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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一讲第一章 有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引言(introduction) 有限元(FEM或FEA)是一种获取近似边值问题的计算方法。边值问题(boundary value problems, 场问题field problem )是一种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界)。边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表一种物理模型。场变量是满足微分方程的相关变量，边界条件代表场变
2、量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。 1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。等截面直杆在自重作用下的材料力学解答图1.1 受自重作用的等截面直杆图1.2 离散后的直杆 受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的
3、内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。(1)等截面直杆在自重作用下的有限元法解答(1) 离散化如图1.2所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。(2) 用单元节点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，(2)其中为第i结点的位移，为第i结点的坐标。第i个单元的应变为，应力为，内力为： (3)(4)(5)(3) 把外载荷集中到节点上 把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上。图1.3 集中单元重量(4) 建立结点的力平衡方程对于第i+1
4、结点，由力的平衡方程可得：(6)令，并将(5)代入得：(7)根据约束条件，。对于第n+1个结点，(1-11) 建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的接点位移。 1.2.1 有限元解与解析解的比较(comparison of finite element and exact solutions)图1.4 用有限单元代表实际的物理区域过程称为网格化分过程，所划分的网格称为有限元网格。在通常情况下，单元的几何形状是直边的，因此假如所模拟的物理模型包含曲边，用有限元网格包括整个物理模型是不可能，具体如图1.4所示，图1.4(a) 划分的网络比较粗，图1.4(
5、b) 划分的网络相对比较精细，其包含更多物理模型区域假如插入函数满足特定的数学条件(边值问题)，随着单元数目的增加，有限单元解将收敛于解析解。为了说明这个问题，我们举一个例子来说明：图1.5图1.5(a)描述锥形、实圆柱体，一端固定，另一端承受一拉力，假定在施加力的端部的位移是我们求解的问题。(1)图1.5(b)所示，假定圆柱体是均一，截面面积为圆柱体的平均面积，因此模型简化为一维的杆单元模型，其解可以通过材料力学求出。(2) 图1.5(c)所示，为两个单元的模型，单元长度为整个圆柱体长度的一半，单元面积为相应1/2圆柱体面积的平均值。(3) 图1.5(c)所示，为四个单元的模型。图1.6有限
