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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 数字控制器的离散化设计方法数字控制器的连续化设计是按照连续控制系统的理论在S域内设计模拟调节器，然后再用计算机进行数字模拟，通过软件编程实现的。这种方法要求采样周期足够小才能得到满意的设计结果，因此只能实现比较简单的控制算法。当控制回路比较多或者控制规律比较复杂时，系统的采样周期不可能太小，数字控制器的连续化设计方法往往得不到满意的控制效果。这时要考虑信号采样的影响，从被控对象的实际特性出发，直接根据采样控制理论进行分析和综合，在Z平面设计数字控制器，最后通过软件编程实现，这种方法称为数字控制器的离散化设计方法，也称为数字控制器的直接设计法。数字控制器的离散化
2、设计完全根据采样系统的特点进行分析和设计，不论采样周期的大小，这种方法都适合，因此它更具有一般的意义，而且它可以实现比较复杂的控制规律。5.1 数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的连续化设计是把计算机控制系统近似看作连续系统，所用的数学工具是微分方程和拉氏变换；而离散化设计是把计算机控制系统近似看作离散系统，所用的数学工具是差分方程和Z变换，完全采用离散控制系统理论进行分析，直接设计数字控制器。计算机采样控制系统基本结构如图5.1所示。D(z)H(s)G0(s)R(s)R(z)C(z)c(s)G(z)(z)E(z)图5.1 计算机采样控制系统基本结构图图中G0(s)是被控对象的传递函数，H(
3、s)是零阶保持器的传递函数，G(z)是广义被控对象的脉冲传递函数，D(z)是数字控制器的脉冲传递函数， R(z)是系统的给定输入，C(z)是闭环系统的输出，(z)是闭环系统的脉冲传递函数。零阶保持器的传递函数为： （5-1）广义被控对象的脉冲传递函数为： （5-2）由图可以求出开环系统的脉冲传递函数为： （5-3）闭环系统的脉冲传递函数为： （5-4）误差的脉冲传递函数为： （5-5）显然 （5-6）由式（5-4）可以求出数字控制器的脉冲传递函数为： （5-7） 如果已知被控对象的传递函数G0(s)，并且可以根据控制系统的性能指标确定闭环系统的脉冲传递函数(z)，由上式可以得到离散化方法设计数
4、字控制器的步骤：（1）根据式（5-2）求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)。（2）根据系统的性能指标要求和其它约束条件，确定闭环系统的脉冲传递函数(z)。（3）根据式（5-7）求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。（4）根据数字控制器的脉冲传递函数D(z)，求出差分方程，编写控制程序。（5）与硬件连接，进行系统调试。自动控制系统中，有三种典型的输入形式，本章提到的输入信号一般是指典型输入，其表示形式为：（1）单位阶跃输入： （2）单位速度输入（单位斜坡输入）：（T为采样周期）（3）单位加速度输入：由此得到典型输入信号Z变换的一般形式 （5-8）式中A(z)是R(z)中不包含(1-z-1)因子
5、的关于z-1的多项式，q是输入信号因子，只能取正整数，上面的三种典型输入中，q分别取1，2，3。5.2 最少拍无差随动系统的设计在采样过程中，称一个采样周期为一拍。计算机控制系统中，往往要求系统的输出能够以最快的响应速度准确跟踪期望值的变化，最少拍控制就是根据这个要求提出的一种设计方法。最少拍无差数字控制器的设计任务就是根据式（5-7）求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，使闭环系统在某种特定的典型输入作用下，能以最少拍结束响应过程，而且在采样时刻系统不存在稳态误差，输出能够准确地跟踪输入。因此最少拍无差系统的闭环脉冲传递函数形式为： (5-9)式中n是使系统在有限拍内达到稳态无静差的所有设计
