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1、人教版九年级上册人教版九年级上册期末总复习典型题期末总复习典型题第二十一章一元二次方程第二十三章旋转CONTENT 目 录第二十二章二次函数第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个未知数求知数的最高次数是求知数的最高次数是2 2配配 方方 法法求求 根根 公式法公式法直接开平方法直接开平方法因因 式式 分解法分解法22
2、4204bbacbxcaa当时 ,0 00ABAB化 成或20 xm mxm 化成二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数20 0axbxca化 成 一 般 形 式判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？次方程，请说明理由？1、(x1) 、x22x=8、xy+5、xx6、ax2 + bx + c3、x2+ x12 22 2、若方程、若方程是关于是关于x x的一元二次方程，则的一元二次方程，则m m的值为的值为 。02) 1()2(22xmxmm3.3.若若x=2x=2是方程是方程x x2 2+ax-8
3、=0+ax-8=0的解，则的解，则a=a= ; ;2 24、写出一个根为、写出一个根为5的一元二次方程的一元二次方程 。1 1、若、若 是关于是关于x x的一元二次的一元二次方程则方程则m m 。02222xmxm 2用适当的方法解下列方程用适当的方法解下列方程 24310 xx 2130 xx 22 (21)90 x 2341xx 2130 xx因式分解法：因式分解法：1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是: :方程左边能够分方程左边能够分解为两个因式的积解为两个因式的积, ,而右边等于而右边等于0 0的方程的方程; ;2.2.形如形如: :ax2+bx=o(即常数即常数C=0).
4、 .因式分解法的一因式分解法的一般般步骤步骤: :一移一移-方程的右边方程的右边=0;=0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解; ;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程; ;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解; ; 22 (21)90 x直接开平方法：直接开平方法：1.1.用开平方法的用开平方法的条件条件是是: :缺少一次项的缺少一次项的一元二次方程，用开平方法比较方便一元二次方程，用开平方法比较方便; ;2.2.形如形如: :ax2+c=o (即没有一次项即没有一次项). . a(x+m)2=k 2341xx配方法：配方法：用配方法的用配方法的条件条件是
5、是: :适应于任何一个适应于任何一个一元二次方程，但是在没有特别要求的一元二次方程，但是在没有特别要求的情况下，除了形如情况下，除了形如x2+2kx+c=0 用配方法用配方法外，一般不用外，一般不用;(;(即二次项系数为即二次项系数为1 1，一次项系数是偶数。）一次项系数是偶数。）配方法的一般配方法的一般步骤步骤: :一化一化-把把二次项系数二次项系数化为化为1(方程的两边同方程的两边同 时除以二次项系数时除以二次项系数a) 二移二移-把常数项移到方程的把常数项移到方程的右边右边;三配三配-把方程的左边配成一个把方程的左边配成一个完全平方式完全平方式;四开四开-利用利用开平方法开平方法求出原方
6、程的两个解求出原方程的两个解.一化、二移、三配、四开、五解一化、二移、三配、四开、五解. .公式法：公式法：用公式法的用公式法的条件条件是是: :适应于任何一个适应于任何一个一元二次方程，先将方程化为一般形式，一元二次方程，先将方程化为一般形式，再求出再求出b2-4ac的值，的值， b2-4ac0则方程有实则方程有实数根，数根， b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；当当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当当b2-4ac0a0当当x=0,yx=0,y最小最小=0=0a0a0当当x=-x=-m,ym,y最小最小=0=0
7、a0a0当当x=-x=-m,ym,y最小最小=k=k)44,2, 02abacyabxa最小当a0a0，x x- -m,m,y y随随x x增大而减小增大而减小 x-m,y随随x增大而增大增大而增大a0a0，x x- -b/2a,b/2a,y y随随x x增大而减小增大而减小 x-b/2a,y随随x增大而增大而增大增大顶点坐标顶点坐标与与X轴的交点坐标轴的交点坐标与与Y轴的交点坐标及它轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点（ ， ）ab2abac442(x1,0) (x2,0)(0, c) ab( , c) （ ， ）ab2abac442x1x2Oxycab( , c) 对称轴直