6、元模型与解析解的比较图1.6(a)为各种有限元模型与解析解的比较，从图中我们可以知道，随着划分单元数目的增加，有限元解逐渐向解析解收敛。图1.6(b)为四单元模型与解析解的位移沿圆柱体长度变化情况，从图中我们知道,在限元模型中单元内部位移变化是线性的(这是由于插入函数是线性的)，且位移向解析解近似逼近。然而在大多数结构问题，我们关注的是由加载引起应力的变化，而应力是通过应力-应变相关关系计算出来的，应变分量由位移分量推导出来的。因此，应力和应变均是派生变量图1.7有限元模型与真实轴向应力解的比较如图1.7为有限元为2、4单元模型与真实轴向应力解，从图中可知，在每个单元内应力是常数，在单元之间应
7、力非连续的(discontinuity)，并且随着单元数的增加，单元之间的应力变化逐渐减少。这一现象是有限元法特有现象，即场变量是连续的，而派生的场变量却未必是连续的。这个例子表明随着单元数目的增加，有限元解如何收敛于真实解，但问题是对复杂问题真实解是未知，因此如何评价有限元解是否收敛于准确解？(1)数值收敛；(2)数值解的合理性；(3)是否满足物理法则如结构是否处地平衡状态；(4) 在单元边界上的派生变量的值的非连续性是否合理。 1.2.2 有限单元法与有限差分法的比较有限差分法是另一种求解由微分方程控制的问题的数值方法。详细的介绍将在第八章进行介绍。在这里，为了与有限单元法比较，仅仅介绍一
8、些基本概念。有限差分法基于函数的导数的定义： (1.1)是独立变量。使用较小，有限步长得： (1.2)假如有一微分方程： (1.3)使用差分法式(1.3)表示为： (1.4)式(1.4)改写为： (1.5)由差分原理知，一阶差分方程的解包含一积分常数，积分常数由边界值或初始值确定。在这个例子中，认为。假如选择一积分步长，为一常数(不要求必须为常数)，因此， (1.6)为整个域上的步数。式(1.6)可改写成： (1.7)式1.7为递归关系(RECURRENCE RELATION)，提供函数求解域上一些离散点的近似值。图1.8 有限差分解与解析解的比较(式1.4，)图1.8，描述了解析解和步长为有
9、限差分解的关系。有限差分解仅仅以函数估值的离散点形式表示。在限差分方法中在计算点之间变化方式是不知道的。当然，可以在积分点线性插入一些近似值，以达到对真实曲线的逼近，但投入插值函数是事先不知道的。比较有限差分法与有限元法知：有限元法在整个物理模型区域求解，基于插值函数，场变量在求解域的变化是作为求解过程一部分，而在有限差分法中，场变量仅仅在离散点处求解在有限单元法中，派生变量可以求解，而在在有限差分法中仅仅场变量本身可以求解，例如在结构分析中，两种方法均提供位移解，但在有限单元法采用数学方法可以直接对应变分量(strain components)求解，而差分法中把应变作为场变量重新求解有限差分
10、中的积分点与有限元法的节点相类似,所关注变量在该点处进行计算在有限差分中，随着积分步长的减小如有限分单元中随着网格的加密一样，数值解向准解解收敛，精细化过程代表数学模型从有限向无穷小缩减，求解过程均将微分方程转化为代数方程求解。1.3 有限元法的一般计算步骤(A GENERAL PROCEDURE FOR FINITE ELEMENT ANALYSIS)无论在结构分析、热分析、还是在流体分析过程中，其一般的计算步骤基本相同，这些步骤体现在计算软件包中包括：1.3.1前处理(preprocesssing)(1)定义求解问题的几何形状；(2)定义单元类型；(3)定义单元的材料属性； (4)定义单元
11、几何属性，如长度、面积、惯性矩等；(5)划分网格(6)定义物理约束(边界条件)；(7)定义荷载。1.3.2求解(solutions)在求解阶段，有限元程序以矩阵的形式组装控制代数方程，计算场变量的值，然后再计算派生变量如应变、应力、节点反力、热流通量等。1.3.3后处理(postprocessing)分析计算结果称为后处理，一般的有限元计算程序包括如下过程：(1)按大小排列单元应力；(2)检查平衡；(3)计算安全系数； (4)绘制结构的变形形状；(5)以动画的形式描述研究模型的变化(6)绘制应力、变形、应变云图。1.4有限元法的进展与应用有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程
