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1、精选优质文档-倾情为你奉上北 京 交 通 大 学20082009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案一（本题满分8分） 掷两颗均匀的骰子，记 ， 分别计算与 解： 掷两颗骰子，样本点总数为事件含有个样本点，事件含有个样本点所以 ，又事件含有个样本点，所以所以有 ， 二（本题满分10分） 写出随机事件与相互独立的定义（4分） 设随机事件满足：，证明：随机事件与相互独立的充分必要条件是（6分） 解： 如果随机事件与满足：，则称随机事件与相互独立 必要性：因为随机事件与相互独立，而且，所以所以 ；所以有 充分性：由于，所以有 因此有 ，即 ，整理，得 ，这表明，随机事件与相互独立三（本
2、题满分10分） 玻璃杯成箱出售，每箱只，假设各箱中有只，只，只次品的概率分别为，一顾客欲购买玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而该顾客随意从中取出只玻璃杯查看，若这只中无次品，则买下该箱产品，否则退回试求： 顾客买下这箱产品的概率；（5分） 在顾客买下的这箱产品中，确实没有次品的概率（5分） 解： 设：， 由全概率公式，得 ； 由Bayes公式，得 四（本题满分10分） 设随机变量的密度函数为， 试求： （6分）随机变量的数学期望与方差； （4分）随机变量的分布函数 解： 当时，；当时，所以有 五（本题满分10分） 设顾客在某银行等待服务的时间（单位：分钟）的密度函数为一顾客在窗口等待服务
3、，若等待时间超过10分钟，他便离开 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率（5分） 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙（5分） 解： 由于随机变量服从的指数分布，所以的概率密度函数为 设表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则所以，这表明，是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙六（本题满分15分） 设与是相互独立且服从同一分布的两个随机变量其中的分布律为 又设， 写出二维随机变量的联合分布律（5分）； 分别求出随机变量与的边
4、缘分布律（2分）； 判断随机变量与是否独立（4分）； 求协方差（4分） 解： 由与的取值都是，可知与的取值也是 ； ； ； ； ； ； ； ； ；因此二维随机变量的联合分布律及与的边缘分布律为 由于，所以与不独立 的取值为，其分布律为123469所以，； ； ，因此，七（本题满分10分） 某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为元、元、元和元并且这种快餐套餐售出的概率分别为、和若某天该快餐店售出套餐份，试用中心极限定理计算： 该快餐店这天收入至少为元的概率 元套餐至少售出份的概率（附，标准正态分布的分布函数的部分值： 解： 设表示售出一份套餐的收入，则的分布律为则 ， ， 令表示出
5、售的第套快餐套餐的收入，则独立同分布，且的分布都与的分布相同则 设表示售出的份套餐中套餐的份数，则则 八（本题满分6分） 设是取自正态总体中的一个样本试求随机变量的分布（不必求出的密度函数，只需指出是哪一种分布，以及分布中的参数即可） 解： 由于，而且与相互独立，所以 ，由于 ，而且服从二元正态分布，所以与相互独立所以，；而且与相互独立所以，九（本题满分11分） 设总体的密度函数为 ，其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本 . 求未知参数的矩估计；（4分） . 判断是否为参数的无偏估计；（4分） . 求（3分） 解： . ，所以， ，将用样本均值来替换，得未知参数的矩估计为 . 由于，所以
6、，是参数的无偏估计 . ，而 所以， 十（本题满分10分） （7分） 设总体等可能地取值，其中是未知的正整数是取自该总体中的一个样本试求的最大似然估计量 （3分） 某单位的自行车棚内存放了辆自行车，其编号分别为1，2，3，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159试求在上述样本观测值下的最大似然估计值 解： 总体的分布列为 ， 所以似然函数为 ， 当越小时，似然函数越大；另一方面，还要满足：，即 所以，的最大似然估计量为 由上面的所求，可知的最大似然估计值为专心-专注-专业