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1、第二十讲矩形、菱形、正方形考点一矩形的性质与判定考点一矩形的性质与判定【主干必备主干必备】性性质质除具有平行四边形的性质外除具有平行四边形的性质外, ,还有还有: :1.1.矩形的四个角都是矩形的四个角都是_2.2.矩形的对角线矩形的对角线_3.3.既是既是_图形图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形判判定定1.1.有一个角是有一个角是_的平行四边形的平行四边形2.2.对角线对角线_的平行四边形的平行四边形3.3.有三个角是有三个角是_的四边形的四边形直角直角相等相等中心对称中心对称直角直角相等相等直角直角【微点警示微点警示】(1)(1)矩形的分割矩形的分割: :矩形被对角线所矩形被对角线所分
2、成的四个三角形都是等腰三角分成的四个三角形都是等腰三角形形, ,它们相对的两个全等它们相对的两个全等, ,它们的它们的面积都相等面积都相等. .(2)(2)判定的思路判定的思路: :若起点是四边形若起点是四边形, ,需加上三个角是直角需加上三个角是直角才得到矩形才得到矩形; ;若起点是平行四边形若起点是平行四边形, ,加上一个角是直角加上一个角是直角或对角线相等便得到矩形或对角线相等便得到矩形. .【核心突破核心突破】例例1(20191(2019青岛中考青岛中考) )如图如图, ,在在ABCDABCD中中, ,对角线对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O,O,点点E,FE,F分别为分别为
3、OB,ODOB,OD的中点的中点, ,延长延长AEAE至至G,G,使使EG=AE,EG=AE,连接连接CG.CG.(1)(1)求证求证: :ABEABECDF.CDF.(2)(2)当当ABAB与与ACAC满足什么数量关系时满足什么数量关系时, ,四边形四边形EGCFEGCF是矩形是矩形? ?请说明理由请说明理由. . 【思路点拨思路点拨】(1)(1)由平行四边形的性质得出由平行四边形的性质得出AB=CD,AB=CD,ABCD,OB=OD,OA=OC,ABCD,OB=OD,OA=OC,由平行线的性质得出由平行线的性质得出ABE=ABE=CDF,CDF,证出证出BE=DF,BE=DF,由由SASS
4、AS证明证明ABEABECDFCDF即可即可. .(2)(2)证出证出AB=OA,AB=OA,由等腰三角形的性质得出由等腰三角形的性质得出AGOB,AGOB,OEG=90OEG=90, ,同理同理:CFOD,:CFOD,得出得出EGCF,EGCF,由三角形中位由三角形中位线定理得出线定理得出OECG,OECG,所以所以EFCG,EFCG,得出四边形得出四边形EGCFEGCF是平是平行四边形行四边形, ,即可得出结论即可得出结论. .【自主解答自主解答】略略【明明技法技法】矩形判定方法的选择技巧矩形判定方法的选择技巧(1)(1)若易证得四边形是平行四边形若易证得四边形是平行四边形, ,则再证一角
5、为直角则再证一角为直角或对角线相等或对角线相等, ,即可证得其是矩形即可证得其是矩形. .(2)(2)三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形. . (3)(3)有两条对角线相等的四边形不一定是矩形有两条对角线相等的四边形不一定是矩形, ,必须加必须加上上“平行四边形平行四边形”这个条件这个条件, ,它才是矩形它才是矩形. .(4)(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形对角线相等且互相平分的四边形是矩形. .【题组过关题组过关】1.(20191.(2019临沂中考临沂中考) )如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,M,N,M,N是是BDBD上两点上两点,BM
6、=DN,BM=DN,连接连接AM,MC,CN,NA,AM,MC,CN,NA,添加一个条件添加一个条件, ,使使四边形四边形AMCNAMCN是矩形是矩形, ,这个条件是这个条件是( ( ) )A AA.OM= ACA.OM= ACB.MB=MOB.MB=MOC.BDACC.BDACD.AMB=CNDD.AMB=CND122.2.如图如图, ,延长矩形延长矩形ABCDABCD的边的边BCBC至点至点E,E,使使CE=CA,CE=CA,连接连接AE,AE,如果如果ACB=40ACB=40, ,则则E E的值是的值是( ( ) )A.18A.18B.19B.19C.20C.20D.40D.40C C3
7、.(20193.(2019昆明西山区模拟昆明西山区模拟) )如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中, ,对角对角线线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O,AOB=60O,AOB=60,AC=4 cm,AC=4 cm,则矩形则矩形ABCDABCD的面积为的面积为世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )B BA.12 cmA.12 cm2 2B.4 cmB.4 cm2 2C.8 cmC.8 cm2 2D.6 cmD.6 cm2 2334.(20194.(2019甘肃中考甘肃中考) )如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=10,AB=10,AD=6,EAD=6,E为为BC
8、BC上一点上一点, ,把把CDECDE沿沿DEDE折叠折叠, ,使点使点C C落在落在ABAB边边上的上的F F处处, ,则则CECE的长为的长为_._.1035.(20195.(2019怀化中考怀化中考) )已知已知: :如图如图, ,在在ABCDABCD中中,AEBC,AEBC,CFAD,E,FCFAD,E,F分别为垂足分别为垂足. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求证求证: :ABEABECDF.CDF.(2)(2)求证求证: :四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形. .【证明证明】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边是平行四边形形,B=D,AB=CD,ADB
9、C,B=D,AB=CD,ADBC,AEBC,CFAD,AEB=AEC=CFD=AFC=90AEBC,CFAD,AEB=AEC=CFD=AFC=90, ,在在ABEABE和和CDFCDF中中, , ABEABECDF(AAS).CDF(AAS).BD,AEBCFD,ABCD ，(2)ADBC,EAF=AEB=90(2)ADBC,EAF=AEB=90,EAF=AEC=,EAF=AEC=AFC=90AFC=90,四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形. .考点二菱形的性质与判定考点二菱形的性质与判定【主干必备主干必备】性性质质除具有平行四边形的性质外除具有平行四边形的性质外, ,还有还有: :1.