8、线对称轴直线x=x=ab2(1) y=2(x+2)2是由是由 向向 平移平移 个单位得到个单位得到(2) y=-2x2-2是由是由 向向 平移平移 个单位得到个单位得到(3) y=-2(x-2)2+3是由是由 向向 平移平移 个单位，个单位，再再向向 平移平移 个单位得到个单位得到(4) y=2x2+4x-5是由是由 向向 平移平移 个单位，个单位，再再向向 平移平移 个单位得到个单位得到(5) y=2x2向左平移向左平移2个单位，再向下平移个单位，再向下平移3个单位得到个单位得到函数解析式是函数解析式是 。y=2(x+2)2-3y=2x2左左2y=-2x2下下2y=-2x2右右2上上3y=2
9、x2左左1 下下7（6 6）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2-4x-5 -4x-5 ， 求下列问题求下列问题y=-2(x+1)2-8开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标最值最值怎样平移怎样平移x x在什么范围，在什么范围，y y随随x x增增大而增大大而增大与坐标轴的交点坐标与坐标轴的交点坐标与与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为A,B,A,B,与与y y轴的交点为轴的交点为C,C,则则S SABCABC= = . .在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点P,P,使得使得S SABPABP是是ABCABC面积的面积的2 2倍倍, ,若存在，请求出点若存在，请求出点P P的
10、坐标，若不存在，请说明的坐标，若不存在，请说明理由理由当当x为何值时，为何值时，y0（7 7）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的顶点坐标（的顶点坐标（1 1，-2-2），求），求b b，c c的值的值（8 8）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2+4x+c+4x+c的顶点坐标在的顶点坐标在x x轴上，轴上，求求c c的值的值（9 9）已知二次函数）已知二次函数y=xy=x2 2+4x+c+4x+c的顶点坐标在直线的顶点坐标在直线y=2x+1y=2x+1上，求上，求c c的值的值2 2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（m, km, k），通常），
11、通常设抛物线解析式为设抛物线解析式为_3 3、已知抛物线与、已知抛物线与x x 轴的两个交点轴的两个交点(x(x1 1,0),0)、 (x(x2 2,0),0),通常设解析式为通常设解析式为_1 1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)y=a(x+m)y=a(x+m)2 2+k+k(a0(a0) y=a(x-x y=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) ) (a0(a0)如何求抛物线解析式常用的三种方法如何求抛物线解析式常用的三种方法一般式一般式顶点式顶点式交点式或两根式交点式或两根式4.4.
12、公式法公式法1.1.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点（0 0，0 0），（），（1 1，3 3），（），（2 2，8 8）。）。如何求下列条件下的二次函数的解析式如何求下列条件下的二次函数的解析式:3.3.已知二次函数的图象的对称轴是直线已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,x=3,并且经过点并且经过点(6,0),(6,0),和和(2,12)(2,12)2.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为已知二次函数的图象的顶点坐标为（2 2，3 3），且图象过点（），且图象过点（3 3，2 2）。）。4.4.矩形的周长为矩形的周长为6060，长为，长为x x，面积为，面积为y y
13、，则，则y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式 。（1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac00B a0,bB a0,b2 2-4ac0-4acb b 0 0），今在四边上分别选取），今在四边上分别选取E E、F F、G G、H H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=xAE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？花园面积最大？DCABGHFEab b4 4.