6、中所能取的最小正整数。从其表现形式可以看出，闭环系统的脉冲响应经过n个采样周期后变为零，即系统在n拍达到稳态。为使所设计的控制器满足最少拍特性，在设计中提出以下具体要求：（1）快速性要求在各种使系统在有限拍内达到稳态无静差的所有设计中，n取最小正整数，也就是说系统的调节时间最短，达到稳态所需要的采样周期最少。（2）无静差要求也就是系统的准确性要求，对于特定的典型输入，当系统达到稳态，其闭环输出在采样时刻能够准确的跟踪输入，系统不存在静差，即c(kT)=r(kT)，e(kT)=0。（3）数字控制器的物理可实现性要求最少拍数字控制器应该是物理可实现的，即数字控制器的输出只与当前的输入信号、以前的输
7、入和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。（4）稳定性要求经过最少拍控制，闭环系统必须是稳定的。下面介绍最少拍无差系统的设计过程。5.2.1 典型输入下理想最少拍无差系统的设计1、典型输入下理想最少拍无差系统的闭环脉冲传递函数(z)的确定典型输入是指输入信号的脉冲传递函数R(z)具备式（5-8）的Z变换形式，“理想”是指被控对象为不带纯滞后的稳定环节，即其脉冲传递函数G(z)不存在单位圆上以及单位圆外的零极点，并且不含纯滞后环节。由式（5-5）和（5-6）可知，系统的偏差E(z)为： （5-10） 由最少拍无差设计的准确性要求，稳态误差应该为零，根据终值定理，系统的稳态误差为： （5-11）因
8、为A(z) 不包含(1-z-1)，所以欲使上式为零，必须使 且pq （5-12）式中F(z)是关于z-1的待定系数多项式。所以 且pq （5-13）由最少拍无差设计的快速性要求，(z)应具备式（5-9）的表现形式，其常数项为0，n取最小值，所以 F(z)=1，p=q因此最少拍无差控制器设计时应选择(z)和e (z)为： (5-14) 此时最少拍无差数字控制器的脉冲传递函数D(z)为: (5-15)2、三种典型输入下的理想最少拍无差控制系统设计与分析（1）单位阶跃输入此时，输入信号因子q=1，带入式（5-14）得：因此有： 即 进一步求出闭环系统的输出：即 针对单位阶跃输入，最少拍无差控制使系统
9、只需一拍就可以达到稳态，在采样点上输出能准确地跟踪输入，静差为零，过渡过程结束。此时控制器的脉冲传递函数为：（2）单位速度输入此时，输入信号因子q=2，带入式（5-14）得：因此有： 即 进一步求出闭环系统的输出：即 针对单位速度输入，最少拍无差控制使系统只需两拍就可以达到稳态，满足设计的准确性和快速性要求。此时控制器的脉冲传递函数为：（3）单位加速度输入此时，输入信号因子q=3，带入式（5-14）得：因此有： 即 针对单位加速度输入，最少拍无差控制使系统只需三拍就可以达到稳态，满足设计的准确性和快速性要求。此时控制器的脉冲传递函数为：表5-1列出了三种典型输入下理想最少拍无差系统的设计结果。
10、表5-1 三种典型输入下的理想最少拍无差系统输入信号r(t)误差脉冲传递函数e (z)闭环脉冲传递函数 (z)最少拍无差控制器D (z)调节时间ts1(t) Tt2- 2T3-3+ 3T 5.2.2 最少拍控制器的物理可实现性和稳定性要求前面设计的最少拍无差控制器是针对理想的被控对象来说的，如果被控对象带有纯滞后环节并包含单位圆上或圆外的零极点，除了考虑准确性、快速性以外，还必须考虑控制器的物理可实现性以及闭环系统的稳定性。（1）最少拍控制器的物理可实现性要求控制器的物理可实现性是指在控制算法中不允许出现未来时刻的偏差值，这就要求数字控制器的脉冲传递函数D(z)不含有z的正幂次项。数字控制器的
