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1、弧长和扇形面积第一课时 生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？ 弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？（R表示圆的半径，d表示圆的直径）圆的周长公式： 或2Rd圆的面积公式：2R如图所示，在半径为R的 O上，有两动点A、B，当A、B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？当AOB360时，弧AB的长表示什么意思？探究一：弧长的计算公式活动1动画展示，探究新知。重点知识与AOB的大小有关当AOB1时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？ O的周长，即l2
2、R此时弧AB的长是整个圆的周长的 ， 即l 。 136012360R当AOB2时，弧AB的长呢？ 当AOBn时，弧AB的长呢？此时弧AB的长是整个圆的周长的 ， 即l 。 236022360R弧AB的长 ，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径。此时弧AB的长是整个圆的周长的 ， 即l 。 360n2360nR2360180nnRlR根据弧长的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求弧长。探究一：弧长的计算公式重点知识特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：当n30时，弧长l3023606RR当n60时，弧长l6023603RR当n
3、45时，弧长l4523604RR当n90时，弧长l9023602RR当n120时，弧长l120223603RR当n180时，弧长l1802360R R探究一：弧长的计算公式重点知识运用弧长计算公式解决下列各题：（1）半径为3cm，圆心角为30的弧长为_（2）半径为6cm，圆心角为120的弧长为_（3）半径为4cm，长度为2的弧所对的圆心角是_（4）圆心角为150，长度为5的弧所在圆的半径是_通过上面的4个问题，我们不难发现弧长、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”。探究一：弧长的计算公式活动2例题演练，巩固新知。重点知识690 4cm2cm观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？像
4、上面阴影这样由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形就叫做扇形。探究二：扇形面积的计算公式活动1引入概念重点知识扇子的形状 你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！ 类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角AOB的大小有关：当AOB360时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即 。探究二：扇形面积的计算公式活动2类比弧长，探究新知。重点知识即 。 21360SR2S R当AOB1时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的 ，1360即 。 22360SR当AOB2时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的 ，2360即 。 2360nSR当AOBn时，扇形AOB的
5、面积就是整个圆面积的 ，360n 扇形AOB的面积 ，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径。2360nSR 同样的根据扇形面积的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求扇形面积。探究二：扇形面积的计算公式重点知识特别的，几个特殊圆心角所对的扇形面积是我们经常用到的，比如：当n30时，扇形面积S223036012RR当n60时，扇形面积S22603606RR当n45时，扇形面积S22453608RR当n90时，扇形面积S22903604RR当n120时，扇形面积S221203603RR当n180时，扇形面积S221803602RR探究二：扇形面
6、积的计算公式重点知识运用扇形面积计算公式解决下列各题：（1）半径为3cm，圆心角为30的扇形面积为_（2）半径为6cm，圆心角为120的扇形面积为_（3）半径为4cm，面积为4的扇形所对应的圆心角是_（4）圆心角为150，面积为 的扇形所在圆的半径是_ 通过上面的4个问题，同样可以发现扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”。探究二：扇形面积的计算公式活动3例题演练，巩固新知。重点知识2234cm212 cm90 53 现在我们从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式 和扇形面积的计算公式 ，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？探究二：扇形面积的计算公式活动4对比联系，拓展新知。重
7、点知识都含有； 都与圆心角度数n有关；都与圆的半径R有关；180nRl2360nRS 实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？因为 ，而l ，所以 。RRnRnS180213602lRS21180Rn 这样我们又得到了一个扇形面积的计算公式： 。在这个公式里，圆心角的度数n不见了，取而代之的是弧长l，只要知道弧长l和半径R就能求出扇形面积了。lRS21 同时 这个公式还比较简洁，简单到和我们三角形的面积计算公式非常相似。不同的是，三角形的底是一条线段，而扇形的“底”是一条弧线；三角形的高是底上的一条过顶点的垂线段，而扇形的“高”是弧线上任意一条半径。lRS21
8、探究二：扇形面积的计算公式重点知识例1.填空（若结果含圆周率的请保留）（1）一个扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为_（2）圆心角为135，半径为4的弧长为_解：（1）圆心角n120，半径R3扇形面积（2）圆心角n135，半径R4弧长活动1基础性例题探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识3360312036022RnS31804135180Rnl33练习.填空（若结果含圆周率的请保留）（1）一个扇形的圆心角为240，半径为6，则这个扇形的面积为_（2）圆心角为45，半径为8的弧长为_解：（1）圆心角n240，半径R6扇形面积（2）圆心角n45，半径R8弧长242
9、24360624036022RnS2180845180Rnl探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.填空（若结果含圆周率的请保留）（1）75的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_（2）一个扇形的弧长是20cm，半径是6 cm，则该扇形的面积是_【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和弧长，根据弧长公式反过来求半径，只需根据弧长公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求扇形面积，但是比较复杂。另外两个题目需注意单位的问题。解：（1）圆心角n75，弧长l=2。5cm弧长 ，解得R6（2）弧长l=20cm ，半径R6扇形的面积5 . 21
10、8075180RRnl2606202121cmlRS6 cm 60 cm 探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习：填空（若结果含圆周率的请保留）（1）75的圆心角所扇形的面积是7.5 cm，则此扇形所在圆的半径是_（2）一个扇形的面积是20 cm，半径是4 cm，则该扇形的周长是_【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和扇形面积，根据扇形面积公式反过来求半径，只需根据扇形面积公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求弧长，但是比较复杂。 同时第2小问要注意扇形周长包含两条半径。解：（1）圆心角n75，扇形面积S= 7.5 cm 扇形面积 ，解得 R