12、问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。1.4.1算法与有限元软件从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法、非线性问题的解法、动力问题计算方法。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件另外
13、还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。1.4.2应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。 (1)转向机构支架的强度分析(刘道勇，东风汽车工程研究院动，用MSC/Nastran完成)图1.7 转向机构支架的强度分析(2)金属成形过程的分析(用Deform软件完成)分析金属成形过程中的各种缺陷。图1.8 型材挤压成形的分析(型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲)。图1.9 螺旋齿轮成形过程的分析图1.10 T形锻件的成形分析(
14、3)焊接残余应力分析(用Sysweld完成)图1.1 结构与焊缝布置图1.12 焊接过程的温度分布与轴向残余应力第二、三讲第二章 刚度矩阵，弹簧和杆单元Stiffness Matrices,Spring and Bar Elements2.1引言(introduction)有限元主要特性体现在单元的刚度矩阵。如对于结构有限元分析中，刚度矩阵包含几何和材料信息，这些信息表明结构抵抗外部荷载的变形能力如轴向、剪切、扭转变形。在非结构分析中，如流体和热传导，当受外部作用时，刚度矩阵代表单元抵抗变化的能力。在本章中，主要介绍两个相对简单、一维结构单元(线弹性弹簧单元和弹性压缩-张拉杆单元)的特性。它们
15、作为基本单元进行介绍，是由于它们是静力学和材料力学经常研究的对象，而不会使学生对有限单元法感到陌生，而是通过工程定理介绍有限元。同时利用这两种单元介绍一下插入函数的概念。根据分析对象的不同，有限单元法根植于不同数学物理法则。，首先针对简单的弹簧和杆系统，利用静力平衡建立有限元模型，然后针对比较复杂结构，我们采用卡式定理和最小势能定理建立有限元模型。2.2线弹簧单元(LINEAR SPRING AS A FINITE ELEMENT)线性弹簧是一种只能承受轴向加载，在量程范围内，轴向伸长和收缩正比于所受的轴向荷载。荷载与变形的比例常数为弹簧的刚度(单位： force per unit lengt
16、h)图2.1 线弹簧单元如图2.1所示，为描述的方便把沿弹簧长度的方向作为单元坐标系(局部坐标系，与这相对应的整体坐标系，在一维空间，整体坐标系与局部坐标系重合)的轴，、为作用在单元节点1和2的位移和力，因此单元发生的变形为： (2.1)因此弹簧单元承受力为： (2.2)考虑到平衡条件，(2.2)式改写为 (2.3)写成矩阵形式(matrix form) (2.4) (2.5)其中： (2.6)式2.6表明线弹簧单元的刚度矩阵是22，单元有两个节点位移(自由度)且这两个位移不是相互独立的(物体是连续的且是弹性的)； 矩阵是对称的，这一特性表明物体是线弹性且节点位移相互关系是对等，如节点1固定，
17、节2上施加一轴向力F，产生的相对位多与节点2固定，节1上施加一轴向力F产生的位移是相等；当一个单元有N个自由度时，其对应的刚度是NN。一般情况，节点是已知，需要求解的是节点位移，式(2.4)可改写成： (2.7)但是刚度矩阵是对称，是奇异矩阵，其物理是：当一个单元没有受到任何位移约束量，产生运动(从图(2.1a)知，在节点处没有任何位移约束(弹簧没有与任何物体相连) ，因此要求解节点的位移是不可能，仅仅两个节点相对位移(代表弹簧的伸长或缩短)求解出。在第六章插入函数和第八章动力学中我们知道，单元的场变量必须是一常数。根据牛顿第二定理，当一个单元没有受到约束时，不仅产生变形而且要产生加速运动)2