11、脉冲传递函数D(z)可以写成下面的形式： （5-16） 式中常数项b0 不等于零。其差分方程为： （5-17）如果控制器是可实现的，式（5-17）中不允许出现未来时刻的偏差值，即所以 如果被控对象的脉冲传递函数G(z)中包含纯滞后环节，按照式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数D(z)中将含有这个正幂项，物理不可实现。因此要使控制器物理可实现，就必须消除纯滞后对系统的影响，用闭环脉冲传递函数(z)去抵消G(z)中的纯滞后环节，即(z)中也应该包含纯滞后环节，所以 这样，根据式（5-7）计算出的D(z)就不再包含，而且把纯滞后环节移到闭环回路之外，对系统的动态、静态性能没有什么影响，只是起了延迟
12、的作用。同时满足以上两个条件，设计的最少拍无差控制器才是物理可实现的。（2）最少拍控制器的稳定性要求如果被控对象的脉冲传递函数G(z)不满足稳定条件，就必须考虑系统的稳定性要求。根据式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数D(z)为： 可以看出，如果G(z)存在不稳定的零极点，D(z)会把G(z)不稳定的极点当作零点，把不稳定的零点当作极点，因此数字控制器是不稳定的，这会使控制器输出的控制量u发散，造成执行机构不稳定，从而加快机械磨损，影响控制质量。为了消除G(z)不稳定的零极点对系统的影响，同时又保证数字控制器和闭环系统的稳定性，我们可以用闭环脉冲传递函数(z)的不稳定零点去抵消G(z)的不稳
13、定零点，用误差脉冲传递函数e(z)的不稳定零点去抵消G(z)的不稳定极点。这样数字控制器的脉冲传递函数D(z)不存在不稳定的零极点，它是稳定的，输出的控制量u也是稳定的；同时闭环脉冲传递函数(z)中包含不稳定的零点，但是不存在单位圆上或圆外的极点，不会使系统不稳定。因此可以得到最少拍无差系统设计的两个稳定性约束条件： 当G(z)中包含单位圆上或圆外的零点时，在(z)的表达式中应该把这些零点作为(z)的零点保留下来； 当G(z)中包含单位圆上或圆外的极点时，在e(z)的表达式中应该把这些极点作为e(z)的零点保留下来。5.2.3 最少拍有纹波控制器的设计设广义被控对象的脉冲传递函数为： （5-1
14、8）其中Gc(s)是被控对象的传递函数；H(s)是零阶保持器的传递函数；u是广义被控对象在单位圆上或圆外的零点数；bi是G(z)中不稳定的零点；v是广义被控对象在单位圆上或圆外的极点数；aj是G(z)中不稳定的极点；m是广义被控对象包含纯滞后环节的个数；G0(z)是G(z)中不含纯滞后环节、不含不稳定的零极点的部分。根据最少拍控制系统设计的物理可实现要求，闭环系统的脉冲传递函数(z)中应包含z-m；根据稳定性要求，(z)中应包含；根据快速性要求和输入信号的形式，(z)应包含。综合考虑各个因素，当G(z)中不包含单位圆上z=1的极点时，最少拍有纹波系统的闭环脉冲传递函数(z)应该具有以下形式：
15、（5-19）式中q为输入信号因子，当输入信号为单位阶跃、单位速度、单位加速度时，q分别为1、2、3；为个待定系数；其它字母的含义同式（5-18）。另外，根据最少拍控制系统设计的稳定性要求，误差脉冲传递函数e(z)中应包含；根据准确性要求，e(z)中应包含。综合考虑各个因素，当G(z)中不包含单位圆上z=1的极点时，最少拍有纹波系统的误差脉冲传递函数e(z)应该具有以下形式： （5-20）式中，是关于的有限多项式，共有个待定系数；其它字母的含义同式（5-18）。要根据式（5-7）计算出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，就必须确定(z)和e(z)，有两种方法可以求出待定系数。 待定系数法根据式（5
16、-19）和（5-20）正确写出(z)和e(z)的形式，因为 上式两边z的相同幂次对应的系数应该相等，所以可以得到方程组并求解，得到各个待定系数，确定(z)和e(z)，从而求出D(z)。 利用最少拍控制器的设计要求，求出待定系数由准确性可知，中包含，所以 全部为零，因此，全部为零，由此可得到q个方程。由稳定性约束条件，中包含，所以，因此，（j=1，2，3，v），由此可得到v个方程。根据准确性和稳定性得到的q+v个方程形成一个方程组，表示如下： （5-21）闭环脉冲传递函数(z)中有q+v个待定系数，可由方程组（5-21）求解得到，这样就可求出(z)，从而设计出数字控制器D(z)。这种方法只须写出