10、1.菱形的四条边都菱形的四条边都_2.2.菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相_,_,并且每一条并且每一条对角线平分对角线平分_3.3.菱形的面积等于两条对角线乘积的菱形的面积等于两条对角线乘积的_4.4.既是既是_图形图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形相等相等垂直垂直一组对角一组对角一半一半中心对称中心对称判判定定1.1.有一组邻边有一组邻边_的平行四边形的平行四边形2.2.对角线互相对角线互相_的平行四边形的平行四边形3.3.四条边都四条边都_的四边形的四边形相等相等垂直垂直相等相等 【微点警示微点警示】(1)(1)菱形的分割菱形的分割: :菱形被对角线所分成的四个三角形都菱形被对
11、角线所分成的四个三角形都是直角三角形是直角三角形, ,它们四个都全等它们四个都全等. .(2)(2)判定的思路判定的思路: :若起点是四边形若起点是四边形, ,需加上四条边都相等需加上四条边都相等才得到菱形才得到菱形; ;若起点是平行四边形若起点是平行四边形, ,加上一组邻边相等加上一组邻边相等或对角线互相垂直便得到菱形或对角线互相垂直便得到菱形. .【核心突破核心突破】例例2(20192(2019兰州中考兰州中考) )如图如图,AC=8,AC=8,分别以分别以A,CA,C为圆心为圆心, ,以以长度长度5 5为半径作弧为半径作弧, ,两条弧分别相交于点两条弧分别相交于点B B和和D.D.依次连
12、接依次连接A,B,C,D,A,B,C,D,连接连接BDBD交交ACAC于点于点O.O.(1)(1)判断四边形判断四边形ABCDABCD的形状并说明理由的形状并说明理由. .(2)(2)求求BDBD的长的长. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用作法得到四边相等利用作法得到四边相等, ,从而可判断从而可判断四边形四边形ABCDABCD的形状的形状. .(2)(2)根据菱形的性质得根据菱形的性质得OA=OC=4,OB=OD,ACBD,OA=OC=4,OB=OD,ACBD,然后利然后利用勾股定理计算出用勾股定理计算出OB,OB,从而得到从而得到BDBD的长的长. .【自主解答自主解答】略略 【明明
13、技法技法】菱形判定方法的选择菱形判定方法的选择(1)(1)若四边形若四边形( (或可证或可证) )为平行四边形为平行四边形, ,则再证一组邻边则再证一组邻边相等或对角线互相垂直相等或对角线互相垂直. .(2)(2)若相等的边较多若相等的边较多( (或容易证出或容易证出) )时时, ,可证四条边相等可证四条边相等. .【题组过关题组过关】1.(20191.(2019天津中考天津中考) )如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形,A,B,A,B两点两点的坐标分别是的坐标分别是(2,0),(0,1),(2,0),(0,1),点点C,DC,D在坐标轴上在坐标轴上, ,则菱形则菱形ABCD
14、ABCD的周长等于的周长等于 ( ( ) )C CA. A. B.4 B.4 C.4 C.4 D.20D.205352.2.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形, ,延长延长ADAD到到E,E,使使DE=AD,DE=AD,连接连接EB,EC,DB,EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形添加一个条件能使四边形DBCEDBCE成为菱形成为菱形的是的是 ( ( ) )B BA.AB=BEA.AB=BEB.ABBEB.ABBEC.ADB=90C.ADB=90D.CEDED.CEDE3.(20193.(2019北部湾中考北部湾中考) )如图如图, ,在菱形在菱形ABCDA
15、BCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O,O,过点过点A A作作AHBCAHBC于点于点H,H,已知已知BO=4,BO=4,S S菱形菱形ABCDABCD=24,=24,则则AH=_.AH=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2454.(4.(生活情境题生活情境题) )如图如图, ,把两张宽度都是把两张宽度都是3 cm3 cm的纸条交错的纸条交错地叠在一起地叠在一起, ,相交成角相交成角.则重叠部分的面积为则重叠部分的面积为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号29cmsin5.(20195.(2019枣庄中考枣庄中考) )如图如图,BD,BD是菱形是菱形ABCDABCD的对角
