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1、精选优质文档-倾情为你奉上解三角形 常州二中 徐金雅课 题：正弦定理（两课时）教学目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题。教学过程：一、 引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？（创设情景）早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是公里，你能设计一种近似的测量方法吗？提出课题：正弦定理二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径） 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c=
2、=2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3
3、 解：，例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC评述：此题可以启发学生
4、利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.四、课堂练习：1.在ABC中，,则k为( )A.2R B.R C.4R D.(R为ABC外接圆半径)2.ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( )A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形3在ABC中，求证：参考答案：1.A，2.A3.五、小结 正弦定理，两种应用（重点：判断解的情况，利用三角形的边与角的关系，判断三角形形状）几何画板：验证正弦定理第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，在操作区作出任意三角形ABC。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中三角形
5、的三条边，依次单击“度量”“长度”菜单命令，度量3条边的长度值，度量值显示在操作区里，第2步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中点A、点B和点C，依次单击“度量”“角度”菜单命令，角ABC的度量值出现在操作区。同样方法，度量角BCA和角CAB的角度。然后同时选中3组角度度量值，按住鼠标左键不放，当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3组数据移动到合适位置。第3步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中操作区中线段AB的度量值和角BCA的度量值，依次选择“度量”“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”列表下的“mAB”、计算器上的“”，然后单击“函数”下拉列表，选择“sin”，再单
6、击“数值”下拉列表下的“mBCA”，单击“确定”按钮，操作区中出现正弦定理的一个比值。同样方法，计算出另外两条边和所对角的正弦比值。然后选中3个比值，拖动到适当位置，第4步，同时选中3个比值，依次单击“图表”“制表”菜单命令，在操作区制作出一个表格，如图93所示。拖动三角形的任意一个顶点，可看到操作区的数值变化，但表格中的比值始终相等第5步，单击工具箱上“选择箭头”工具，选中表格，然后双击表格，可在表格中添加一行纪录。依次单击“文件”“保存”菜单命令，保存文件。余弦定理（两课时）教学目的（1） 使学生掌握余弦定理及其证明方法（2） 使学生初步掌握余弦定理的应用教学重点与难点教学重点是余弦定理及
7、其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理教学过程设计一、复习师：直角ABC中有如下的边角关系（设C=90）：（1）角的关系A+B+C=180A+B=90（2）边的关系c2=a2+b2二、 创设情境为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB=30,CBA=75,AB=120m，则河的宽度为-引入：在ABC中，当C=90时，有c2=a2+b2若a，b边的长短不变，变换C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考如图1，若C90时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2a2+b2如图2，若C90时，由于AC与BC的长度不变，所以AB长度变长，即c2a2
8、+b2经过议论学生已得到当C90时，c2a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考如图3，当C为锐角时，作BDAC于D，BD把ABC分成两个直角三角形：在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCcosC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化为c2=（b-acosC）2+（asinC）2，c2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2-2abcosC我们可以看出C为锐角时，ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2-2abcosC的关系从以上分析过程，我们对C是锐角的情况有了清楚认识我
9、们不仅要认识到，C为锐角时有c2=a2+b2-2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的这种未知向已知的转化在数学中经常碰到下面请同学们自己动手推导结论如图4，当C为钝角时，作BDAC，交AC的延长线于DACB是两个直角三角形之差在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=-CBD=BCsin（-C），CD=BCcos（-C）所以AB2=AD2+BD2化为c2=（AC+CD）2+BD2=b+acos（-C）2+asin（-C）2=b2+2abcos（-C）+a2cos2（-C）+a2sin2（-C）=b2+2abcos（-C）+a2因为cos（-C）=
10、-cosC，所以c2=b2+a2-2abcosC这里C为钝角，cosC为负值，-2abcosC为正值，所以b2+a2-2abcosCa2+b2，即c2a2+b2从以上我们可以看出，无论C是锐角还是钝角，ABC的三边都满足c2=a2+b2-2abcosC这就是余弦定理我们轮换A，B，C的位置可以得到a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosB三、证明余弦定理在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦现在我们已学
11、完了三角函数，无论是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论我们仍就以C为主进行证明如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）请同学们分析B点坐标是怎样得来的生：ACB=C，CB为ACB的终边，B为CB上一点，设Bx=acosC，y=asinC师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？生：|AB|2=（acosC-b）2+（asinC-0）2=a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C=a
12、2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-2abcosC大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法这种方法以后还要详细学习余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍即：a2=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosB若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理的作用（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边由三角形中大边对大角可知：A为最大的角由余弦定理所以A=120解 由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA所以B
13、C=7以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，则cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广这与RtABC中，C=90的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例六、应用举例例1 在ABC中，求证c=bcosA+acosB师：请同学们先做几分钟生甲：如图6，作CDAB于D在RtACD中，AD=bcosA；在RtCBD中，DB=acosB而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB师：这位学生的证
