高中数学概念汇总.docx-淘文阁

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学概念汇总一集合的概念：1. 集合的表示法：（1）列举法：如 1,2,3,4,5; (2)描述法：如x|x2;2. 集合间的关系：（1）子集：A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记为AB;任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集。（2）真子集：如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集，记为。空集是任何一个非空集合的真子集。（3）两个集合相等：对于两个集合A与B,如果AB,同时，那么就说这两个集合相等，记作A=B.3. 集合的运算：（1）交集：x|且；（2）并集：=x|或

2、；（3）补集：若全集为U,则集合A的补集为=x|但。4.当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么。集合x|f(x)=0x|f(x)0x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)图像上的点集5. 集合中元素的三大属性; (1)元素的确定性；（2）元素的无序性；（3）元素的互异性。对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足元素的互异性。6. 常用数集的记号:自然数集N;整数集Z;有理数集Q;实数集R;复数集C.空集。二命题1. 四种命题形式

3、：如果一命题条件为A，结论为B,那么该命题的原命题形式是：若A成立，则B成立（即AB);它的逆命题形式是：若B成立，则A成立（即BA);它的否命题形式是：若A不成立，则B不成立（即）；它的逆否命题形式是：若B不成立，则A不成立（即）。等价命题：若甲，乙两命题满足：甲乙，乙甲，则称甲乙两命题是等价命题，记为甲乙；原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题。2. 充分条件与必要条件：设条件A和结论B,如果A,那么A是B的充分条件，或说B是A的必要条件；如果，那么A是B的必要条件，或说B是A的充分条件；如果，那么A是B的充分必要条件，简称充要条件。设A=a|a具有性质，B=b|b具有性质

4、，则与等价。3. 关于四个命题的真值表原命题：若p,则q逆命题：若q,则p否命题：若，则逆否命题：若，则真真真真真假假真假真真假假假假假如果两个命题互为逆否命题，那么它们具有相同的真假值。如果两个命题为互逆命题或者是互否命题，那么它们的真假没有必然联系。三不等式1. 实数比较大小的基本方法：即等价关系：2. 掌握不等式的8个基本性质（1）若ab,bc,那么ac; (2)若ab,那么a+cb+c; (3)若ab.c0.那么acbc;若ab,c0,那么acb.cd,那么a+cb+d; (5)若ab,cb-d;(6) 若ab0,那么；若0ab,那么；（7）若ab0,cd0,那么acbd;(8)

5、若ab0,那么，且（n,n1)3. 含有绝对值不等式的性质4. 基本不等式：（1）当a0,b0时，当且仅当a=b时等号成立；（2）因为a+b,所以，若积ab为定值，则a+b有最小值；（3）因为，所以，若和a+b为定值，则ab有最大值（4）当a0,b0时，有（两个正数的平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数之间的大小关系）。5. 解不等式（1）一元一次不等式：如果a0,那么axb的解为；如果ab的解为；如果a=0,b0时，不等式无解；b 0时，有.或(4) 形如（或0同解；形如的分式不等式与一元二次不等式(ax+b)(cx+d)0同解。解分式不等式一般不能去分母。四函数1.

6、函数的定义域：当函数是以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合。当函数是以实际问题的形式给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要考虑实际意义。2. 函数值域的主要求法：（1）利用函数的单调性；（2）利用配方法；（3）利用函数的有界性；（4）利用判别式法：形如（a,p至少有一个不为零）的函数，求其值域，可利用判别式法；（5）利用换元法；（6）利用基本不等式；（7）几何法：利用数形结合的思想方法，通过函数的曲线图形间的关系，利用平面几何的知识求值域。3. 求函数解析式的四种常用方法：（1）拼凑法：由已知条件，可将F(x)改写成g(x)的表达式，

7、然后用x代替g(x),便可得到f(x)的表达式；（2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数，二次函数）可用待定系数法；（3）换元法：已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意“新元”的取值范围。（4）解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).4. 函数的奇偶性：对于函数定义域内的任意x，恒有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),那么分别称f(x)是奇函数或偶函数。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。5. 函数的单调性：对于区间I上的函数f(x),若任取，且，恒有，则称

8、f(x)在区间I上是增函数；恒有，则称f(x)在区间I上是减函数，这个区间I叫做f(x)的单调区间。判断函数单调性的方法：（1）定义法：利用定义法的关键是对的整理，化简，变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解，配方法，分子（分母）有理化等。（2）图像观察法；（3）利用已知函数的单调性；（4）利用复合函数单调性法则：（里外函数单调性一致增；里外函数单调性相反减）6. 函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f（x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。（1）方程的根与函数零点的关系：方程f(x)=0有实数根，可得出y=f(x)的图像与x轴有交点，进而得到：函数y=f(x)有零点