11、6（2）扇形面积S= 20 cm，半径R4cm扇形的面积 ，解得 l=10扇形的周长为10 +4+4=（10+8）cm5 . 73607536022RRnS2042121llRS探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例1.制造弯型管道时，经常要先按照中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果保留整数）。【思路点拨】本题需审清题目中“展直长度”的含义：展直长度包括一段弧长和两端700mm的线段长。解：由弧长公式得弧AB的长 ， 所以展直长度 。活动2提升型例题)(1570500180900100mml2 700 1570 2970()Lmm探究三：应
12、用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习：如图是一段弯型管道，其中OO90，中心线的两条圆弧半径都是1000 mm，求图中管道的展直长度（取3.142）。解：由弧长公式，两端弧长均为 ，所以展直长度L 。500180100090l2 5003000 1000 3.142 3000 6142()mm【思路点拨】本题中展直长度包括两段弧长和一条长3000mm的线段长。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识解：连接OA、OB，过点O做OCAB，垂足为D，交弧AB于点C，连接AC。 OC0.6 m，DC0.3 mODOCDC0.3mODDC又ADDCAD是线段OC的垂直平分
13、线ACAOOCAOC是等边三角形例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。从而AOD60，AOB120又AO0.6 m，DO0.3 mOABOABSS扇形31033 . 06 . 022AD m353AB2AD有水部分的面积S3100912. 00.22（m）3 . 0353213606 . 01202探究三：应用弧长公式和
14、扇形面积公式解决问题重点、难点知识 练习：如图是一个马戏团帐篷的地面，是一个半径为20m的圆形，从点A到点B有一段笔直的栅栏，且AOB90，观众坐在阴影区域内看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，估计阴影区域内坐满观众时可以坐多少人？解：AOB90，OAOB20m （平方米）每平方米可以坐3名观众 估计坐满观众时可以坐 3114342人【思路点拨】弓形的面积扇形面积三角形面积11420010020202120360902AOBAOBSSS扇形阴影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例1.如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC= ，ACB=90o，A=30o，若RtABC由
15、现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，求点A所经过的路线的长。（结果用含的式子表示）。活动3探究型例题3解：AC= ，ACB=90o，A=30，可以由勾股定理计算斜边长度是2，点A第一次落在l上时经过的路线长度是 ，31202180探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识点A第二次落在l上时经过的路线长度是 ，点A第三次落在l上时经过的路线长度与第二次落在l上时经过的路线长度相同，也是 ，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是：903 1202180180903 12021801801202180903 12022180180 （）44323433 【
16、思路点拨】解旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习：如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上，将ABC绕点C顺时针旋转60，求点A所经过的路径长。解：ABC绕点C顺时针旋转60，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60的弧，根据勾股定理，可以得到AC的长为 ， 根据弧长公式 ，可求路径长为 。10180rnl103【思路点拨】解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是关键。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式
17、解决问题重点、难点知识例2.（1）如图（1），以ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是_（2）如图（2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是_（3）若改为n边形，半径不变，则阴影部分的面积是_（4）如图（3），以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（1）如图（1），以ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是_解：（1）设三角形三个内角度数分别为x1， x2，x3 x1 + x2 + x3 =180又半径为12223122212311136036036018
18、01113603602xxxSxxx 阴 影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（2）如图（2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是_解：（2）设四边形四个内角度数分别为x1， x2，x3 ，x4 x1 + x2 + x3 + x4 =360又半径为1222231242212341111360360360360360011360360 xxxxSxxxx 阴 影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（3）若改为n边形，半径不变，则阴影部分的面积是_解：（3）设n边形n个内角度数分别为x1， x2，x3 ， ，xn x1 + x2
19、 + x3 + + xn =180（n-2）又半径为12222312221231111360360360360180(2)2113603602nnxxxxSxxxxnn 阴 影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识例2.（4）如图（3），以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_解：（4）设n边形n个外角度数分别为x1， x2，x3 ， ，xn x1 + x2 + x3 + + xn =360又半径为1222231222123111136036036036036011360360nnxxxxSxxxx 阴 影探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点
20、知识【思路点拨】阴影部分的面积是由多个扇形组成的，而这些扇形的圆心角之和恰好是多边形的内角和或外角和。探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识练习： 等边ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心， 为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形面积S（图中阴影部分）。2a解：连接AO2，BO2CO2，ABC是等边三角形AO2BCABa，BO2在RtABO2中，由勾股定理：AO22a2133224ABCSaaa 1 31 23 2222231803()( )4360248ABCAOOBOOCOOaSSSSSaaa 阴 影扇 形扇 形扇 形2