14、法是否完备，请大家讨论生乙：他的证法有问题，因为作CDAB时垂足D不一定落在AB上若落在AB的延长线上时，cAD+DB，而c=AD-DB师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？生丙：还不够因为作CDAB时，垂足D还可以落在B处师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了请大家借用余弦定理证明所以c=acosB+bcosA师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？生：因为余弦定理本身适用于各种三角形例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求
15、ABC的面积师：我们通常求三角形的面积要用公式这个题目，我们应该如何下手呢？生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式解 因为a=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A为ABC内角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长请同学们先设计解题方案生甲：我想在ABC中，已知三边的长可求出cosB在BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD师：这个方案很好请同学很快计算出结果解 设D为AB中点，连CD在ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我
16、们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在BCE中解决已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cosCBE，便可解决，但我不知怎样求cosCBE师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点（学生开始议论）生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得ACBE，CBE与ACB互补我能利用余弦定理求出cosBCA，再利用互补关系解出cosCBE师：大家看看他讲得好不好请大家用第二套方案解题解 延长CD至E，使DE=CD因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形所以BE=AC=8，ACB+CBE=180
17、在ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的七、总结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题注意在（0，）范围内余弦值和角的一一对应性若cosA0则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA0，则A为钝角另外本节
18、课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法请大家解决问题时要考虑全面如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等八、作业5已知ABC中，acosB=bcosA，请判断三角形的形状课堂教学设计说明1余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视本内容安排两节课适宜第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用2当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性几何画板：验证余弦定理第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，在操作区作出任意三角
19、形ABC。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中三角形的三条边，依次单击“度量”“长度”菜单命令，度量3条边的长度值，度量值显示在操作区里 第2步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中点A、点B和点C，依次单击“度量”“角度”菜单命令，角ABC的度量值出现在操作区。同样方法，度量角BCA和角CAB的角度。然后同时选中3组角度度量值，按住鼠标左键不放，当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3组数据移动到合适位置，第3步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后依次选中线段AB的度量值，依次单击“度量”“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”列表中的mAB、计算器上的平方号“”，然后选择数字“
20、2”，单击“确定”按钮，在操作区得到线段AB的平方值，拖动到适当位置。第4步，选中操作区中显示的线段AC的度量值、线段BC的度量值和角BCA的度量值，依次单击“度量”“计算”菜单命令，弹出对话框，按照上述方法照图95所示的式子计算，然后单击“确定”按钮，在操作区中出现计算值，如图97所示。第5步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，同时选中两个度量值，然后单击“图表”“制表”菜单命令，在操作区绘制出表格。第6步，拖动三角形的任意一个顶点，可看到操作区中的数值变化，可是表格中的数值始终相等。选中表格，双击表格，在表格中添加一行纪录，如图98所示。依次单击“文件”“保存”菜单命令，保存文件。正、余弦定
21、理的应用一、解三角形例1 ABC中，a=2,b=2,C=15o ,解此三角形.解（分别从正弦、余弦定理 出发）例2 ABC中，=c2 ,a cosB=b cosA, 判断三角形的形状。解（如何选正弦、余弦定理解题）例3 ABC中，sinA=2sinB cosC , = 判断三角形的形状。解（根据条件运用正弦、余弦定理解题）二、距离与高度的测量例1 在离海岸不远处的海面上有两个航标P, Q ，现要测量他们之间的距离，在岸边取两点 A, B 测得：AB=50m, PAB=105o , QAB=30o , PBA=45o QBA=135o 例2 海中有岛A，已知A岛四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西
22、向东航行，望见岛在北偏东750，行20海里后见此岛在北偏东300 ，如货轮不改变航行方向继续前进，有无触礁的危险？例3 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300和600，求塔高。例4 甲、乙两楼相距20米 ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为600 ，从甲楼顶望乙楼年顶的俯角为300 ，求甲、乙两楼的高分别是多少？例5 货轮在海上以40km/h，的速度沿方位角为1400 ，的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为1100 ，航行半小时后，船到达C点，观测灯踏A的方位角是650 问货船到达C点时，与灯塔A 的距离。三、 角度的问题例1 某人以时速akm向东行走，此时正刮着
23、时速为akm的南风，则此人感到的风向及风速分别为？例2 渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成1200 角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为？例3 某人若在静水中游泳，速度为4km/h，当水的流速为4km/h，若径直游向对岸，则他的实际速度为？例4 发电厂主控制室的工作人员主要是根据仪表的数据变化加以操作控制的，若仪表高mM，底边距地面nM，如图所示，工作人员坐在椅子上，眼睛距地面一般为1.2M（n1.2），问工作人员坐在什么位置看得最清楚？四、 向量与物理运用例1 平面内三个力F1、F2、F3同时作用于一点而处于平衡状态，已知F1=1N，F2= ，F1与F2 成450角
24、，求F3的大小及F3与F1的夹角。例2 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北450方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 例3 ABC中，BC=8cm，质量M、N同时由C点出发，质点M沿 ，以每秒2cm的速度匀速前进，而质点N沿 ，以每秒1cm的速度匀速前进，两质点同时到达A点，当质点M到达B点时，质点N到达D点，且： =2：3（1）求 ABC的周长（2）求 ABC 的外接圆半径R与内切圆半径r（3）若在某时刻t，t，质点M与N 分别运动到E、F两点，求 AEF 的正弦值专心-专注-专业