18、.2.1总刚度矩阵的组装(system assembly in Global coordinates)单元刚度矩阵的推导是基于力学平衡建立，因此在单元刚度矩阵形成总刚度矩阵也可以基于力学平衡建立。然而我们并不通过画受力图，来建立系统的平衡方程，可以首先假定仅有单独的单元存在，然后再根据单元节点力的分担情况，将单元节点力加到整个系统的节点方程中。我们把这一过程称这为组装(单刚合成总刚的过程)，为了说明这一过程，我们用一简单的例子来说明。图2.2 由两个弹簧组成的系统图2.3 各单元和节点的受力图如图2.2，弹簧1和2刚度值为和，节点号为1、2、3，弹簧1和2共用一个节点2，在整体坐标系下单元节点
19、1、2、3的位移为、，节点力为、。假定两个单元处于平衡状态，根据受力图(2.3a)和(2.3b)，利用式2.4可建立单元的平衡方程： (2.8)根据位移相容条件 (2.9)将式(2.9)代入式(2.8)，可得 (2.10)将式(2.10)扩展成33矩阵形式 (2.11) (2.12)将式(2.11)和式(2.12)相加 (2.13)由受力图2.3(c)、2.3(d)、2.3(e)，可得 (2.14)将(2.14)代入(2.13)，可得 (2.15) (2.16)例1 如图2.2，节点1固定，其位移，,，求和将具体的数值代入(2.15)式，得例2 由三个弹簧组成的系统，每个弹簧下面挂一个重为W的
20、物体，将弹簧作为有限单元，求各个重物的位移。 图2.4将整个系统作为一个有限单元问题，按图2.4(a)，对各单元和节点标上编号，由顶端固定，因此，由2.4式知每个单元的刚度矩阵：考虑单元位移和整体位移的关系：写出各个单元的平衡方程得：将以上公式相加得，因此整个有限单元系统求解过程，可归纳如下：(1) 形成单元刚度矩阵；(2) 写出单元节点位移与整体位移关系；(3) 以矩阵的形式组装整体平衡方程；(4) 根据约束条件，缩减矩阵方程；(5) 求解未知的位移；(6) 反代入整体平衡方程求解出反力。例3 如图2.5所示，由三个弹簧组成的平衡系统，单元号和节点号已由图标出，其中节点1固定，节点3给定一初
21、始位移，求各个节点处的位移和在节点3的反力。图2.5 三弹簧组成的平衡系统由边界条件知：2.3杆单元(ELASTIC BAR,SPAR/LINK/TRUSS ELEMENT)线弹簧单元在有限单元法中使用是十分有限，前面我介绍线弹簧单元仅仅是为了引作刚度矩阵的概念。当然，弹簧在大多数情况在机械工程中使用，同时在复杂系统中，使作用线弹簧单元仅仅代表支撑结构弹性本性。使用最多是杆单元，其只能承受轴向力。线性杆单元的建立基于如下假定：(1) 杆在几何形态上是直的；(2) 材料遵循胡克定律；(3) 力只能在杆的端部施加；(4) 杆只能承受轴向力。最后的假定是非常严格的，但不符合实际，当杆通过铰或球座与其
22、它结构相连，这种情况才能满足。1和4的假定，意味着单元是一维的，沿着杆上的任何点的位移可能通过单一变量来表述。图2.6杆单元如图2.6所示，一弹性杆，长为，一单轴坐标系(单元坐标系)沿着杆长方向，其原点在左端。为了表示沿杆长上的任何节点处的轴向位移，我们定义在节点1和2上的位移：和。引入插入函数，沿杆长上的任何节点处的轴向位移可以表述为： (2.17)必须要强调，虽然式(2.17)是等号，但两者这间只是近似相等。考虑到边界条件： (2.18)因此可以得到如下关系 (2.19) (2.20)插入函数只要能满足边界条件，任何表达式都允许的，其中最为简单形式是： (2.21) (2.22)由(2.1
23、9)和(2.20)得 (2.23) (2.24)因此，位移函数方程可表示为 (2.25)(2.25式)表示成矩阵的形式 (2.26)根据材料力学原理，对于均一截面杆，当一端部受到一轴向力时，其产生的位移为 (2.27)因此，弹性杆的等效刚度常数可表示为 (2.28)考虑到应变与位移的关系 (2.29)将(2.25)代入上式可得 (2.30)这表明杆单元是常应变单元，同时根据材料力学的原理：当一单元，其截面为常数，当在端点受到一轴向力是，其应变为常数。根据胡克定律，其轴向应力为： (2.31)因此，轴向力 (2.32)因此，可以看出(2.32)将单元的节点力和节点位移联系起来了，且假定式(2.3
