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1、2011年广东高考文科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）AiBiC1D1【解答】解：设Z=x+yiiz=1，i（x+yi）=y+xi=1故x=0，y=1Z=i故选A2（5分）已知集合A=（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1，则AB的元素个数为（）A4B3C2D1【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由得：x=1y，代入得：y2y=0即y（y1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入解得x=1，把y=1代入解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则AB的
2、元素个数为2个故选C3（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）若为实数，（+），则=（）ABC1D2【解答】解：向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）=（1+，2）（+），4（1+）6=0，故选B4（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A（，1）B（1，+）C（1，1）（1，+）D（，+）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（1，1）（1，+）；故选：C5（5分）不等式2x2x10的解集是（）A（，1）B（1，+）C（，1）（2，+）D（，）（1，+）【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x1）0x1或x故选：D6（5分
3、）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=的最大值为（）A3B4C3D4【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=，即y=x+z做出l0：y=x，将此直线平行移动，当直线y=x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B7（5分）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A20B15C12D10【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条正
4、五棱柱对角线的条数共有25=10条故选D8（5分）设圆C与圆x2+（y3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A抛物线B双曲线C椭圆D圆【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y3）2=1的圆心为A，圆C与圆x2+（y3）2=1外切，与直线y=0相切|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线故选A9（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）AB4CD2【解答】解：由已知中该几何中的三
5、视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h=3故V=2故选C10（5分）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（fg）（x）和（fg）（x）对任意xR，（fg）（x）=f（g（x）；（fg）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A（fg）h）（x）=（fh）（gh）（x）B（fg）h）（x）=（fh）（gh）（x）C（fg）h）（x）=（fh）（gh）（x）D（fg）h）（x）=（fh）（gh）（x）【解答】解：A、（fg）（x）=f（g（x），
6、（fg）（x）=f（x）g（x），（fg）h）（x）=（fg）（x）h（x）=f（g（x）h（x）；而（fh）（gh）（x）=（fh）（gh）（x）=f（g（x）h（x）h（g（x）h（x）；（fg）h）（x）（fh）（gh）（x）B、（fg）h）（x）=（fg）（h（x）=f（h（x）g（h（x）（fh）（gh）（x）=（fh）（x）（gh）（x）=f（h（x）g（h（x）（fg）h）（x）=（fh）（gh）（x）C、（fg）h）（x）=（fg）（h（x）=f（g（h（x），（fh）（gh）（x）=f（h（g（h（x）（fg）h）（x）（fh）（gh）（x）；D、（fg）h）（x）=f（x）
7、g（x）h（x），（fh）（gh）（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），（fg）h）（x）（fh）（gh）（x）故选B二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11（5分）已知an是递增等比数列，a2=2，a4a3=4，则此数列的公比q=2【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知an是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q1，又由a2=2，a4a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值【解答】解：an是递增等比数列，且a2=2，则公比q1又a4a3=a2（q2q）=2（q2q）=4即q2q2=0解得q=2，
8、或q=1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键12（5分）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（a）=9【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答【解答】解：令g（x）=f（x）1=x3cosx则g（x）为奇函数，又f（a）=11，g（a）=f
9、（a）1=111=10g（a）=10=f（a）1f（a）=9故答案为：9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）1=x3cosx，是解答本题的关键13（5分）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是劳动生产率为1千元时，工资为130元；劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；当月工资为210元时，劳动生产率为2千元【考点】线性回归方程【专题】概率与统计【分析】回归方程 50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果【解答】解：对x的
10、回归直线方程=50+80x，=（x+1）+50，=80（x+1）+5080x50=80所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，正确，不正确不满足回归方程的意义故答案为：【点评】主要考查知识点：统计本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点14（5分）已知两曲线参数方程分别为（0）和（tR），它们的交点坐标为（1，）【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程【专题】坐标系和参数方程【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解
11、方程组求得两曲线的交点坐标即可【解答】解：曲线参数方程（0）的直角坐标方程为：；曲线（tR）的普通方程为：；解方程组：得：它们的交点坐标为（1，）故答案为：（1，）【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力属于基础题15如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=4，CD=2E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5【考点】相似三角形的性质【专题】解三角形【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积