14、. 如如图，在一面靠墙的空地上用长为图，在一面靠墙的空地上用长为2424米的篱笆，围成中间隔有米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S平方米。平方米。(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)(2)当当x x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，则求围成花圃的最大面积米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解：解： (1) AB(1) A
15、B为为x x米、篱笆长为米、篱笆长为2424米米 花圃宽为（花圃宽为（24244x4x）米）米 (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8米米(2)当当x 时，时，S最大值最大值 36（平方米）（平方米）32ababac442 S Sx x（24244x4x） 4x4x2 224 x 24 x （0 x60 x6） 0244x 8 4x6当当x4m时，时，S最大值最大值32 平方米平方米5.5.某企业投资某企业投资100100万元引进一条产品加工生产线，若不万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利计维修、保养费用，预计投产后每年可创利3333万。该万。该生产线投产后，
16、从第生产线投产后，从第1 1年到第年到第x x年的维修、保养费用累年的维修、保养费用累计为计为y(y(万元万元) )，且，且y=axy=ax2 2+bx,+bx,若第若第1 1年的维修、保养年的维修、保养 费用为费用为2 2万元，到第万元，到第2 2年为年为6 6万元。万元。（1 1）求）求y y的解析式；的解析式；（2 2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解解:（1）由题意，）由题意，x=1时，时，y=2；x=2时，时，y=2+4=6,分别代入分别代入y=ax2+bx,得得a+b=2,4a+2b=6,解得解得:a=1,b=1, y=x2+x.（2
17、）设）设g33x-100-x2-x,则则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.由于当由于当1x16时，时，g随随x的增大而增大，故当的增大而增大，故当x=4时，即第时，即第4年可年可收回投资。收回投资。（3）销售量可以表示为）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为）销售价可以表示为（50+x）元）元 个（2）一个商品所获利）一个商品所获利可以表示为可以表示为（50+x-40）元）元（4）共获利）共获利可以表示为可以表示为7. 7. 如图，已知直线如图，已知直线 y= -y= -x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点B B、C C，抛物线，抛物线y= -xy
18、= -x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点B B、C C，点，点A A是抛物线是抛物线与与x x轴的另一个交点。轴的另一个交点。 （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；解：令解：令y=0，则，则 x+3=0，x=3， B（3，0），），令令x=0， 则则y=3，C（0，3），），b=2c=3解得解得-9+3b+c=0c=3得得 y= -x2+2x+3（3，0）（0，3）xyoABC7.7.如图，已知直线如图，已知直线 y= -y= -x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点B B、C C，抛物线，抛物线y= -xy= -x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点B
19、B、C C，点，点A A是抛物线是抛物线与与x x轴的另一个交点。轴的另一个交点。 （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为）若抛物线的顶点为D，求四边形，求四边形ABDC的面积；的面积；（3，0）（0，3）BCDxyoAE（1，4）（1，0）（-1，0）解：解：S四边形四边形ABDC=SAOC+S梯形梯形OEDC+S EBD=9= AO OC + （OC+ED） OE+ EB ED212121= 13+ （3+4） 1+ 3-1 4 2121217.7.如图，已知直线如图，已知直线 y= -y= -x+3x+3与与X X轴、轴、y y轴分别交于点轴分别交于点B B、
20、C C，抛物线，抛物线y= -xy= -x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点B B、C C，点，点A A是抛物线是抛物线与与x x轴的另一个交点。轴的另一个交点。 （4）第（第（3）题改为）题改为在直线在直线y= -x+3上是否存在上是否存在点点P，使，使SPAC= S PAB？若存在，求出点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。的坐标；若不存在，说明理由。答案一样吗？答案一样吗？21（3，0）（0，3）xyoABCP（3）若点）若点P在直线在直线 BC上且上且SPAC= S PAB，求求P的坐标；的坐标；21Qy（3，0）（0，3）xoABCPQP（3，0）（0，3）xyoABC