16、的对角线线,CBD=75,CBD=75, ,(1)(1)请用尺规作图法请用尺规作图法, ,作作ABAB的垂直平分线的垂直平分线EF,EF,垂足为垂足为E,E,交交ADAD于于F.(F.(不要求写作法不要求写作法, ,保留作图痕迹保留作图痕迹) )(2)(2)在在(1)(1)的条件下的条件下, ,连接连接BF,BF,求求DBFDBF的度数的度数. .【解析解析】(1)(1)略略(2)(2)四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,ABD=DBC= ,ABD=DBC= ABC=75 ABC=75,DCAB,A=C.,DCAB,A=C.ABC=150ABC=150,ABC+C=180,ABC+C=1
17、80,C=A=30,C=A=30, ,EFEF垂直平分线段垂直平分线段AB,AF=FB,A=FBA=30AB,AF=FB,A=FBA=30, ,DBF=ABD-FBE=45DBF=ABD-FBE=45. .12考点三正方形的性质与判定考点三正方形的性质与判定【主干必备主干必备】性质性质1.1.正方形的四条边都正方形的四条边都_._.2.2.正方形的四个角都是正方形的四个角都是_._.3.3.正方形的两条对角线正方形的两条对角线_且互相且互相_,_,每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角.4.4.既是既是_,_,又是轴对称图形又是轴对称图形.相等相等直角直角相等相等垂直平分垂直平分中心
18、对称图形中心对称图形判定判定1.1.有一组邻边有一组邻边_并且有一个角是并且有一个角是_的平行四边形的平行四边形2.2.有一组邻边有一组邻边_的矩形的矩形3.3.有一个角是有一个角是_的菱形的菱形4.4.对角线相等且垂直的平行四边形对角线相等且垂直的平行四边形相等相等直角直角相等相等直角直角【微点警示微点警示】(1)(1)正方形的分割正方形的分割: :正方形被对角线所分成的四个三角正方形被对角线所分成的四个三角形都是等腰直角三角形形都是等腰直角三角形, ,它们四个都全等它们四个都全等. .(2)(2)判定的思路判定的思路: :若起点是平行四边形若起点是平行四边形, ,需加上邻边相等需加上邻边相
19、等和一个直角和一个直角, ,或者加上对角线相等且垂直才得到正方形或者加上对角线相等且垂直才得到正方形; ;若起点是矩形若起点是矩形, ,加上一组邻边相等便得到正方形加上一组邻边相等便得到正方形; ;若起若起点是菱形点是菱形, ,加上一个直角便得到正方形加上一个直角便得到正方形. .【核心突破核心突破】例例3 3【原型题原型题】(2018(2018聊城中考聊城中考) )如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中,E,E是是BCBC上的一点上的一点, ,连接连接AE,AE,过点过点B B作作BHAE,BHAE,垂足为点垂足为点H,H,延长延长BHBH交交CDCD于点于点F,F,连接连接AF.A
20、F.(1)(1)求证求证:AE=BF.:AE=BF.(2)(2)若正方形边长是若正方形边长是5,BE=2,5,BE=2,求求AFAF的长的长. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用正方形的性质证明利用正方形的性质证明ABEABEBCF,BCF,进而得到对应边进而得到对应边AE=BF.AE=BF.(2)(2)借助借助ABEABEBCF,BCF,求出求出DFDF的值的值, ,然后在然后在RtRtADFADF中中使用勾股定理求得使用勾股定理求得AFAF的值的值. .【自主解答自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AB=BC,ABC=C=90,AB=BC,ABC=C=9
21、0, ,作作BHAE,BHAE,垂足为点垂足为点H,BAE=CBF.H,BAE=CBF.在在ABEABE和和BCFBCF中中, , ABEABEBCF(ASA),AE=BF.BCF(ASA),AE=BF.(2)(2)略略ABCC90ABBCBAECBF ，【变形题变形题1 1】( (变换结论变换结论) )如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中,E,E是是BCBC上的一点上的一点, ,连接连接AE,AE,过过B B点作点作BHAE,BHAE,垂足为点垂足为点H,H,延长延长BHBH交交CDCD于点于点F,F,连接连接AF.AF.若正方形边长是若正方形边长是5,BE=2,5,BE=2,求求