12、，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果【解答】解：E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EFAB，EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方三、解答题（共6小题，满分80分）16（12分）已知函数f（x）=2sin（x），xR（1）求f（0）的值；（2）设，f（3）=，f（3+）=求sin（+）的值【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函
13、数的图像与性质【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解（2）根据题意可分别求得sin和sin的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cos和cos的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案【解答】解：（1）f（x）=2sin（x），xR，f（0）=2sin（）=1（2）f（3）=2sin=，f（3+）=2sin=sin=，sin=，cos=，cos=sin（+）=sincos+cossin=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数考查了对三角函数基础公式的熟练记忆17（13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分用xn表示编号为n（n=1，2，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号
14、n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果【解答】解：（1）根据平均数
15、的个数可得75=，x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P=0.4【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目18（13分）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A，B，B分别为的中点，O1，O1，O2
16、，O2分别为CD，CD，DE，DE的中点（1）证明：O1，A，O2，B四点共面；（2）设G为A A中点，延长AO1到H，使得O1H=AO1证明：BO2平面HBG【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】（1）要证O1，A，O2，B四点共面，即可证四边形BO2AO1为平面图形，根据AO1与BO2在未平移时属于同一条直径知道AO1BO2即BO2AO1再根据BO2=AO1=1即可得到四边形BO2AO1是平行四边形，则证（2）建立空间直角坐标系，要证BO2平面HBG只需证，根据坐标运算算出，的值均为0即可【解答】证明：（1）B，B分别
17、是中点BO2BO2AO1与BO2在未平移时属于同一条直径AO1BO2BO2AO1BO2=AO1=1四边形BO2AO1是平行四边形即O1，A，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2（0，1，2），H（1，1，2），A（1，1，0），G（1，1，1），B（1，1，2）则=（1，0，2），=（2，2，1），=（0，2，0）=0，=0BO2BG，BO2BH即，BHBG=B，BH、BG面HGBBO2平面HBG【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识
18、，属于中档题19（14分）设a0，讨论函数f（x）=lnx+a（1a）x22（1a）x的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1a）x22（1a）x+1，x（0，+），讨论a=1，a1与0a1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性【解答】解：定义域x|x0f（x）=设g（x）=2a（1a）x22（1a）x+1，x（0，+）若a=1，则g（x）=10在（0，+）上有f（x）0，即f（x）在（0，+）上是增函数若a1则2a（1a）0，g（x）的图象开口向下，此时=2（1a）242a（1a）1=4（1a
19、）（13a）0方程2a（1a）x22（1a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x10x2在（0，）上g（x）0，即f（x）0，f（x）是增函数；在（，+）上g（x）0，即f（x）0，f（x）是减函数；若0a1则2a（1a）0，g（x）的图象开口向上，此时=2（1a）242a（1a）1=4（1a）（13a）可知当a1时，0，故在（0，+）上，g（x）0，即f（x）0，f（x）是增函数；当0a时，0，方程2a（1a）x22（1a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足0故在（0，）和（，+）上g（x）0，即f（x）0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）0，即f（x）0，f（
20、x）是减函数【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题20（14分）设b0，数列an满足a1=b，an=（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2anbn+1+1【考点】数列递推式；数列与不等式的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可（2）由于本题中条件
21、较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的【解答】解：（1）（n2），（n2），当b=1时，（n2），数列是以为首项，以1为公差的等差数列，=1+（n1）1=n，即an=1，当b0，且b1时，（n2），即数列是以=为首项，公比为的等比数列，=，即an=，数列an的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b0，且b1时，an=，要证对于一切正整数n，2anbn+1+1，只需证2bn+1+1，即证=（bn+1+1）（bn1+bn2+b+1）=（b2n+b2n1+bn+2+bn+1）+（bn1+b
22、n2+b+1）=bn（bn+bn1+b2+b）+（+）bn（2+2+2）=2nbn所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2anbn+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧21（14分）在平面直角坐标系xOy中，
23、直线l：x=2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；压轴题；转化思想【分析】（1）由于直线l：x=2交x轴于点A，所以A（2，0），由于P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP，可以设点P，由于满足MPO=AOP，所以分析出M
24、NAO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，MPO=AOP，动点M满足MPl或M在x的负半轴上，设M（x，y）当MPl时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x1）当M在x的负半轴上时，y=0（x1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=
25、4x+4（x1）或y=0（x1）（2）由题意画出图形如下：由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）是以（1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H （3）如图，设抛物线顶点A（1，0），则直线AT的斜率，点T（1，1）在抛物线内部，过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，当K0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（0，+）【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想