21、23( )22aaa探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题重点、难点知识（1）弧长是圆周的一部分，它的大小取决于圆心角占360的比例，因此弧长的计算公式是： （n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（2）扇形面积是圆的面积的一部分，它的大小取决于圆心角占360的比例，因此扇形面积的计算公式是： （n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（3）扇形面积第二种求法： （其中，l表示弧长，R表示圆的半径）。2360RnSlRS212360180nn RlR（1）灵活应用弧长计算公式 ，一般半径、圆心角、弧长三者之间可以“知二求一”；（2）灵活应用扇形面积计算公式 ，一般半径、圆心角、扇形面积三者之间可
22、以“知二求一”；（3）注意扇形面积还可能直接用 来求；（4）弓形的面积可以转化为求扇形面积与三角形面积之差。180Rnl2360RnSlRS21弧长和扇形面积第二课时（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾。弧长 ，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）扇形面积 ，（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？2360180nnRlR2360nSR上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？（2）圆锥的再认识它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个
23、圆，它的侧面是一个曲面。我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？为什么是相等的呢？有无数条，它们是相等的。由勾股定理，每条母线l= ，h表示圆锥的高，r表示底面半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的。22rh 我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足： 。 222rhl如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方
24、米的材料吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式活动1创设情景，感受新知。重点知识要想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体的那个部分？圆锥体的侧面由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法将其转化为平面图形呢？沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形。要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了，这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了。 但是求这个扇形的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，但圆心角度数是未知的
25、；也可以通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来的，因此也相当于是已知的。探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为_；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为_；（3）因此圆锥的侧面积为_，圆锥的全面积为_。活动2小组合作，探究新知。l2rrlr （l+r）探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公
26、式重点知识归纳：如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r，根据上节课学习的扇形面积公式 （其中l表示扇形的弧长，R表示扇形半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是 ；圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积。lRS21扇形l rlrS221侧2()SSSrlrrl r全侧底探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识例1.已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_，全面积是_。解：母线l4，底面半径r3由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：【
27、思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得。活动1基础性例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识3 4 12Srl 侧()3 (3 4) 21Sr l r 全练习：已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是_，全面积是_。解：母线l8，底面半径r4由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：8 4 32Srl 侧()4 (8 4) 48Sr l r 全探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例2.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_，全面积是_。解：底面半径为3，高为4，由勾股定理得，母线5【思路点拨】本题求
28、圆锥的侧面积和全面积时，并没有直接告诉圆锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线。由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：5 3 15Srl 侧()3 (3 5) 24Sr l r 全探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识练习：如图，在RtABC中，ACB=90o，AC=8，BC=6，将ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ）A.30 B.40 C.50 D.60 解：将ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到的是一个圆锥体 ACB=90o，AC=8，BC=6由勾股定理，AB10由圆锥侧面积计算公式得：10 6 60Srl 侧探究二：应用圆
29、锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例1.已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20cm，则这个圆锥的底面半径是_。【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”。解：母线长l5cm，圆锥侧面积圆锥侧面积计算公式： 解得： r=4底面半径为4cm。活动2提升型例题5 20Srlr 侧220Scm侧探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识练习：用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则该圆锥的底面半径是_。解：围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm圆锥的侧面积