17、(z)的表达式。当广义被控对象的脉冲传递函数G(z)中含有单位圆上z=1的极点，即aj=1时，方程组（5-21）中的第一个方程与后面的v个方程有相同之处，因此方程少于q+v个，根据快速性要求，此时应该降阶处理，所降阶数等于G(z)中z=1的极点个数。假设G(z)中有w个z=1的极点，则(z)的表达式为： （5-22）e(z)的表达式为： （5-23）式中，是关于的有限多项式，共有个待定系数；，aj是单位圆外的极点。例5-1 已知被控对象的传递函数为：采样周期T=1秒，针对单位速度输入函数设计最少拍无差系统，画出控制量U和闭环系统的输出C的波形。解：该系统广义被控对象的脉冲传递函数针对单位速度输
18、入函数设计最少拍无差系统， m=3，v=1，u=0，q=2，q+ v-1=2，因为G(z)包含一个单位圆上的极点z=1，w=1，所以可以降一阶来处理。 由式（5-22），q+ v- w-1=1，待定系数有两个，选择闭环脉冲传递函数为：由式（5-23），p=2，m+u+q-p-1=2，有两个待定系数，选择误差脉冲传递函数为：根据准确性和稳定性要求，得方程组：解之，得：也可利用待定系数法，得方程组：解之，得：所以 根据式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数为：进一步求得：由此，可以画出控制量和闭环输出的波形，如图5.2所示。(b) 闭环输出3650 1 2 3 4 5 6 124NT(a) 控制量
19、u1uNT1 2 3 4 5 0.5-0.5y图5.2 输出序列波形图 从图中可以看出，经过4拍后，系统达到稳态，在采样点上静差为零，输出能够准确地跟踪输入，调节时间为4秒。控制量是振荡收敛的，系统的连续过程是稳定的。与理想情况相比，由于纯滞后环节的存在，使系统的调节时间延长了2拍。5.2.4 最少拍无差控制器的局限性最少拍无差控制器的设计基于采样系统的设计理论，运用数学方法，可以方便地得到其控制结构，使系统在有限拍内达到稳态，而且在采样点上不存在静差，这是它的优点。但是它也存在一些缺点，限制了它的应用。（1） 对不同输入信号的适应性差针对某种典型输入设计的最少拍无差控制器可以使系统对某一特定
20、输入的响应为最少拍，但对于其它类型的输入不一定为最少拍，甚至会引起较大的超调和稳态误差。例5-2 已知被控对象的传递函数为：，采样周期T=1秒， 针对单位速度输入函数设计最少拍无差系统，并分析其输出响应以及系统的偏差。 试分析（1）所设计的最少拍无差系统在单位阶跃、单位加速度输入下的输出响应以及系统的偏差。 解： 该系统广义被控对象的脉冲传递函数针对单位速度输入函数设计最少拍无差系统， m=1，v=1，u=0，q=2，q+ v-1=2，因为G(z)包含一个单位圆上的极点z=1，w=1，所以可以降一阶来处理。 由式（5-22），q+ v- w-1=1，待定系数有两个，选择闭环脉冲传递函数为：由式
21、（5-23），p=2，m+u+q-p-1=0，选择误差脉冲传递函数为：根据准确性和稳定性要求，得方程组：解之，得： 所以 根据式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数为：闭环系统的输出为：系统偏差为： 可以看出，经过两拍以后，在采样点上系统的输出能准确地跟踪输入，静差为零，系统具有最少拍无差的特性。 当输入信号为单位阶跃时，闭环系统的输出为：系统偏差为：经过两拍以后，采样点上系统的输出能准确地跟踪输入，静差为零。调节时间Ts=2秒，超调量为100%，系统不具备最少拍无差的特性。当输入信号为单位加速度时，闭环系统的输出为：系统偏差为：系统存在稳态误差，在采样点上系统的输出不能准确跟踪输入，不具备最
