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1、2010年福建高考文科数学真题及答案第I卷（选择题 共60分）1. 若集合A=x|1x3，B=x|x2，则AB等于A x | 2x3 B x | x1 C x | 2x3 D x | x22. 计算12sin222.5的结果等于A.1/2 B. /2 C/3 D/23. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于A. B.2C.2 D.64. i是虚数单位，（1+i）/(1-i)）4等于A.i B.-i C.1 D.-15. 若x，yR，且，则z=x+2y的最小值等于A.2 B.3 C.5 D.96. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于A.2 B.3 C.4
2、 D.57. 函数f（x）= 的零点个数为A.2 B.2 C.1 D.08.若向量a=（x，3）（xR），则“x=4”是“| a |=5”的A.充分而不必要 B.必要而不充分 C充要条件 D.既不充分也不必要条件9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5和91.5 B.91.5和92 C 91和91.5 D.92和9210.将函数f（x）=sin（x+）的图像向左平移/2个单位，若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于A.4 B.6 C.8 D.1211.若点O和点F分别为椭圆x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任
3、意一点，则的最大值为A.2 B.3 C.6 D.812.设非空集合S=x | mxl满足：当xS时，有x2S . 给出如下三个命题：若m=1，则S=1；若m=1/2 ，则1/4 l 1； l=1/2，则/2m0其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置.13.若双曲线x2 / 4y2 / b2=1 (b0) 的渐近线方程为y=1/2 x ，则b等于 .14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据
4、的频率之和等于27，则n等于 .15. 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包涵，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.16.观察下列等式： cos2=2 cos2 1； cos 4=8 cos4 8 cos2 +1； cos 6=32 cos6 48 cos4 18 cos2 1； cos 8= 128 cos8256cos6 160 cos4 32 cos2 1； cos 10=mcos101280 cos81120cos6 ncos4 p cos2 1；可以推测，mn+p= .三、解答题：本大题共
5、6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）数列a n中，a 1 =1/3，前n项和S n 满足S n+1 S n =（1 / 3）n + 1 (n)N *.（I）求数列a n的通项公式a n 以及前n项和S n（II）若S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列，求实数t的值.18.（本小题满分12分）设平面向量a m =（m，1），b n =（2，n），其中m，n1,2,3,4.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得a m （a mb n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.19.（本小题满分
6、12分） 已知抛物线C的方程C：y 2 =2 p x（p0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l 的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。20.（本小题满分12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1 不重合），且EHA1 D1. 过EH的平面与棱BB1 ，CC1 相交，交点分别为F，G。（I） 证明：AD平面EFGH；（II） 设AB=2AA1 =2 a .在长方体ABCDA1B1C1D1 内随机选
7、取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.21. （本小题满分12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（I） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（II） 为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（III） 是否存在v，使得小艇以
8、v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.22（本小题满分14分）已知函数的图像在点P(0,f(0)处的切线方程为.（）求实数a，b的值；（）设是上的增函数. （）求实数m的最大值； （）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.参考答案选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D填空题：本大题考查基础知识
9、和基本运算. 每小题4分，满分16分. 13.1 14.60 15. 16.962三、 解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.解：()由S n+1 S n =（）n + 1得 (nN *)；又，故(nN *)从而(nN *).()由()可得，从而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：，解得t=2.18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.
10、满分12分.解：()有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个. ()由得，即.由于1,2,3,4，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率.19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.解：（）将（1,-2）代入，所以. 故所求的抛物线C的方程
11、为，其准线方程为.（）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=2x + t ，由，得y2 2 y 2 t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以得=4+8 t，解得t 1/2 .另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=1.因为1-,），1，），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分解法一：（I） 证明：在长方体ABCDA1B1C1D1 中，ADA1 D1
12、 又EHA1 D1 ，ADEH.AD平面EFGHEH 平面EFGHAD/平面EFGH.（II） 设BC=b，则长方体ABCDA1B1C1D1 的体积V=ABADAA1 =2a2b，几何体EB1F-HC1G的体积V1 =（1/2EB1 B1F）B1C1 =b/2EB1 B1 FEB12 + B1 F2=a2 EB12 + B1 F2 （EB12 + B1 F2 ）/2 = a2 / 2,当且仅当EB1 =B1 F=/2 a时等号成立从而V1 a2b /4 .故 p=1-V1/V 7/8解法二：（I） 同解法一（II） 设BC=b，则长方体ABCDA1B1C1D1 的体积V=ABADAA1 =2a
13、2b ，几何体EB1F-HC1G的体积V1=（1/2 EB1 B1 F）B1C1 =b/2 EB1 B1 F设B1EF=（090），则EB1 = a cos，B1 F =a sin故EB1 B1 F = a2 sincos= ，当且仅当sin 2=1即=45时等号成立.从而p=1- V1/V=7/8，当且仅当sin 2=1即=45时等号成立.所以，p的最小值等于7/821.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S= = =
14、故t=1/3时，S min = ，v= =30即，小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（）设小艇与轮船在B处相遇由题意可知，（vt）2 =202 +（30 t）2-22030tcos（90-30），化简得：v2=+900 =400+675由于0t1/2，即1/t 2,所以当=2时，取得最小值，即小艇航行速度的最小值为海里/小时。（）由（）知，设，于是。（*） 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：解得。所以的取值范围是。解法二：（）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。
15、在中，。又,此时，轮船航行时间，。即，小艇以海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。（）同解法一（）同解法一22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。解法一：（）由及题设得即。（）（）由得。是上的增函数， 在上恒成立，即在上恒成立。设。，即不等式在上恒成立当时，不等式在上恒成立。当时，设，因为，所以函数在上单调递增，因此。，即。又，故。综上，的最大值为3。（）由（）得，其图像关于点成中心对称。证明如下： 因此，。上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定
16、在函数的图像上。而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。这也就表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。解法二：（）同解法一。（）（）由得。是上的增函数， 在上恒成立，即在上恒成立。设。，即不等式在上恒成立。所以在上恒成立。令，可得，故，即的最大值为3.（）由（）得，将函数的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得，函数的图像关于点成中心对称。这也表明，存在点，是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。