9、。（2）零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)10a1 1 a1 0a0,a1,b1)(3) 形如：（a0且a1)的函数叫做对数函数。与是互为反函数(4) 对数函数的图像和性质： y y a1 0a0.且g(x)0.形如的方程可利用换元法，设y=,先解f(y)=0,再进一步求解；对数式的底数中含有未知数的方程，可根据具体情况，利用对数定义或换底公式等，把原方程化成简单的形式再求解。五三角比1. 弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，这种用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫弧度制。（1）弧长L和半径r,及圆心角的关系是,

10、一般规定，正角的弧度为正数，负角的弧度是负数，零角的弧度是零。（2）弧度与角度不能混合书写。（3）弧度，弧度，弧度0.01745弧度，1弧度=57.30=。（4）弧长公式与扇形面积公式：（其中为弧度数）。2. 任意角：角的定义：一条射线绕着它的端点，由初始位置旋转到最终位置就形成了一个角。角可分正角（逆时针旋转），负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）。3. 与终边相同的角的集合可表示为：|=k360+,k或|=2k+，。4. 任意角的三角比：定义：设是一个任意角，其终边上任意一点P的坐标是（x,y),它与原点的距离是r(r0),如图 y那么 P o x注：三角比的值与p的位置无关。5.三

11、角比在各象限内的符号，如图： Y y y O x o x o x Sin与csc cos与sec tan与cot6. 同角比间的关系：（1）倒数关系 sincsc=1, cossec=1, tancot=1. (2) 商数关系。（3）平方关系。以上关系可用下图表示：Sin cos tan1 cot Sec csc 7. 诱导公式：诱导公式可用十个字表示为：奇变偶不变，符号看象限。具体有以下公式：公式一：sin(+k2）=sin, cos(+k2）=cos, tan(+k2）=tan.公式二：sin(+）=-sin, cos(+）=-cos. Tan(+）=tan.公式三：sin(-)=

12、-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan.公式四：sin(-）=sin, cos(-）=-cos, tan(-）=-tan.公式五：公式六：。8. 两角和与差的三角比： Sin()=sincoscossin, cos()=coscossinsin,.9. 倍角公式： sin2=2sincos. Cos2= .10. 半角公式：， cos,.11. 积化和差公式：，。12. 和差化积公式：，，。13. 三角形的面积公式：，（R为外接圆半径，r为内切圆半径）。14. 正弦定理：（R为外接圆半径）。15. 余弦定理：或或或。六三角函数1.三角函数的图像和性质：函数Y=si

13、nxY=cosxY=tanx定义域RRx|x值域-1.1-1,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T=2T=2T=最值当时，当时，当x=2k+时，；当x=2k时，没有最小也没有最大值单调性在上单调增；在上单调减，（）在2k-，2k上单调增；在2k，2k+上单调减（在上单调增（图像Y 1 x yy2. 函数y=Asin()()型的图像与性质：（1） A称为振幅，它决定着函数的最值；称为角频率，它决定着函数的周期，即，周期T的倒数f=又称为频率；称为相位移，它决定函数y=Asin的图像向左还是向右平移个单位。（2）由函数y=sinx的图像变换到y=Asin()(A0,)的图像的步骤：Y=sinx的

15、成等比数列；（5）等比中项：a,G,b成等比数列，则；（6）前n项和与通项的关系：3. 数列的极限与运算：（1）三个基本极限：；（2）无穷等比数列各项和的公式：；（3）极限的四则运算：；分母不为零），以上运算仅在有限项的运算中可用。八平面向量：1. 向量及有关概念：（1) 向量：既有大小又有方向的量；（2) 向量的模：向量的大小用向量的模来表示，如，；（3) 单位向量：模为1的向量叫单位向量，对任意向量，与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量，记为，；（4) 零向量：模为零的向量叫做零向量，记作，的方向不定，注意与0的区别；（5) 相等向量：模相等且方向相同的两个向量是相等向量；负

16、向量：模相等但方向相反的两个向量互为负向量；平行向量：两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，这与几何中两条直线平行是有区别的。（6) 平面向量分解定理：平面上任意一个向量可以表示为同一平面上两个不平行的向量的线性组合，而，叫做线性组合的系数，2. 向量的坐标运算：（1）设，则，（2）设，则，；（3）定比分点公式：（为实数，且），P(x,y),则有。（4）向量的数量积：（5）向量；向量。（6）向量的夹角公式：；为锐角的充要条件是且与不共线。为钝角的充要条件是不共线；3.向量加，减法的几何意义：或 4. 数量积的运算律：（1）交换律：；（2）分配律：；（3）对。5. 常用公