22、少拍无差的特性。从上面的计算结果可见，按照单位速度输入设计的最少拍无差系统，在单位阶跃下有100%的超调；在单位加速度输入下存在静差。结果表明，针对某种特定的典型输入设计的最少拍无差控制器，不具备广泛适应性。当输入信号发生变化，系统不具备最少拍无差的特性。（2） 对参数变化过于敏感最少拍无差系统是针对被控对象的精确的数学模型来设计的。当被控对象包含不稳定的零极点，为了保证系统的稳定性，用闭环脉冲传递函数(z)的不稳定零点去抵消G(z)的不稳定零点，用误差脉冲传递函数e(z)的不稳定零点去抵消G(z)的不稳定极点，理论上这是完全可行的。但是如果被控对象的数学模型不准确或者由于环境的变化导致系统参
23、数改变，不稳定的零极点是不可能相消的，系统的性能就会被破坏，致使系统的响应时间延长，不再满足最少拍设计的快速性要求。当参数变化时，要求最少拍控制器也应作出相应的改变。对数学模型的依赖性，使最少拍系统对参数的变化过于敏感，限制了最少拍无差系统的应用。（3） 未考虑执行机构的饱和特性 最少拍系统的设计没有对控制量作出限制，在设计中强调系统在最少拍内达到稳态，因此是时间最优系统，得到的设计结果是在假定控制量没有限制的基础上，保证系统的输出能在最少拍内准确地跟踪输入。从理论上讲，采样周期越短，调节速度就越快，调节时间也越短，但这是不切实际的。采样周期的减小，会使控制量增大。由于执行机构的饱和特性，控制
24、量会被限制在一个有限的范围，实际控制情况与最少拍控制器输出的控制量不相符，控制效果会因此变差，最少拍设计的目标就不能实现。（4） 采样点之间存在纹波 最少拍设计只是保证在采样点上输出能准确地跟踪输入，系统不存在静差。但是在许多情况下，最少拍控制器输出的控制量是振荡收敛的（如例5-1），其过渡过程延续了无限长的时间，在控制量的激励下，系统在采样点之间会出现纹波。这不仅破坏了预期的控制效果，而且使执行机构产生磨损。最少拍无差系统的局限性使其在工业上的应用受到了一定的限制，因此必须选择更为合理的设计方法，对其加以改进。5.3 最少拍无纹波随动系统的设计最少拍无差系统的准确性要求是使系统在采样点上的输
25、出准确地跟踪输入，即在采样点上。那么在采样点之间最少拍无差系统的输出能否准确的跟踪输入呢？下面通过例题分析最少拍控制作用下系统在采样点之间的输出响应。例5-3 已知广义被控对象的脉冲传递函数为：采样周期T=1秒，试求它对单位速度输入的最少拍无差系统的控制器，并分析其控制量序列和系统的输出响应。解：根据式（5-22）和（5-23），可以确定闭环系统的脉冲传递函数和偏差的表现形式分别为： 用待定系数法，得方程组：解之，得：因此根据式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数为：中不含Z的正幂项，满足物理可实现的设计要求。闭环系统的输出为：系统偏差为：系统的调节时间为3T，稳态误差为零，系统在采样点上是稳
26、定的。下面检验控制量U是否收敛，如果收敛，系统的连续过程是稳定的。从的表达式可以看出，控制量正负相间，幅值越来越小，它是振荡收敛的，因此系统的连续过程是稳定的，可以保证系统的输出在采样点上能准确跟踪输入，静差为零。但是振荡收敛的控制量，其过渡过程也延续了无限长的时间，在它的控制下，系统在采样点之间会出现纹波。这不仅破坏了预期的控制效果，而且使执行机构产生磨损，因此必须消除。1、 设计无纹波系统的必要条件无纹波系统的设计要求系统的输出在采样点之间也能准确地跟踪输入，这就要求被控对象必须有能力给出与输入信号r(t) 相同且平滑的输出c(t)，保证控制量U在有限拍内达到稳态。由式（5-8），输入信号