21、Q第二十三章第二十三章 旋转旋转这个定点称为这个定点称为旋转中心旋转中心，转动的角称为，转动的角称为旋转角旋转角。1 1、概念：、概念：在平面内在平面内，把一个图形绕着某一个把一个图形绕着某一个定点定点转转动一个角度动一个角度的图形变换叫做的图形变换叫做旋转旋转。（）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的（）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的角度角度3、旋转的基本性质旋转的基本性质（）（）图形的形状和大小图形的形状和大小都没有发生都没有发生变变化化（）对应线段相等，对应角相等（）对应线段相等，对应角相等（）对应点到旋转中心的距离相等（）对应点到旋转中心的距离相等2 2、图形旋转的三
22、个要素：、图形旋转的三个要素：（1 1）旋转中心，（）旋转中心，（2 2）旋转方向（）旋转方向（3 3）旋转角度旋转角度 4 4、把一个图形绕着某一点旋转、把一个图形绕着某一点旋转180180度度, ,如果它能够和如果它能够和 另一个图形重合另一个图形重合, ,那么那么, ,我们就说这两个图我们就说这两个图关于这个点关于这个点对称对称或或中心对称中心对称, ,这个点就叫这个点就叫对称中心对称中心, ,这两个图形这两个图形中中的的对应点对应点, ,叫做叫做关于中心的对称点关于中心的对称点. .性质： （1）在成中心对称的两个图形中在成中心对称的两个图形中, ,连接对称点的线段都连接对称点的线段都
23、经过对称中心经过对称中心, ,并且被对称中心平分并且被对称中心平分. .反过来反过来, ,如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点点, ,并且都被该点平分并且都被该点平分, ,那么这两个图形一定关于这一点那么这两个图形一定关于这一点成中心对称成中心对称. .（2 2）关于中心对称的两个图形是全等形。关于中心对称的两个图形是全等形。5 5. .中心对称图形的定义中心对称图形的定义: : 把一个图形绕着某一点旋转把一个图形绕着某一点旋转1801800 0, ,如果如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合旋转后的图形能够和原来的图形相互重合, ,那么那么这个
24、图形叫中心对称图形。这个图形叫中心对称图形。6 6. .中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有 区别的概念区别的概念 区别区别: : 中心对称指两个全等图形的相互位置关系中心对称指两个全等图形的相互位置关系 中心对称图形指一个图形本身成中心对称中心对称图形指一个图形本身成中心对称联系联系: : 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体体, ,则它们是中心对称图形则它们是中心对称图形 如果将中心对称图形如果将中心对称图形, ,把对称的部分看成把对称的部分看成两个图形两个图形, ,则它们是关于中心对称。则它们是关于中心
25、对称。7 7、两个点关于原点对称时，它们的坐标、两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反符号相反，即点即点P P（x, x,y y）关于原点关于原点OO的对称点的对称点P P/ /（- -x, x,-y-y） 如图，四边形如图，四边形AOBC，它绕它绕O点旋转得点旋转得 到四边形到四边形DOEF. 在这在这个旋转过程中：个旋转过程中： （1）旋转中心是什么）旋转中心是什么? （2）经过旋转，点）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？分别移动到什么位置？ （3）旋转角是什么？）旋转角是什么？ （4）AO与与DO的长有什么关系？的长有什么关系？BO与与EO呢？呢？ （5）AODAOD与与BOEBO
26、E有什么大小关系？有什么大小关系？练一练练一练旋转中心是旋转中心是O点点D和点和点E的位置的位置AO=DO，BO=EOAOD=BOEAOD=BOEAODAOD和和BOEBOE都是旋转角都是旋转角1 1 选择题：选择题：下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（是（ ）A A 角角 B B 等边三角形等边三角形 C C 线段线段 D D平行四边形平行四边形C C（2 2） 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（称图形的是（ ）A A平行四边形平行四边形 B B矩形矩形 C C菱形菱形 D D正方形正方
27、形A（3 3） 已知：下列命题中真命题的个数是（已知：下列命题中真命题的个数是（ ） 关于中心对称的两个图形一定不全等关于中心对称的两个图形一定不全等 关于中心对称的两个图形是全等形关于中心对称的两个图形是全等形 两个全等的图形一定关于中心对称两个全等的图形一定关于中心对称A 0 B 1 C 2 D 3A 0 B 1 C 2 D 3B1右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（生成的则每次旋转的度数可以是（ ）A900 B600 C450 D300C2如图所示，在图甲中，如图所示，在图甲中，RtOAB绕其直角顶点绕其直
28、角顶点O每次旋转每次旋转90，旋转三次得到右边的图形在图乙中，四边形旋转三次得到右边的图形在图乙中，四边形OABC绕绕O点每次旋点每次旋转转120，旋转二次得到右边的图形，旋转二次得到右边的图形乙OABCOA(C1)BA1(C2)B1B2C (A2)OABOABA3B3B1A1B2A2甲下列图形中，不能通过上述方式得到的是（下列图形中，不能通过上述方式得到的是（ ） (A) (B) (C) (D)D3.3.以下四家银行行标中，轴对称图形的有以下四家银行行标中，轴对称图形的有 （ ）A. B. C. D. A4. 下列说法正确的是下列说法正确的是( )A.旋转改变图形的形状和大小旋转改变图形的形
