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1、弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系洛阳市东升第三中学 冯燕利 学习目标学习目标1.了解圆心角的概念2.探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解 圆的中心对称性和旋转不变性3.能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算和证明垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.1.1.平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .2.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 3.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心垂径定理垂径定理的推论 1.如图，圆O的弦AB8
2、，DC2， 直径CEAB于D，求半径OC的长。 DCEOAB测 试 2.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？.ACDBO1、圆是轴对称图形、圆是轴对称图形2、圆是旋转对称图形圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。（圆的旋转不变性）圆的对称性 垂径定理及其推论 ? 圆心角：我们把的角叫做圆心角.OBA概念概念DABO找出右上图中的圆心角。圆心角有：圆心角有：AOD,BOD,AOB判别下列各图中的角是不是圆心角判别下列各
3、图中的角是不是圆心角，并，并说明理由。说明理由。任意给圆心角，对应出现三个量：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OBA疑问：疑问：这三个量之间会有什么关系呢？这三个量之间会有什么关系呢？显然显然AOBAOBOABAB.ABA B如如图，在图，在 O中，将圆心角中，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋旋转到转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 可得到：OAB 思考：如图，在等圆中，如果思考：如图，在等圆中，如果AOBAO B，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？你发现的等量关系是否依然成立？为什么？O AB由由AOBAO B可得可得到
4、：到：.ABA B弧、弦与圆心角的关系定理小结小结圆心角相等弧相等弦相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等思考思考定理定理“在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件中，可否把条件“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”去掉？为什么？去掉？为什么？温馨提温馨提示示：由弦相等推出弧相等时，由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求这里弧一般要求都是优弧或劣弧都是优弧或劣弧（1）、如果 那么AOBAOB ， 成立吗 ?探究二探究二在同圆中，.ABA B（1）成 立（2）、如果 那么AOBAOB ， 成立吗
5、 ?探究二探究二在同圆中，.ABA B（2）成 立弧、弦与圆心角的关系定理小结小结圆心角相等弧相等弦相等 1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所所对的弦也相等对的弦也相等2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，角相等， 所对的所对的弦相等弦相等3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，角相等，所对的所对的弧相等弧相等在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等等对等定理等对等定理1.判断下列说法是否正确：判断下列说法
6、是否正确：（1）相等的圆心角所对的弧相等。（）相等的圆心角所对的弧相等。（ ）（2）相等的弧所对的弦相等。（）相等的弧所对的弦相等。（ ）（3）相等的弦所对的弧相等。（）相等的弦所对的弧相等。（ ）小试身手小试身手 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗？相等吗？为什么？为什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDAOBCOD AB=CD2、练习、练习CD=ABCD=ABCD=AB
7、 答答 ：OEOF证明：证明： OEAB OF CD ABCD AECF OAOC RTAOE RT COF OEOF证明： AB=ACABC是等腰三角形又ACB=60， ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCOAC=AB例例1 如图，在如图，在 O中，中， AB=AC ,ACB=60,求证：求证：AOB=BOC=AOC60 1、如图，AB是O 的直径， COD=35，求AOE 的度数 AOBCDE BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75解：解：练习练习=DECD=BC=DECD=BC练习练习2、如图，如图，AD=BC, 比比较较AB与与C
8、D的长度的长度，并并证明你的结论。证明你的结论。 OBCAE3、如图，、如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，的半径，弦弦BEOA,求证：求证：AC=AE 练习练习OBCAE3.如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半的半径，弦径，弦BEOA,求证：求证：AC=AE 4 4、如图所示，如图所示，CDCD为为O O的弦，在的弦，在CDCD上取上取CE=DFCE=DF， 连结连结OEOE、OFOF，并延长交，并延长交O O于点于点A A、B B（1 1）试判断）试判断OEFOEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）求证：）求证：AC=BDAC=BD EFOABCD弧、弦与圆心角的关系圆心角相等弧相等弦相等在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等