30、为而圆锥侧面积解得： r=20该圆锥的底面半径是20cm。【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形，因此它的面积还可以用扇形的另一个计算公式计算 ，用两种计算方式可以得到一个等量关系。808002Srlr 侧218080( )8003602S侧2360nSR探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_。解法一：圆锥的底面半径是4，母线长是12圆锥侧面积设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n所以展开图的面积还可以表示为： ，解得：n120这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120。4 12 48Srl 侧212360n212 =
31、48360n探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解法二：圆锥的底面半径是4底面周长24=8设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n圆锥的母线长是12侧面展开图的弧长 ， 解得：n120这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120。12180n812180n例2.圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求，即 ；另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 ，这样就得到 ，解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角 ，其中r表示圆锥底面半径，l
32、表示圆锥母线。还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长 2r；另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于 ，这样就得到 ，同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角 。360rnlSrl2360nSl2360nrll180nl2180nlr360rnl探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识练习：用半径为30cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_。解法一：扇形的半径为30cm，圆心角为120扇形面积设底面半径为r由题意，圆锥的母线为30cm圆锥的侧面积 ，解得：r10 该圆锥的底面半径是10cm。30rlr212030300
33、36030 300r探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解法二：扇形的半径为30cm，圆心角为120扇形弧长设底面半径为r底面圆的周长为2r ，解得： r10 该圆锥的底面半径是10cm。12030 20180202 r练习：用半径为30cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过母线和底面半径来求，即 ；一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 。还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过底面半
34、径来求，即 2r； 一方面也可以通过扇形的弧长计算公式来求，即 。180nlSrl2360nSl探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例1.回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？（取3.142）活动3探究型例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解：母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm一顶圣诞帽需要的材料是 cm生产这种帽身10000个，需要 cm75 m 235.65 m。玩具厂至少需23
35、5.65平方米的材料【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积公式即可，但实际问题需要注意单位问题。5 15 75 7510000 750000探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识练习：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？（结果精确到0.1 cm2）解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为lcm，纸帽的底面周长为58 cm， ，解得： 又纸帽的高为20 cm由勾股定理得： 一顶纸帽的面积为要制作20顶这样的纸帽至少要用 。【思路点拨】要计算制作20顶这样的纸帽至少要
36、用多少纸， 只要计算纸帽的侧面积即可。258r58292r222229()2022.03lrhcm2115858 22.03 638.8722lcm 2638.87 20 12777.4cm探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例2.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB，连接BB，则BB为蚂蚁走过的最短路径，设BABn，ABAB6则弧BB 又弧BB底面圆的周长2r2 ，解得：n60BAB60618030nn 230n探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决
37、问题难点知识例2.如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？ABAB 6ABB为等边三角形BBABAB6即蚂蚁爬行的最短距离是6。【思路点拨】本题需找到蚂蚁爬行的最短路径是什么，再通过弧BB的两种计算方法建立方程，求出BAB60。探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB，则点C位于展开图中弧BB的中点C处，连接AC，过点B作BDAC于点D，则BD为蚂蚁所走的最短路线，设BABn，ABAB3则弧BB 又弧BB底面圆的周长2r2 ，解得：n120BAB120318060
38、nn 260n练习：如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识又C是弧BB的中点DAB又BDACAD由勾股定理：BD蚂蚁爬行的最短距离是 。练习：如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？22333322 111206022BAB 1133222AB 332探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问
39、题难点知识（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥有无数条母线，它们的长度都相等，每条母线l （h表示圆锥的高，r表示底面半径）。（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则该圆锥的侧面展开图的面积是 。（3）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则 。22rh l rlrS221侧2()SSSrlrrl r全侧底知识梳理：（1）注意圆锥侧面积、全面积的区别。（2）侧面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用。（3）全面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用。（4）在圆锥侧面展开图里，侧面积的计算有两种方式，一种是根据侧面积计算公式来算，另一种则是利用展开图的圆心角度数和半径来算，往往会利用这两种方式建立方程。（5）在圆锥侧面展开图里，弧长的计算有两种方式，一种是利用展开图的圆心角度数和半径来算，另一种则是根据底面的周长来算，往往会利用这两种方式建立方程。知识巩固：谢 谢