27、的一般表达式为，控制器输出，要使控制量在有限拍内达到稳态，必须是稳定的，因此广义被控对象的脉冲传递函数中应该至少包含q个积分环节，以抵消输入函数中单位圆上的q个不稳定极点对系统产生的影响，这样被控对象的传递函数中就应该至少包含q-1个积分环节，这就是无纹波系统设计的必要条件。如果针对单位阶跃输入设计无纹波系统，此时q=1，中可以不包含积分环节；如果针对单位速度输入设计无纹波系统，此时q=2，中至少应该包含1个积分环节；如果针对单位加速度输入设计无纹波系统，此时q=3，中至少应该包含2个积分环节。因此设计无纹波系统时，首先必须判断中是否含有足够的积分环节，满足了设计的必要条件，才能保证控制量收敛
28、于恒值，系统不产生纹波。2、 最少拍无纹波设计的约束条件数字控制器的输出 （5-24）要使系统的稳态输出在采样点之间不出现纹波，就要求控制信号收敛于常数（包括零），那么只能是关于的有限多项式。 （5-25）式中是的极点多项式，是的零点多项式。由上式可知，要使是关于的有限多项式，就必须包含多项式，即闭环脉冲传递函数必须包含中所有的零点。因此最少拍无纹波设计除了满足最少拍无差系统设计的一切条件以外，中还必须包含的所有零点。3、 最少拍无纹波系统设计的一般方法在被控对象的传递函数满足无纹波设计的必要条件的前提下，闭环脉冲传递函数的表达式为： （5-26）其中是中所有零点的个数，w是中单位圆上的极点个
29、数。的表达式为： （5-27）式中，共有个待定系数。同样可以采用上一节的两种方法求解各个待定系数，确定出和，从而求出数字控制器的脉冲传递函数。例5-4 采样周期T=1秒，已知被控对象的传递函数为：针对单位速度输入函数设计最少拍无纹波控制器。解：中包含1个积分环节，满足无纹波设计的必要条件。广义被控对象的脉冲传递函数为：针对单位速度输入函数设计最少拍无纹波系统， m=3，v=1，=1，q=2，w=1，q+ v -w -1=1，p=2，m +q- p-1 =3。由式（5-26）、（5-27），选择和为：利用待定系数法，得方程组：解之，得：所以 根据式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数为：进一步求
30、得：经过5拍后，系统达到稳态，在采样点上静差为零，输出能够准确地跟踪输入，调节时间为5秒。控制量收敛于常数0.333，系统的连续过程是稳定的，而且在采样点之间无纹波。与例5-1相比，系统的调节时间增加了一拍，所增拍数正好等于中单位圆内的零点个数。例5-5 已知被控对象的传递函数为：，采样周期T=1秒， 针对单位速度输入函数设计最少拍无纹波系统，并分析其输出响应以及系统的偏差。 试分析所设计的最少拍无纹波系统在单位阶跃输入下的输出响应以及系统的偏差。解：中包含1个积分环节，满足无纹波设计的必要条件。广义被控对象的脉冲传递函数为：针对单位速度输入函数设计最少拍无纹波系统， m=1，v=1，=1，q
31、=2，q+ v-1=2，q+ v -w -1=1，p=2，m +q- p-1 =1。由式（5-26）、（5-27），选择和为：利用待定系数法，得方程组：解之，得：所以 根据式（5-7），数字控制器的脉冲传递函数为：闭环系统的输出为：系统偏差为：经过三拍以后，系统的输出能准确跟踪输入，稳态误差为零。数字控制器输出的控制量为：经过三拍以后，控制量收敛于常数0.1，系统输出在采样点之间无纹波。当输入为单位阶跃时，闭环系统的输出为：系统偏差为：经过三拍以后，系统的输出能准确跟踪输入，稳态误差为零，超调量增大，为59%。数字控制器输出的控制量为： 经过三拍以后，控制量收敛于常数零，系统输出在采样点之间无
32、纹波。与例5-2相比，对于相同的输入信号，最少拍无纹波系统比最少拍无差系统的调节时间延长了一拍，所多拍数就是在单位圆内的零点数。当输入信号的类型改变后，只要满足无纹波设计的必要条件，系统仍然是无纹波的系统，适应性比最少拍无差系统要好，但是超调量增大，控制质量下降，表明最少拍无纹波系统对参数仍然比较敏感。5.4 数字控制器的频域设计法在线性定常连续系统的分析和设计中，系统的稳定边界是s平面的虚轴，稳定区域是s平面的开左半平面，系统闭环传递函数的极点或特征方程的根在s的左半平面。线性定常离散系统的稳定边界是z平面中以原点为圆心的单位圆周，稳定区域是z平面中的单位圆的内部区域。如果能找到一种变换，把