17、式：（1）；（2）；（3）；（4）。（5）中重心为G,则；D为AB边中点，则；（6）当A ,P,B三点共线，O不在这条直线上时有：其中。九矩阵与行列式：1. 单位矩阵：形如：；2.方程组的系数矩阵为，增广矩阵为。3行列式：， =，其中 4. 二元线性方程组的系数行列式为D=,.(1)当D0时，方程组有唯一解：；（2）当D=0,但中至少有一个不为零时，方程组无解；（3）当时，方程组与无穷多解。十直线方程：1. 倾斜角和斜率：（1）倾斜角：设直线l向上的方向与x轴正方向所夹的最小正角为直线的倾斜角。（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定；00,圆心坐标为（a,b),半径为r.当圆心在

18、原点时，标准方程为：；2. 圆的一般方程：，其中，圆心坐标为，半径为；当时，方程表示一个点其坐标为；当时，方程所对应的曲线不存在。3. 二元二次方程，仅当A=C0,B=0,且时才表示圆。4. 圆心的三个重要的几何性质为：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。5. 直线与圆的位置关系：直线方程直线与圆的三种位置关系：联立曲线方程相交相切相离得到一元二次方程从而有6. 圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。两圆外离时，没有公共点，有四条公切线；两圆外切时，有唯一公共点，有三条公切线；两圆相交时，有两个公共点，

19、有两条公切线；两圆内切时，有唯一公共点，有一条公切线；两圆内含时，没有公共点，没有公切线。7. 判断两圆的位置关系：把圆的方程转化为标准方程，求出圆心和半径；求出两圆圆心距；判断：根据d与的和、差的大小作出判断如下：当外离；外切；相交；内切；内含。8. 以点为直径的两个端点的圆的方程是：；9. 过圆上一点的切线方程是：；10. 过圆上一点的切线的方程是：十二椭圆1. 椭圆的定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长2a(2a|)的动点的轨迹叫椭圆。即：。若2a=,则其轨迹为线段；若2a,则其轨迹不存在。2. 椭圆的标准方程，图像和性质如下表：椭圆标准方程图像性质范围-axa,-byb-bxb,

20、-aya对称性关于x轴，y轴对称顶点（-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)焦点两轴长轴长为2a,短轴长为2b焦距3. 焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形，设焦点三角形中，则。十三双曲线1. 双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定长2a(2a|时，其轨迹不存在。还要注意定义中“绝对值”的条件不能少，因为仅满足的轨迹只是双曲线的一支。2. 双曲线的图像，性质及标准方程如下表：标准方程图形性质范围在x=a和x=-a两条直线的外側，向左，右两旁无限伸展在y=a和y=-a两条直线的外側，向上、向下两方无限伸展对

21、称性关于x轴，y轴和原点对称顶点（-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)焦点两轴实轴长为2a,虚轴长为2b焦距渐近线方程3. 注意：已知双曲线的渐近线方程为bxay=0,求双曲线方程，可设双曲线方程为，根据其他条件确定的值。十四抛物线1. 抛物线的定义：平面内到一个定点的距离与一条定直线的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线，该定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。2. 抛物线的图像，性质及标准方程如下表：标准方程图形性质开口方向向右向左向上向下范围x0,yxy0,xy0,对称性关于x轴对称关于y轴对称顶点原点O(0,0)焦点准线3. 直线与圆锥曲线的三种位置关系：联立直线与曲线得

22、到一元二次方程从而有时，相交；时相切；时，相离。4. 弦长公式：。十五参数方程和极坐标方程1. 参数方程与普通方程的互化（消参、确定x、y的范围）。2. 几种常见曲线的参数方程：（1）经过点，倾斜角为的直线的参数方程是：t为参数）（2）以C(a,b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是是参数）（3）椭圆的参数方程是（是参数）。（4）双曲线的参数方程是（是参数）（5）抛物线的参数方程是（t是参数）3. 将直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并且取相同的长度单位建立极坐标系，平面内任一点的直角坐标（x,y)和极坐标（）的关系是，十六复数1. 复数的概念：（1）设a,b都是实数

23、，形如a+bi的数叫做复数，其中a,b分别叫做复数的实部和虚部，i叫做虚数单位。（2）当b0,时，叫做虚数；当a=0,b0时，叫做纯虚数；（3）复数相等的充要条件：实部和虚部都相等；（4）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数；（5）2. 复数的几何意义：（1）复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。（2）实轴，虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数。（3）复数的几何意义：复数z=a+bi复平面内的点z(a,b)平面向量。（4）复数的模。（5）牢记虚数单位i的性质：3. 复数的运算：（1）复