22、FHFH的长的长. .【解析解析】在在RtRtABEABE中中,AB=5,BE=2,AB=5,BE=2,AE= AE= SSABEABE= = BH= BH= BF=AE= BF=AE= FH=BF-BH= FH=BF-BH= 225229，AE BHAB BE22，5 210 292929，29，19 29.29【变形题变形题2 2】( (变换条件、结论变换条件、结论) )如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中,E,E是是BCBC上的一点上的一点, ,连接连接AE,AE,过过B B点作点作BHAE,BHAE,垂足为点垂足为点H,H,延延长长BHBH交交CDCD于点于点F,F,连接连接
23、BD,BD,交交AEAE于点于点N,N,连接连接AC,AC,分别交分别交BD,BFBD,BF于点于点O,M,O,M,连接连接HO,HO,求证求证:HO:HO平分平分AHF.AHF.略略【明明技法技法】正方形判定及性质的应用技巧正方形判定及性质的应用技巧(1)(1)判定的两种思路判定的两种思路: :证明一个四边形是正方形证明一个四边形是正方形, ,可以先可以先判定为矩形判定为矩形, ,再证邻边相等或对角线互相垂直再证邻边相等或对角线互相垂直; ;或先判或先判定为菱形定为菱形, ,再证一个角是直角或对角线相等再证一个角是直角或对角线相等. .(2)(2)性质的兼容并蓄性质的兼容并蓄: :正方形既是
24、特殊的矩形又是特殊正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形的菱形, ,具有它们所有的性质具有它们所有的性质. . (3)(3)易得全等三角形易得全等三角形: :正方形被两条对角线分割为四个正方形被两条对角线分割为四个全等的等腰直角三角形全等的等腰直角三角形, ,在正方形中对称画出分割线在正方形中对称画出分割线, ,很容易得到另外的全等三角形很容易得到另外的全等三角形. .【题组过关题组过关】1. (20191. (2019枣庄中考枣庄中考) )如图如图, ,点点E E是正方形是正方形ABCDABCD的边的边DCDC上上一点一点, ,把把ADEADE绕点绕点A A顺时针旋转顺时针旋转9090到到ABF
25、ABF的位置的位置. .若若四边形四边形AECFAECF的面积为的面积为20,DE=2,20,DE=2,则则AEAE的长为的长为( ( ) )D DA.4A.4B.2 B.2 C.6C.6D.2 D.2 562.(2.(易错警示题易错警示题) )满足下列条件的四边形是正方形的是满足下列条件的四边形是正方形的是 ( ( ) )A.A.对角线互相垂直平分的平行四边形对角线互相垂直平分的平行四边形B.B.对角线互相平分且相等的矩形对角线互相平分且相等的矩形C.C.对角线互相垂直平分的菱形对角线互相垂直平分的菱形D.D.对角线互相垂直平分且相等的四边形对角线互相垂直平分且相等的四边形D D3.3.如图
26、如图, ,在边长为在边长为3 3的正方形的正方形ABCDABCD中中, ,点点E E是是BCBC边上的边上的点点,EC=2,AEP=90,EC=2,AEP=90, ,且且EPEP交正方形外角的平分线交正方形外角的平分线CPCP于于点点P,P,则则PCPC的长为的长为_.24.(20194.(2019滁州模拟滁州模拟) )如图如图, ,在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,BD,AC,BD相交相交于点于点O,E,FO,E,F分别为分别为BC,CDBC,CD上的两点上的两点,BE=CF,AE,BF,BE=CF,AE,BF分别交分别交BD,ACBD,AC于于M,NM,N两点两点, ,连接连接O
27、E,OF.OE,OF.下列结论下列结论: :AE=BF;AE=BF;AEBF;AEBF;CE+CF= BD;CE+CF= BD;S S四边形四边形OECFOECF= S= S正方形正方形ABCDABCD, ,其中正确的序号是其中正确的序号是_._. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号22145.(20195.(2019河北模拟河北模拟) )如图如图, ,点点E E是正方形是正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC上一点上一点,EFAB,EGBC,EFAB,EGBC,垂足分别为垂足分别为F,G,F,G,若正方形若正方形ABCDABCD的周长是的周长是40 cm.40 cm. 世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求证求证: :四边形四边形BFEGBFEG是矩形是矩形. .(2)(2)求四边形求四边形EFBGEFBG的周长的周长. .(3)(3)当当AFAF的长为多少时的长为多少时, ,四边形四边形BFEGBFEG是正方形是正方形? ?略略