33、z平面中以原点为圆心的单位圆周映射到某一复平面的虚轴，把单位圆内部区域映射到该复平面的开左半平面，那么我们就可以基于系统的性能指标，用类似连续系统的频域设计法来直接研究离散控制系统，设计出数字控制器，这就是数字控制器的频域设计法。这种方法比较简单、而且应用方便，特别是可以把对控制系统的性能要求转变为对频率特性的要求，使得采用频域法设计的系统一般都能满足系统的要求，因此频域设计法是数字控制系统设计中一种常用且强有力的方法。5.4.1 w变换未知平面z平面s平面图5.3 s平面、z平面、复平面之间的映射关系-1 1采用频域法设计数字控制器，必须找到一种变换，把z平面中以原点为圆心的单位圆周映射到某
34、一复平面的虚轴，把单位圆内部区域映射到该复平面的开左半平面， s平面到z平面再到该复平面的映射关系如图5.3所示。利用双线性变换，令，z平面的点与w平面的点一一对应，下面分析w平面与z平面之间的映射关系，看看双线性变换能否满足我们的要求，w平面是不是我们寻找的复平面。令，当时，即z平面中以原点为圆心的单位圆内部区域映射到w平面的开左半平面；当时，即z平面中以原点为圆心的单位圆周映射到w平面的虚轴；当时，即z平面中以原点为圆心的单位圆外部区域映射到w平面的开右半平面。可见，双线性变换能够满足要求，w平面就是我们所寻找的复平面。w平面与s平面有类似的对应关系，因此可以运用类似连续系统的频域设计法来
35、设计数字控制器，实现超前校正或滞后校正。利用双线性变换也可以得到类似的映射关系，同样满足要求，但是此时采样系统的静态速度误差系数与w域内静态速度误差系数不相等，所以我们选择第一种双线性变换，此时。令，v是w平面中的频率，称为伪频率。设，则，代入双线性变换，得所以 。w平面的伪频率v与s平面的频率之间的对应关系为： （5-28）图5.4 伪频率v与频率之间的关系式中T是系统的采样周期，当T很小时，。当时，与频率之间的关系如图5.4所示。采样周期，由式（5-28）得： （5-29）根据式（5-29）可知，当s平面的频率从变化到零时，w平面的伪频率v从-变化到零；当从零变化到时，v从零变化到+；当从
36、变化到时，v从-变化到+；当从变化到时，v从-变化到+。从上面的分析可以知道，s平面的开左半平面被分成许多宽度为的带域，每一个宽度为的带域都可以映射为z平面中以原点为圆心的单位圆内部区域，映射到w平面的开左半平面。其中的带域称为主带域，其余带域称为次带域。由此可以得到三个平面之间的映射关系，如图5.5所示。从图中可知，w平面与s平面是非常相似的，w平面的开左半平面对应了s平面的开左半平面，w平面的虚轴对应了s平面的虚轴，所不同的是s平面内，每一个宽度为的带域内的特性映射到了w平面的的范围。利用w变换，将z平面变换为w平面，将z域的脉冲传递函数变换为w域的脉冲传递函数，把s域的频域设计法扩展到w
37、域，离散时间控制系统可以采用熟悉的频域设计法，利用相频特性和幅频特性曲线进行分析和设计。图5.5 s平面、z平面、w平面之间的映射关系w平面-1 1z平面s平面次带域次带域主带域j3s /2js /2-j3s /2-js /25.4.2 数字控制器的频率特性一阶控制器是最基本的控制器，它的w域传递函数为： （5-29）是在w域的零点，是在w域的极点。利用双线性变换，得控制器在z域的脉冲传递函数为： （5-30）当时，具有滞后相位，由此实现的校正器称为滞后校正器；当时，具有超前相位，由此实现的校正器称为超前校正器。1、 相位滞后校正器令，则 。vp v0lgvdbvp v0-900lgv图5.6
