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1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2016年四川，文1，5分】设为虚数单位，则复数（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由题意，故选C【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（2）【2016年四川，文2，5分】设集合，为整数集，则集合中元素的个数是（ ）（A）6 （B）5 （C）4 （D）3【答案】B【解析】由题意，故其中的元素个数为5，故选B【点评】本题考查了集合的运算性
2、质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（3）【2016年四川，文3，5分】抛物线的焦点坐标是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由题意，的焦点坐标为，故选D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 （C）向上平行移动个单位长度 （D）向下平行移动个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有点向左移个单位，故选A【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加
3、右减“的原则，是解答的关键（5）【2016年四川，文5，5分】设实数，满足且，实数，满足，则是的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，且，则，而当时不能得出，且故是的充分不必要条件，故选A【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（6）【2016年四川卷，文6，5分】已知函数的极小值点，则（ ）（A） （B） （C）4 （D）2【答案】D【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数
4、极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象（7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：，)（A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年【答案】B【解析】设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故选B【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（8）【2016年四川，文8，5分】秦
5、九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2则输出v的值为（ ）（A）35 （B）20 （C）18 （D）9【答案】C【解析】初始值，程序运行过程如下表所示，跳出循环，输出，故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答（9）【2016年四川，文9，5分】已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足，则的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】如图所示，
6、建立直角坐标系，满足，点的轨迹方程为：，令，又，则，的最大值是，故选B【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（10）【2016年四川，文10，5分】设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与 垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】解法1：设，易知，则直线：，与轴的交点为，设，则交点横坐标为，与轴的交点为，则，故解法2：特殊值法，若，可算出，故，排除BC；令，算出，故选A，故选A【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，
7、考查了数学转化思想方法，属中档题第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2016年四川，文11，5分】 【答案】【解析】由三角函数诱导公式【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题（12）【2016年四川，文12，5分】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 【答案】【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为，高为1，三棱锥的体积为【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题（13）【2016年四川，文13，5分】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为、，则为整数的概率= _【
8、答案】【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用（14）【2016年四川，文14，5分】若函数是定义上的周期为2的奇函数，当时，则 _【答案】【解析】函数是定义上的周期为2的奇函数，当时，则【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键（15）【2016年四川，文15，5分】在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点的“伴
9、随点”是点，则点的“伴随点”是点；单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称；若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】对于，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误； 对于，设曲线关于轴对称，则对于曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图像关于轴对称，所以正确；对于，令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于，直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故错误所以正确的序号为【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解
10、决本题的关键考查学生的推理能力 三、解答题：本大题共6题，共75分（16）【2016年四川，文16，12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数解：（1），整理得：，解得： （2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为，又样本容量=30
11、万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为万（3）根据频率分布直方图，得；，中位数应在组内，设出未知数，令，解得；中位数是 【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法频率分布直方图中小长方形的面积，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型（17）【2016年四川，文17，12分】如图，在四棱锥中，（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；（2）证明：平面平面解：（1）解法1：为的中点，直线平面取的中点，连接，则，平面，平面，平面，是平行四边形，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面解法2：取棱的中点（平面），点即为所求的一个点理由如下：因为， 所以
12、所以四边形是平行四边形，从而又平面，平面 （说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点）（2），与相交，平面，平面，由（1）及，可得，平面，平面，平面平面【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题（18）【2016年四川，文18，12分】在中，角所对的边分别是，且（1）证明：；（2）若，求解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解为，和为三角形内角 ，则两边同时乘以，可得，由和角公式可知，原式得证（2）由题，根据余弦定理可知，为为三角形内角，则，即，由（1）可知， 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正
13、弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题（19）【2016年四川，文19，12分】已知数列的首项为1，为数列的前项和，其中，（1）若，成等差数列，求数列的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求解：（1）由已知，两式相减得到又由得到，故对所有都成立所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列从而由成等差数列，可得，所以，故所以（2）由（1）可知，所以双曲线的离心率由解得所以，【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中这一条件（20）【2016年四川，文20，13分】已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点
14、，点在椭圆上（1）球椭圆的方程；（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：解：（1）由已知，又椭圆过点，故，解得 所以椭圆的方程（2）设直线的方程为，由方程组，得 方程的判别式为，由，即，解得由得，所以点坐标为，直线方程为，由方程组，得，所以 所以【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题（21）【2016年四川，文21，14分】设函数，其中，为自然对数的底数 （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，；（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立解：（1）当时，在内单调递减；当时，由，由，有当时，单调递减；当时，单调递增（2）令，则当时，所以，从而（3）由（2），当时，当，时，故当在区间内恒成立时，必有当时，由（1），从而，所以此时在区间内不恒成立当时，令当时，=因此在区间单调递增又因为，所以当时，即恒成立综上，【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键专心-专注-专业