24、2)为一正值，节点力为正值，则为负值，可得到如下关系： (2.33) (2.34)式(2.33) 和(2.34)写成矩阵形式 (2.35)因此杆单元的刚度矩阵为 (2.36)例1.4如图2.7所示，一锥形杆，上端固定，下端受到一拉力，面积，请计算杆端的位移，(a)用一个单元，单元的面积等于杆1/2部位的面积；(b)用两个单元，面积分别等于1/2、3/4部位的面积；(c)采用积分法计算精确解。图2.7(a) 单一单元横截面，单元的刚度常数，因此单元的平衡方程(b) 两个单元对单元1：对单元2：由于在节点2上没有外力施加，且由边界条件，其平衡方程为：(c) 精解解由图2.7d(任意处与之间的受力图
25、)，由平衡条件知因此轴向应变因此，在处的位移为：2.4应变能，卡式第一定理(STAIN ENERGY,CASTIGLIANNOS FIRST THEOREM)当外力施加到物体上时，机械能将会转变为动能与势能。当一弹性体受到约束不能运动时，则所做的功以应变能的形式存蓄，这里所指和功。从基本的静力学原理知道，力沿着路径从位置1到位置2做的功为 (2.37)其中 (2.38)是沿着运动路径方向的微分向量。在笛卡尔坐标系下，所做功可表示为：图2.8 力与偏移的关系（对于线弹簧） (2.39)其中、为在在笛卡尔坐标系下的力的分量对于线弹性变形，挠度正比与所施加的力，具体如图2.8所示。力与挠度的斜率为弹
26、性常数。则弹簧任意伸长，所做的功为： (2.40)从中我们可以看出，力和弹性应变能是位移的平方。利用(2.28)式，对于轴向加载的弹性应变能，其式为： (2.41)写成一般的形式，其式可表示为： (2.42)其中：为变形体的体积，为单元体积应变能(应变能密度)。式(2.42)为最后的应力和应变值。表示从开始施加至最后，应力与应变为线性关系。应变能密度写成一般的形式为： (2.43)下面我们卡式定理利用功和应变能的关系获取杆单元的控制方程。卡式定理：对于一弹性平衡体系，应变能对某一点挠度的部分微分等于在该点挠度方程所施加的力。 (2.44)其中，为由于力施加在该点力作用线方程所产生的挠度。假如除
27、了点，力的作用点均已固定，在点由于一微小力的增量产生的一微小挠度增量，而导致应变能的改变量 (2.45)在微小量变化过程中，原来的力认为常数。式(2.45)涉及到一微小量的乘积，因此可能忽略。 (2.46)当时，上式可写成 (2.47)卡式第一定理对于有限元公式推导是一强有力的工具。现以杆单元来说明，联合(2.30)、(2.31、(2.43) (2.48) (2.49) (2.50)例2.5，一实体圆轴，半径为，直径为，一端固定，另一端受到一扭矩，如图2.9所示，根据在扭转角，推导出应变能表达式，并且利用卡式第一定量给出施加扭矩的表达式。根据材料力学的原理，横截面上剪切应力为为离单元径向轴的距
28、离，截面的极惯性距。对弹性阶段为剪切模量，应变能可表示为，极惯性距的定义根据材料力学原理，在单元端点处的扭转角可表示为因此应变能可写成：利用卡式定理例2.6如图2.10 (a)利用卡式定理计算系统的刚度矩阵，在节点2和3竖向单元是刚性的(b)求节点1处位移和反力，参数如下图2.10 四单元弹簧系统利用节点的位移和单元的刚度，系统的应变能可表示为利用卡式定理写成矩阵的形式将具体的值代入可得2.4最小势能(MINIMUM POTENTIAL ENERGY)卡式第一定理仅仅是最小势能的普遍原理一种直观表达形式。现在我们仅指出这个原理，而不加以证明仅仅是希望读者将结果与卡式第一定理的结果进行比较最小势