38、滞后校正器相频特性和幅频特性时，相角，它可以提供一个滞后的相角。根据极值定理，所以其转折频率，此时相位滞后校正器所提供的滞后相角为：，设，则。其相频特性和幅频特性如图5.6所示。从图中可以看出，当时，其幅频特性开始下降。在高频时，增益趋近于。相角在0 - 90变化。相位滞后校正器适用于系统稳态误差比较大，但响应速度不太慢的场合。相位滞后校正器中，高频增益减少，具有衰减特性，使系统的幅值穿越频率降低，因此系统的响应速度变慢，对高频干扰的抑制能力增强，系统有稳定的趋势。但是它会提供滞后相角，减小相位裕量，容易使系统不稳定。在设计时，为了使校正器提供的滞后相角只影响相位交界频率附近的相频特性，应该使
39、两个转折频率和很接近，而且接近原点，并且使校正器的零点远远小于校正后系统期望的幅值穿越频率，一般取。滞后校正器相当于一个低通滤波器，既可以保证系统的精度，又可改善系统的相对稳定性。同时它会使系统的响应速度变慢，降低系统的快速性。所以滞后校正器一般加在系统的低频阶段，以减少它对中频段特性的影响。2、 相位超前校正器相位超前校正器的相频特性和幅频特性如图5.7所示，此时。它能提供的相角，是一个超前的相角。其转折频率的几何中心点，最大相角为。图5.7超前校正器相频特性和幅频特性v0 vplgvdbv0 vp900lgv从图中可以看出，当时，其幅频特性开始上升。在高频时，增益趋近于。相角在0 90变化
40、。相位超前校正器适用于系统响应速度比较慢，相对稳定性差，但增益不太低的场合，一般不用于0型系统。相位超前校正器中，高频段的增益增加，系统的幅值穿越频率增大，因此系统的响应速度加快，但是会降低系统对高频干扰的抑制能力。超前相位可以增大相位裕量，有使系统稳定的趋势。为了改善系统的稳定性，设计时应该使转折频率的几何中心点与校正后系统期望的幅值穿越频率重合，这样校正器就可在处提供一个最大的超前相角，增加相位裕量，改善系统的相对稳定性。相位超前校正器增加了系统的频带宽度，提升了系统的自然振荡频率，从而加快了响应速度。5.4.3 数字控制器的频域法-w变换法设计步骤图 5.8 离散-时间控制系统的简化方框
41、图离散-时间控制系统的简化方框图如图5.8所示。 经过上面的分析可知，通过频域设计法，从被控对象的相频特性和幅频特性出发，利用Bode图，设计w域的串联校正器，然后再转化到z域，就可得到数字控制器的脉冲传递函数，这种方法又称为w变换法。w变换法的设计步骤如下：（1）加入零阶保持器，选定采样周期T，求出广义被控对象的脉冲传递函数G(z)。（2）用双线性变换 将变换为w域的广义被控对象的传递函数。它是一个非最小相位传递函数，因此相位特性与典型的最小相位传递函数的相位特性不相同。上述过程中，适当地选择采样周期T是很重要的。根据经验，采样频率可以选择为闭环系统带宽频率的10倍。（3）设，代人w域的广义
42、被控对象的传递函数中，求出，并绘出其相频和幅频特性，读出静态误差常数、相位裕度和幅值裕度。（4）用与连续系统相同的方法，根据控制指标的要求进行补偿校正，设计出w域的串联校正器。同时必须考虑它所对应的D(z)的物理可实现性和稳定性，设计时所考虑的性能指标一般留有余量，保证在z域实现时，系统仍能满足要求。（5）用双线性变换代入，求出数字控制器的脉冲传递函数。（6）根据，求出对应的差分方程，并用计算机通过编程实现。（7）现场调试，检验性能指标是否满足要求，并进行必要的修正。频域设计法是一种试凑法，因此设计完成后，需要通过现场的实际运行和调试，检验设计的正确性、稳定性、可靠性以及系统的精度等。如果满足
43、给定的性能指标，设计结果就是正确的；否则需要综合考虑各项指标要求，重新设计，反复试凑，直到满足性能指标。5.4.4 串联相位滞后校正器的w变换法设计按照w变换法的设计步骤，串联相位滞后校正器的设计过程如下： 1、计算并选择合适的采样周期T和幅值穿越伪频率。采样周期的选择除了满足香农采样定理以外，还应根据系统的截止频率、计算机的要求以及零阶保持器产生的滞后相角等因素综合考虑。（1）设计时，一般取，所以幅值穿越伪频率为 。（2）为了防止数字控制系统出现大量的数据运算，占用大量的存储空间，通常取，即。（3）零阶保持器的传递函数为：，代入，得：所以它能提供的相角为。当时，其滞后相角为18。因此应当选择合适的采样周期T，使系统的截止频率满足，即：