=3；当a1或a5时，原方程无解 （）设数列 an
39、的前n项和为sn，且sn=f（n）g（n）从而有a1=s1=1当2k100时，ak=sksk1=，ak=（4k3）（4k1）=0即对任意的2k100，都有ak又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+a100=h（1）+h（2）+h（100）故f（100）h（100）17（2011陕西）设函数f（x）定义在（0，+）上，f（1）=0，导函数f（x）=，g（x）=f（x）+f（x）（）求g（x）的单调区间和最小值；（）讨论g（x）与的大小关系；（）是否存在x00，使得|g（x）g（x0）|对任意x0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由【解答】解：（）由题设易知f（x）=lnx，
40、g（x）=lnx+，g（x）=，令g（x）=0，得x=1，当x（0，1）时，g（x）0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x（1，+）时，g（x）0，故g（x）的单调递增区间是（1，+），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，最小值为g（1）=1；（）=lnx+x，设h（x）=g（x）=2lnxx+，则h（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x（0，1）（1，+）时，h（x）0，h（1）=0，因此，h（x）在（0，+）内单调递减，当0x1，时，h（x）h（1）=0，即g（x），当x1，时，h（x）h（1）=0，即g（x），（）满足条件的x0 不存在证明如下：证法一 假设存在x00，使|g（x）g（x0）|成立，即对任意x0，有 ，（*）但对上述x0，取 时，有 Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x00，使|g（x）g（x0）| 成立证法二 假设存在x00，使|g（x）g（x0）|成立由（）知， 的最小值为g（x）=1 又Inx，而x1 时，Inx 的值域