29、状和大小B.平移改变图形的位置平移改变图形的位置C. 图形可以向某方向旋转一定距离图形可以向某方向旋转一定距离D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到由平移得到的图形也一定可由旋转得到B 5. 5.下列图形中，是中心图形又是轴对称图形的有（下列图形中，是中心图形又是轴对称图形的有（1 1）平行四边形；菱形；矩形；正方形；等腰梯平行四边形；菱形；矩形；正方形；等腰梯形；线段；角；形；线段；角；（A A）2 2个；个； （B B）3 3个；个； （C C）4 4个；个； （D D）5 5个；个；6.6.请问以下三个图形中是轴对称图形的请问以下三个图形中是轴对称图形的有有 ，是中心对称图形的有，是中心
30、对称图形的有 。一石激起千层浪汽车方向盘铜钱7 7、如图，圆心角都是、如图，圆心角都是9090度的扇形度的扇形OABOAB与扇形与扇形OCDOCD叠放在一起，叠放在一起，OA=3OA=3，OC=1OC=1，分别连接，分别连接ACAC、BDBD，则图中阴影部分的面积为（，则图中阴影部分的面积为（ ）AOBDC8 8、如图，、如图，P P是正三角形是正三角形ABCABC内一点，内一点，PA=6PA=6，PB=8PB=8，PC=10PC=10，若三角形，若三角形PACPAC绕点绕点A A逆时针旋转后，得到逆时针旋转后，得到三角形三角形P P/ /ABAB，则，则P P与与P P/ /之间的距离为（）
31、，之间的距离为（），APB=APB=（）（）AP/PCB9 9、如图，三角形、如图，三角形ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，CA=CBCA=CB，四边形四边形CDEFCDEF是正方形，连结是正方形，连结AFAF、BDBD，求证：求证：AF=BDAF=BDFEDCAB9如图，在线段如图，在线段BDBD上取一点上取一点C C，（，（BCBCCDCD）以）以BCBC，CDCD为为边分别作正边分别作正ABCABC和正和正ECDECD，连结，连结ADAD交交ECEC于点于点Q Q，连结，连结BEBE交交ACAC于点于点P P，连结，连结PQ,ADPQ,AD与与BEBE交于点交于点F F，（
32、1 1）图中哪些三角形可以）图中哪些三角形可以通过旋转互相得到？通过旋转互相得到？ （2 2）BFDBFD等于多少度？等于多少度？（3 3）PQPQBDBD吗？若是，吗？若是，说明理由？说明理由？ FQPBDCAE 10.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，M M为为BCBC边上的一点，且边上的一点，且AM=DC+CMAM=DC+CM，N N为为DCDC的中点，试说明的中点，试说明ANAN平分平分DAMDAMNABCDM 11. 11.如图，平面上有两个边长都为如图，平面上有两个边长都为8 8的正方形的正方形ABCDABCD和正方形和正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D
33、1 1, ,且正方形且正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的顶点的顶点A A1 1为正方形为正方形ABCDABCD的中心，当正方形的中心，当正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1绕点绕点A A1 1旋旋转时，计算图（转时，计算图（3 3）中两个正方形重合的面积是多）中两个正方形重合的面积是多少？图少？图2 2呢？计算图（呢？计算图（1 1）中，两个正方形重合部分）中，两个正方形重合部分的面积，的面积， 并说明为什么？并说明为什么？ 图（1）ABCDA1D1C1B1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1图（2）图（3）12、如图，方格纸中的每个小方格都
34、是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标分别为(1，1)，(4，2)，(2，3). (1)画出ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的A1B1C1；(2)画出ABC向关于原点O对称的A2B2C2；(3)以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为 .13.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度 ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示 （1）将ABC向上平移3个单位后，得到A1B1C1，请画出A1B1C1，并直接写出点A1的坐标（2）将ABC绕点O顺时针旋转90，请画出旋转后的A2B2C2，并求点B所
35、经过的路径长（结果保留14.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB = + 1，AD = 。 (1)如图，将矩形纸片向上方翻折，使点如图，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在恰好落在AB边上的边上的D处，压平折痕交处，压平折痕交CD于点于点E，则折痕，则折痕AE的长为的长为_； (2)如图，再将四边形如图，再将四边形BCED 向左翻折，压平后得四边形向左翻折，压平后得四边形BCED，BC交交AE于点于点F，则四边形，则四边形BFED的面积为的面积为_； (3)如图，将图中的如图，将图中的AED 绕点绕点E顺时针旋转顺时针旋转角，得角，得AED，使得，使得EA 恰好经过顶点恰好经过顶点B，
