《2020届一轮复习苏教版---与函数导数有关的新定义问题--学案(共13页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届一轮复习苏教版---与函数导数有关的新定义问题--学案(共13页).doc（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上拓展深化3与函数、导数有关的新定义问题高考在函数与导数的命题侧重于考查导数的几何意义以及运用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题.命题时也常以此为基础作出创新，其中与函数和导数有关的新定义问题也成为高考命题的一个热点.一、参数为双元时，建立双元的联系解决导数问题【例1】 (2017江苏卷)已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围
2、.(1)解由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3b.当x时，f(x)有极小值b.因为f(x)的极值点是f(x)的零点，所以f10，又a0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，).(2)证明由(1)知，.设g(t)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增.
3、因为a3，所以a3，故g(a)g(3)，即.因此b23a.(3)解由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，因为f(x)的极值为ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)a0，判断是否存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点”，并说明理由.(1)证明函数f(x)x，g(x)x22x2，则f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程组无解，因此，f(x)与g(x)
4、不存在“S点”.(2)解函数f(x)ax21，g(x)ln x，则f(x)2ax，g(x).设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，则a.当a时，x0e满足方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”.因此，a的值为.(3)解对任意a0，设h(x)x33x2axa.因为h(0)a0，h(1)13aa20.函数f(x)x2a，g(x)，则f(x)2x，g(x).由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得即(*)此时，x0满足方程组(*)，即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0，1)内的一个“S点”.因此，对任意a
5、0，存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点”.探究提高1.一般来说，新定义下的函数有着特有的性质，在运用导数作为研究工具时一定要紧扣新定义，以确保单调性、极值(最值)、零点等性质与定义吻合，有时也涉及利用新定义求参数问题.2.利用已知函数研究新定义函数问题，即以题目中已出现的函数为背景进行“二次加工”设计出新题.解题时要注意对原结论的运用，从而研究新函数的问题.三、利用新定义研究函数问题【例3】 (2018盐城三模)若对任意实数k，b都有函数yf(x)kxb的图象与直线ykxb相切，则称函数f(x)为“恒切函数”.设函数g(x)aexxpa，a，pR.(1)讨论函数g(x
6、)的单调性；(2)已知函数g(x)为“恒切函数”.()求实数p的取值范围；()当p取最大值时，若函数h(x)g(x)exm也为“恒切函数”，求证：0m(参考数据：e320).解(1)g(x)aex1，当a0时，g(x)0时，令g(x)0得xln a，由g(x)0得xln a，由g(x)0得x0，pex0(1x0)，设m(x)ex(1x)，则m(x)xex，令m(x)0，令m(x)0，得x0得xln 2，令n(x)0得x0，n2e2(20)0，又n(x)的图象在(，ln 2)上连续，故在上存在唯一的x0，使得2ex0x020，故ex0，此时由h(x0)0，得m(ex0x01)ex0x0(x02)
7、(x01)2，因为函数r(x)(x1)2在上单调递增，r(2)0，r，故0m.综上所述：0m0，得x1，(x)在(0，1)上单调递增，令(x)1，(x)在(1，)上单调递减，当x1时，(x)max(1)1.c1.(2)()当b3时，f(x)x3ax23xc，f(x)3x22ax3.由题意得f(x)3x22ax30在(1，1)上恒成立，a0，即实数a的值为0.()函数yh(x)的定义域为(0，)，当a0，b3，c2时，f(x)x33x2，f(x)3x23，令f(x)3x230，得x1.x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值当x(0，1)时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x(1，)时
8、，f(x)0.对于g(x)ln x，当x(0，1)时，g(x)0.当x(0，1)时，h(x)f(x)0；当x1时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.故函数yh(x)的值域为0，).2.设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围.解(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小
9、值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0).设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减.x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点.(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一
10、个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点.(3)对任意的ba0，1恒成立，等价于f(b)bf(a)a恒成立.(*)设h(x)f(x)xln xx(x0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减.由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x(x)2(x0)恒成立，m(对m，h(x)0仅在x时成立)，m的取值范围是，).3.已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0，1)时，f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0，1)恒成立，求k的最大值.解(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因为f(0)0，所以
11、曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.(2)令g(x)f(x)2，则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0xg(0)0，x(0，1)，即当x(0，1)时，f(x)2.(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0，1)恒成立.当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减.当0x时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k并非对x(0，1)恒成立.综上可知，k的最大值为2.4.已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示
12、m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数.解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)0，f(x0)0.即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线.(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)无零点.当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0，1)的零点个数.()若a3或a0，则f(x)3x2a在(0，1)无零点，故f(x)在(0，1)单调.而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0，1)有一个零点；当a0时，f(x)在(0，1)没有零点.()若3a0，即a0，f(x)在(0，1)无零点；若f0，即a，则f(x)在(0，1)有唯一零点；若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0，1)有两个零点；当3或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点.专心-专注-专业