24、数的加法法则：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.（2）复数加法的几何意义：若复数对应的向量不共线，则复数是以为邻边的平行四边形对角线所对应的复数。（3）复数减法法则：（a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.（4）复数减法的几何意义：复数是连接向量终点，并指向被减向量所对应的复数。（5）复数的乘法法则：（a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.（6）复数除法法则：（a+ni)(c+di)=（7）两个互为共轭复数的乘积。（8）共轭复数的运算性质：；（9）（当且仅当复数所对应的向量平行时取“=”号）。4. 实系数一元二次方程：实系数

25、一元二次方程在复数集中恒有解，当时，方程：（a,b,c为实数，a0)在复数集中有一对互相共轭的虚数根，即：十七空间直线与平面：1. 平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有经过这个点的公共直线。公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且仅有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且仅有一个平面。推论2：过两条相交直线，有且仅有一个平面。推论3：过两条平行直线，有且仅有一个平面。2. 直线与直线的位置关系：（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行直线；不在同一个平面内的两

26、条直线叫做异面直线。（2）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（3）等角定理：如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。（4）证明两条直线是异面直线一般用反证法。3. 两条异面直线所成的角及两条异面直线间的距离：（1）两条异面直线所成的角：在空间任意取一点，过此点分别作两条异面直线的平行线，所得到的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（）。（2）异面直线公垂线的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线为异面直线的共垂线。公垂线是唯一存在的。两条异面直线公垂线段的长度为异面直线间的距离4. 直线与平面的位置关系：（1）直

27、线与平面平行:如果一条直线和一个平面没有公共点，叫做这条直线和这个平面平行。（2）直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（3）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（4）直线与平面垂直的定义：一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的每一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直。（5）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和这个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（6）直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么

28、这两条直线互相平行。（7）直线与平面所成的角：直线与它在平面内射影的夹角叫做直线与平面所成的角（）。（8）射影长定理：从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。5. 两平面的位置关系：（1）两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，就说这两个平面平行。（2）平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。（4）二面角的

29、定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（）。这条直线叫做二面角的棱。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（5）平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直。（6）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。（7）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线，垂直于另一个平面。十八空间向量及其运算1. 空间向量及其加减与数乘运算：（1）在空间中，具有大小和方向的量叫做向量，

30、方向相同且模相等的有向线段表示同一向量或相等向量，与长度相等，方向相反的向量称为的相反向量。（2）空间向量的有关知识实质上是平面向量对应知识的推广。（3）共线向量：如果表示向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（或平行向量）。（4）平行于同一个平面的向量叫做共面向量，空间中的任意两个向量总是共面的。（5）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在，使得。（6）共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一（x,y),使得。（7）空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任意向量，存在唯一的有序数组（x,y,z),使得，其中

31、叫做空间向量的一个基底，都叫做基本向量。（8）在空间直角坐标系中，点O是坐标原点，若点A的坐标为（x,y,z),则向量=（x,y,z).（9）空间向量的线性运算与平面向量本质上是一样的，只是空间向量的范围扩大了。（10）空间向量的坐标运算：若则有：；若，则有：=。2. 空间直线的方向向量和平面的法向量：（1）对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零向量叫做直线l的一个方向向量。（2）对于非零的空间向量，如果它所在的直线与平面垂直，那么向量叫做平面的一个法向量。3. 空间两条直线的位置关系：（1）基本命题1：两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行。（2）基本命

32、题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量，（3）基本命题3：两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行。4. 空间两条直线所成的角：设空间直线a,b所成的角为（），它们的一个方向向量分别为，的夹角为，则与的关系是：于是得。5. 空间直线与平面所成的角，二面角：当直线l与平面相交且不垂直时，设它们所成的角为，是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，与的夹角为（如图），那么与有如下关系：。当l/或时，当时，于是有： sin=|cos|. l十九多面体1. 基本概念;(1) 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两

33、个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。(2) 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2. 基本计算公式：（1）棱柱側面积公式，C为直截面周长，l为棱长；棱柱体积，S为直截面面积，为棱长；（2）直棱柱側面积S=Ch,C为底面周长，h为高；直棱柱体积V=Sh,S为底面面积，h为高；（3）棱锥：正棱锥側面积S=C，C为底面周长，为斜高；V=二十。旋转体1. 基本概念：（1）圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转所围成的几何体叫做圆柱。（2）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成底曲面所围成的几何体叫做圆锥。（3）球：以半圆的直径所

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