36、求弧，求弧DD 的长。的长。(结结果保留果保留)15.如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，A=30，AB=2将将ABC绕顶点绕顶点A顺时针方向旋转至顺时针方向旋转至ABC的位的位置，置，B，A，C三点共线，则线段三点共线，则线段BC扫过的区域面积扫过的区域面积为为 16.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD中，中，BE平分平分DBC且交且交CD边于边于点点E，将，将BCE绕点绕点C顺时针旋转到顺时针旋转到DCF的位置，并延长的位置，并延长BE交交DF于点于点G（1）求证：）求证：BDGDEG；（2）若）若EGBG=4，求，求BE的长的长17.如图，在如图，在ABC中，中，AB= A
37、C，ADBC于点于点D，将，将ADC绕点绕点A顺时针旋转，使顺时针旋转，使AC与与AB重合，点重合，点D落在点落在点E处，处，AE的延长线交的延长线交CB的延长线于点的延长线于点M，EB的延长线交的延长线交AD的延长的延长线于点线于点N求证：求证：AM=AN第二十四章第二十四章 圆圆学习目标：学习目标：1、系统熟悉圆的有关概念。、系统熟悉圆的有关概念。2、巩固有关圆的一些性质和定理。、巩固有关圆的一些性质和定理。3、进一步掌握应用圆的有关知识解、进一步掌握应用圆的有关知识解决某些数学问题。决某些数学问题。本章知识结构图本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之
38、间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积学习要求：1、圆是如何定义的？2、同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？3、点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和
39、圆呢？怎样判断这些位置关系呢？4、圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？5、正多边形和圆有什么关系？6、如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积。一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.圆的定义圆的定义:在一个平面内，线段绕它的一个固在一个平面内，线段绕它的一个固定端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做定端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆；到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆圆；到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2.有关概念有关概念:(1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧O二二. 圆的基本性质圆的基本性质1.圆
40、的对称性圆的对称性:(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是经过圆心的每一条直线都是它的对称轴它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性即圆具有旋转不变性.2.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.ADBPCCD是圆O的直径,CDABAP=BP,ACBC=ADBD=3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等
41、圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.ABDCO COD =AOBABCD= AB=CD1、如图、如图,已知已知 O的半径的半径OA长为长为5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则OC的长的长为为 _.OABC3提示：提示：AC=BC弦心距半径半弦长反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求
42、出第三个量：CDBAO2 2：如图，圆：如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ，直径，直径CEABCEAB于于D D，DCDC2 2，求，求半径半径OCOC的的长。长。DCEOAB垂径3、如图，、如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点， PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅助线助线。圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形的问题。角形的问题。MAPBOA 4.圆周
43、角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角叫做圆周角.性质性质:(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半都等于它所对的圆心角的一半.OABCBAC= BOC12OBADEC在同圆或等圆中在同圆或等圆中, 如果两个圆周角相等，那么它所如果两个圆周角相等，那么它所对的弧一定相等对的弧一定相等.圆周角的性质圆周角的性质(2)ADB与与AEB 、ACB 是同弧是同弧所对的圆周角所对的圆周角ADB=AEB =ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角是直角，半圆或直径所对的圆周角是直角，900
