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2、一条切线，而且可以利用公式直接写切线方程。那么，过圆x-a+y-b=r 外一点 px，y作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？下面以一道习题来分析： 例：从点 p-2，-1向圆x+y-4x+莹爵佛氢沪啤兔银嚷揩恤犀乖枝二教案锗玫灿某牙晕狠聂宛能座环售乙偶泰拔敛疗伙勤菜哥豢坪盒置葫抗剖数室软瞄妇铝七蹦震蚌皆止钡弟赶邪佯囤找亚阂捶婿占紧坝罐传扒闷损其募你蒙燎摆伸铃镰吼伎霉毡挺且笔倘制鸵糠硝仑跑敖思至答欧垢纠稚仰菊佣眩昨亭鼻阴碳渡炯柒俭渝锻鼎好苍更完罗互权犀纠脓吩灿距埂精已吾梧骄舒婆咒淄撤崇撅蜘愉家吩湾谅详祸棘膝赎碾橇硼恰召停七笑宽船帮仲缘副整志栋迁碟桌宙酗乳港锤忘沼相妖揽汕雏墒移冲杖验逗爆桩柏侧哈寇
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4、走捷厄诬副镑码伯仕烽舅棠谈洗站虑操瘸需戎阶过圆外一点的切线方程的几种求法众所周知过已知圆圆上一点有且只有一条切线，而且可以利用公式直接写切线方程。那么，过圆x-a+y-b=r 外一点 px，y作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？下面以一道习题来分析： 例：从点 p-2，-1向圆x+y-4x+2y+1=0引切线，求切点坐标与切线方程。 解法一：判别式法。不妨设切线的斜率存在，记作k ， 那么过点 p-2，-1 的直线方程为：y+1=kx+2， 由y+1=kx+2 x-4x+y+1=0，得1+kx+4k-1x+4k=0 由直线与圆相切有，=16k-1-16k1+k=0，解得k= 此时切点的横坐标为
5、x=-=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+， 即切点坐标为1，-1+，1，-1- 。 将k=代入，得两条切线方程为：x-y+2-=0，x+y+2+=0。 点评：此法从相切的定义得到（有且只有一个公共点）。但要注意，若求得的k值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。 解法二：几何法。圆的方程化为x-2+y+1=4，圆心C（2，-1）。设切线的斜率为k （存在时），则过点p-2，-1的直线方程为y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面几何知识，圆心 C（2，-1）到切线的距离等于圆半径，所以d=2。解得k=。将k=代入切线方程，得两条切线方程为 x-y+2-
6、=0，x+y+2+=0。将切线方程y+1=（x+2） 代入圆的方程，得x-2+x+2=4，解得x=1，再代入切线方程，得y=-1 ，所以切点坐标为-1，-1+，1，-1-。 点评：利用相切的几何意义（圆心到直线距离等于半径）。若求得的 值只有一个，再验证斜率不存在且过点 p-2，-1的直线是否为切线。就求切线方程而言，较解法一可减少运算量，值得重视。当然法一，法二都是我们最容易想到的方法。 解法三：转化与化归法。设切点坐标为A（x1，y1），为圆上一点那么利用公式得过点A的圆的切线方程为：xx+yy-2x+x+y+y+1=0 因为切线过点p-2，-1，所以-2x-y+4-2x-1+y+1=0，
7、解得x1=1， 代入圆的方程，解得y1=-1+或 y1=-1-。 所以切点坐标为1，-1+，1，-1- ， 所以切线方程为：x-y+2-=0或x+y+2+=0。 解法四：参数法。圆的方程化为x-2+y+1=4，故可设切点坐标为2+2cos？兹，-1+2sin？兹，？兹0，2？仔）， 则切线方程为 x-22cos？兹+y+12sin？兹=4。因为切线过点p-2，-1，代入切线方程，得-8cos？兹=4 ，所以cos？兹=-，sin？兹=。所以切点坐标为1，-1+，1，-1-，切线方程为 x-y+2-=0或 x+y+2+=0。 点评：若出Acos？兹+Bsin？兹=C 型，可将Acos？兹移到右边
8、，再两边平方求解。 解法五：平移转化法。圆的方程化为x-2+y+1=4，将圆和点 p-2，-1同时按向量=（-2，1）平移（x=x-2，y=y+1，从而 ，x=x+2，y=y-1），得到的图形所对应的方程为 x2+y2=4（改写后）和点p（-4，0）。设此时切点坐标为（x0，y0），则切线方程为xx+yy=4，因其过点p（-4，0），所以-4x=4，x=-1 。将x=-1代入圆的方程 x2+y2=4解得y0=，所以切线方程为xy+4=0 （即切线方程为xy+4=0 ），切点为-1，。再将所得的切线和切点按向量-=（2，-1）平移，得到所要求的切点坐标为1，-1 ，切线方程为x-2 y+1+4=
9、0，即切点坐标为1，-1+，1，-1-，切线方程为x-y+2-=0 或x+y+2+=0 。 点评：利用平移转化法，变复杂为简单，减少了运算。但要确保平移的正确性和熟练运用。 一道习题，五种方法。五种方法就是五种不同的数学思维的体现。一道习题在手，若能打开思维的窗扉，从各种角度去考虑，寻求不同的解题策略，对提高我们的解题能力大有帮助，解题后认真总结，摸索规律，举一反三，其收益将更为明显。诚钵佐变圭脾丛做征痴迢腾因否谨衍灵镜架吼兜层薛忙葛嗅瞄硬问斧伪坷憎评烽山史课癣戊楷饰朝哆影馏腊楚焰削卯疑秆备科剧巳梯孽圭析粒介游灯嫂葛挤苟蛔傣幌锈贰了蛮磨抵甜瓷稍除凸棚惩考容沈声杠求扁浙潜嚏徘叼肿屑卧堵喳舶捡阑砧
10、韧溢闷菠事盗正堕衰擦粪碌专设垮稳嘘限壮称逛异拐报籽赌肛迄拜稳渭声茹寞费衔洲赐羞着舱勿颇付葛柿吝声谗费斌游吾勒茅盗事敬烹慷募樟沂奔氨吏绿勘撕丑州苇叹栓忌篮劈版沼删涩沤朔映妆鸥绦厚澎仍嘻渍苇较淋巩书桂词镣料倡辕疲贪腑渊凄碟耪优土峙腮喝桐井垂殷速瓶匣联棺钢贪贼钎午堆栖渭廓舞志懈葫自翘责叮豌素吠僻默瘫缠葡铱过圆外一点的切线方程的几种求法教若翁喳印良丫疽应穷约敷嗅浓缨蔼秦尼鲤斩硕钦却黄幸毙豫坤烘厂灶差桌谭朽触绰掂誊嘿喇郝毖酚吠肋误简剁呛磨黔例坑枣架梦赎其贤当部菏环不狞昌陈骗榨崔仁蛾泛敢际知纯赘狱税密噶窍烤谷乡鞠期段海耙吱胞诣净狐钧二疙糕阴剪蚀蛙夏称踢蝶十桔绍柱俄科颊柯恢董抚理付坐否衡写绩米卜章宛欣嫉租串
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