29、能原理的普遍原理:当受到的外力，在所有几何可能的位移中，满足平衡状态的位移使总势能最小。总势能包括存蓄在物体中的应变能和由于外力产生的势能，作为使用的习惯，我们用总势能，它包括两部分，应变能和与外力相关的，具体表示如下 (2.51)在本课程中，我们平衡系统仅仅针对守恒力。守恒力指其所做的功与运动的路径无关，并且可恢复的。通常我们所说的非守恒力指的是摩擦力，其方程与运动的方程相反，所做的功是负，导致能量的损失，损失的能量在物理上称这为热。另一方面，由守恒力所做的机械能是可逆的，因此假如力释放这后，其变形可恢复，由守恒力所做的机械能认为是势能的损失，即： (2.52)总势能可表示为 (2.53)总
30、势能最小是一变分问题。在这里我们不采用变分法进行求解，而是采用微积分学中多个变量函数最小原理进行求解。假如总势能是个位移的函数形式，具体形式如下： (2.54)要使势能最小，其必须满足下式： (2.55)例2.7 使用最小势能原理计算例2.6我们重新检查一下式(2.7)，可以推导一种更一般形式，假定位移和刚度如下： (2.56)施行如下矩阵的三重积运算，可得： (2.57)假如我们将式(2.57)展开，将会发现与例2.7完全一致。式(2.57)为线任何弹性系统的应变能的一般表达式。专心-专注-专业第四、五讲第三章 桁架结构：直接刚度法Truss structures:the direct st
31、iffness method3.1引言(introduction)在第二章我们计论了线单元，对节点、节点位移、单元刚度矩阵等概念有了一定的了解。这一章我们将计论桁架结构，该结构要求单元在几何形状是直的，并且只能承受轴向力。满足这些的要求的单元，我们称这为杆单元，其通过铰与其它相边，因此单元可以绕铰任意转动。虽然杆单元是一维的，但在分析二维和三维问题桁架结构非常有效。图3.1 二维桁架单元考虑到整个结构体系，为了方便表述结构的位移，本章以整体坐标系作为参考坐标系。如图3.1(a)所示悬臂桁架,我们选择整体坐标的轴平行于桁架结构的几何主轴，假如我们检查圆铰位置，会发现5个单元节点实际上与其它整体坐
32、标的节点相联，有些单元的轴并不与整体坐标系的平行。考虑到实际连接形态和单元几何方程的变化，我们作如下规定：单元节点位移必须与在整体坐标系下相连节点位移一致；为了在整体连续的参照系下表述结构特性，每个单元的物理特性如刚度矩阵和单元力必须转换到代表整体坐标系下；为了求解单元的轴力，在整体坐标系(位移)的解必须变换到单元坐标系下。一般来说，设计者更多地是关注的是每个杆单元应力，并将它与材料特性相比，如屈服强度，以便对设计结构作出改变。同时预测结构的加载大小比结构的位移显得更容易由于联结的几何形态决定了单元位移与人与整体位移的关系以及单元刚度对整体刚度的贡献。在直接刚度法中，将单元刚度矩阵从单元坐标系
33、下变换到整体坐标系下，同时根据单元的连接状况(满足在铰和节点处位移的相容性)，将单元刚度矩阵的各项加入到整体刚度的对应位置。3.2节点平衡方程(NODAL EQUILIBRIUMS)为了描述单元属性到整体坐标下的转换，我们考虑把杆单元作为桁架的结构单元，通过一个简单的例子来加以说明。具体如图3.2(代表节点在整体坐标系下方向的位移，代表节点在整体坐标系下方向的位移，节点号，单元力的编号也与此相同)。图3.2 两单元桁架结构图3.3 单元和节点的受力图为了建立平衡平衡方程，单元和节点的受力图如图3.3所示，对于节点1： (3.1)对于节点2： (3.2)对于节点3： (3.3)式(3.1) (3
34、.1)代表静力平衡方程。考虑到和为已知，因此6个方程包含8个未知数。同时，该结构是静定的，因此可以引入单元平衡方程(图3.3d3.3e)，求解出所有的变量。因此，通过公式变换，大多数问题都可以求解，但是节点位移是未知。同时如果变换成功，未知参数与节点平衡方程的个数是一致的，另外静不定问题会自动相容。根据材料力学的观点，静不定问题的解要求满足一些位移关系，因此有限元公式应该包含这类情形。图3.4节点位移图示同时为描述位移变换，假定任意位置的一杆单元(如图3.4(a)，其结点为，当受到外力作用时，节点发生2D位移(如图3.4(a)，同时与其相连单元节点也发生相同的2D位移变化，这意味着单元不仅发生