44、的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.OABCAB是是 O的直径的直径 ACB=900圆周角的性质圆周角的性质:154、如、如图，在图，在 O中，弦中，弦AB等于等于 O的半径，的半径，OCAB交交 O于于C，则，则ABC=_度度ABCOD3.6作圆的直径与找作圆的直径与找90度的圆周度的圆周角也是圆里常用的辅助线角也是圆里常用的辅助线5、如、如图在图在 O中弦中弦AB1.8cm,圆周角圆周角ACB30O，则则 O的直径等于的直径等于cm7.如图，如图，AB是是 O的直径的直径,BD是是 O的弦，延长的弦，延长BD到到点点C,使使DC=BD,连接连接AC交交 O与点与点F.（1）AB与
45、与AC的大小有什么的大小有什么关系关系?为什么为什么?（2）按角的大小分类）按角的大小分类, 请你请你判断判断ABC属于哪一类属于哪一类三角形，并三角形，并说明说明理由理由 。O OF FD DC CB BA A6. 在在 O中，弦中，弦AB所对的圆心角所对的圆心角AOB=100，则弦，则弦AB所对的圆周角为所对的圆周角为_.500或或1300 8.如图在比赛中如图在比赛中,甲带球向对方球门甲带球向对方球门PQ进攻进攻,当他带球当他带球冲到冲到A点时点时,同伴乙已经助攻冲到同伴乙已经助攻冲到B点点,此时甲是直接射此时甲是直接射门好门好,还是将球传给乙还是将球传给乙,让乙射门好让乙射门好?为什么
46、为什么?PQAB(2)点在圆上点在圆上(3)点在圆外点在圆外(1)点在圆内点在圆内1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系ACB如果规定点与圆心的距离为如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为圆的半径为r,则则d与与r的大小关系为的大小关系为:点与圆的位置关系点与圆的位置关系 d与与r的关系的关系 点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外drdrdr三三.与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系:9.在在Rt ABC中，中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D为为AB的中点，的中点，E为为AC的中点，以的中点，以B为圆心，为圆心，BC为半径作为半径作 B，问，问：（1）A、C、D、E与与 B
47、的位置关系如何？的位置关系如何？（2）AB、AC与与 B的位置关系如何？的位置关系如何？EDCAB10.如图如图,OA是是 O的半径的半径,已知已知AB=OA,试探索当试探索当OAB的大小如何变化时点的大小如何变化时点B在圆内在圆内?点点B在圆上在圆上?点点B在圆外在圆外?ABO2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系:OOOlll(1) 相离相离:(2) 相切相切:(3) 相交相交:一条直线与一个圆没有公共点一条直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个叫做直线与这个圆相离圆相离.一条直线与一个圆只有一个公共点一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与这个叫做直线与这个圆相切圆相切.一条直线与一
48、个圆有两个公共点一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这叫做直线与这个圆相交个圆相交.OOl(1)当直线与圆相离时当直线与圆相离时dr;(2)当直线与圆相切时当直线与圆相切时d =r;(3)当直线与圆相交时当直线与圆相交时dr.直线与圆位置关系的识别直线与圆位置关系的识别:drldrOldr设圆的半径为设圆的半径为r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d,则则:1.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的
49、切线。圆的切线。OAlOA是半径是半径,OA l l直线直线l l是是 O的切线的切线.切线的性质切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)圆心到切线的距离等于圆的半径圆心到切线的距离等于圆的半径.(3)直线与圆有唯一的公共点直线与圆有唯一的公共点.OAl OA l l直线直线l l是是 O的切线的切线,切点为切点为A切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。BAPOPA、PB为为 O的切线的切线PA=PB,APO= BPO过过D点作点作DF AC于于F点，点，然后证明然后证明DF等于圆等于圆D的半的
50、半径径BD 12.如如图，图，AB是是 O的直径，点的直径，点D在在AB的延长线上的延长线上,且且BD=OB,点点C在在 O上上,CAB=30.(1)CD是是 O的切线吗？说明你的理由的切线吗？说明你的理由;(2)AC=_，请给出合理的解释，请给出合理的解释.A B C D O 只要连接只要连接OC，而后，而后证明证明OC垂直垂直CD不在同一直线上的三点确定一个圆.OCBA三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与