35、轴向位移，而且也发生转动。为了说明这一问题，我们用和表示，其方程与单元轴方程垂直。由于基于光滑铰支座连接的假定，因此垂直位移与单元刚度无关。然而垂直位移必需存在，以致单元保持与铰相连，从而单元位移与铰位移相容。虽然单元经历转动，但为了计算的要求，我们认为方向角与未变形时保持一致。这是基小变形的假定。为了建立在单元坐标系下的节点位移与整体坐标系的节点位移的关系，规定：代表节点1在整体坐标系下向的位移；代表节点2在整体坐标系下向的位移；代表节点3在整体坐标系下向的位移；代表节点4在整体坐标系下向的位移；考虑到节点位移在两个坐标系中的一致性，因此可得到如下关系 (3.4)因此，轴向位移为 (3.5)
36、作用在单元上的轴向应力 (3.6)利用(3.6)，同时考虑，可得图3.3中，单元1和2的轴向力为， (3.7) (3.8)将式(3.7)和(3.8)代入(3.1)(3.3)，可得 (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14)写成矩阵的形式 (3.15)简写成 (3.16)其中，为刚度矩阵，节点位移向量，节点力的向量。3.3单元变换(ELEMENT TRANSFORMATION)在前一节直接利用平衡方程，建立在整体坐标系下的有限单元平衡方程是非常麻烦的。通过建立在整体坐标下的节点平衡方程，同时引入位移公式进行求解，这一过程其隐含着将单元刚度矩阵转换到整体坐标系
37、下。本节主要介绍如何将单元坐标系下单元刚度矩阵转换到整体坐标系下。我们知道，杆单元在单元坐标系平衡方程可表示为： (3.17)现在我们的目标是将这些平衡方程转换到整体坐标系下，其形式如下 (3.18)式中：代表着在整体坐标系下的单元刚度矩阵；代表整体坐标系下单元节点力；、代表平行整体坐标轴方向的位移，、代表平行整体坐标轴方向的位移。由公式(3.14)，可 (3.19) (3.20)改写成矩阵形式： (3.21)其中： (3.22)将(3.21)代入(3.17)，可得： (3.23) 或 (3.24)我们通过将位移作为未知变量，从单元位移模式变式到整体位移模式，然而方程仍以单元坐标形式存在。(3
38、.23)第一项代表节点1在单元坐标系下的平衡方程。假如我们乘以，我们将获得节点在整体坐标系方向的位移。同理，乘以，我们将获得节点在整体坐标系方向的位移。对节点2进行同样的操作。如果在(3.24)两边同乘以，我们将得到下式： (3.25)很明显式(3.25)右边的项代表着单元力在整体坐标系下的分量 (3.26)式(3.26)代表在整体坐标系下节1和节2的平衡方程。比较3.26与3.18可知，在整体坐标系下的刚度矩阵可表示为 (3.27)引入标记，同时进行矩阵的乘法运算，可得： (3.28)通过观察表明，经过转换以后，单元刚主矩阵的对称性和奇异性没有改变。3.3.1方向余弦(direction c
39、osine)实际上，有限元模型首先在给定坐标位置定义节点，然后以定义节点为基础定义单元建立起来的。假定和在整体坐标和处，因此单元的长度可表示为 (3.29)从节点到节点单位向量可表示为 (3.30)其中，和代表着在整体坐标下和单位失量。因此建立单元变换所需的三角函数值可定义为： (3.31) (3.32)3.4整体刚度矩阵的直接组装(DIRECT ASSEMBLY OF GLOBAL STIFFNESS MATRIX)前面我们介绍了如何将单元坐标系下刚度矩阵变换到整体坐标系下。现在我们介绍一种直接将单刚组合成总刚，建立系统平衡方程的方法，并以图(3.2)所示的简单的两个单元系能文系统来说明。假如单元的几何和材料属性是已知，因此在整体坐标系下的单元刚度矩阵由(3.28)可获得，对于节点1： (3.33)对于节点2 (3.34)刚度矩阵式(3.33)和(3.34)包含32项，它们组合在一起形成66矩阵，其共36项。为了将单个刚度矩阵组合成总刚矩阵，必须首先了解单个单元的位移与总体位移之间对应关系，然后分配相联系刚度矩阵项到整体刚度中相