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1、精选优质文档-倾情为你奉上第25课时 菱形、矩形和正方形1（2008年扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A当时，它是菱形 B当时，它是菱形C当时，它是矩形 D当时，它是正方形DCBA【解析】要熟记在平行四边形的基础上如何判定是菱形、矩形和正方形的方法【标准解答】D2（2008年湖北荆门）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(xy)，则下列关系式中不正确的是( ) (A) x+y=12 (B) xy=2 (C) xy=35 (D) xy=144yx【解析】对同一各大正方
2、形的面积用不同的代数式来表示，化简后即可得出x+y=12，xy=2， xy=35都是正确的。【标准解答】D3 (2008年广安)如图菱形ABCD中，BAD=60 ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为 PBCADM【解析】应联想到两点之间线段最短、对称点、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的有关知识，找到点M的对称点 ,点在AD上，连结B,点是AD的中点，又ABD是等边三角形，得到BAD，在根据三角函数求得AB=【标准解答】4（2008年凉山州）如图，点分别是菱形中边上的点（不与重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AFDCBE【解析】
3、只要添加的条件能证和全等即可。【标准解答】（1）添加条件：或或等（2）证明：四边形是菱形AFDCB 在和中5（2008年无锡）如图，四边形中，平分，交于（1）求证：四边形是菱形；（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由【解析】（1）先证四边形是平行四边形，在由平分得到四边形是菱形。（2）由点是的中点可证得是直角三角形【标准解答】（1），即，又，四边形是平行四边形平分，又，四边形是菱形（2）证法一：是中点，又，即，是直角三角形证法二：连，则，且平分，设交于是的中点，是直角三角形6（2008年湖北咸宁）如图，在ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线
4、于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论【解析】(1)由角平分线定义和平行线性质得到角相等，由角相等得到边OE=OC,OF=OC,即OE=OC.(2)等点O是AC的中点时，由对角线互相平分得四边形AECF是平行四边形。在结合两条角平分线得到，于是可得四边形AECF是矩形【标准解答】（1）证明： CE平分，又MNBC，同理， 2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. ，点O是AC的中点 四边形AECF是平行四边形. 又， ，即 四边形AECF是矩形 7（2008年乌鲁木齐）在四边形中，点是线段上的任意一
5、点（与不重合），分别是的中点（1）证明四边形是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若，且，证明平行四边形是正方形BGAEFHDC【解析】根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，再由GHBC , GH=BC ,EFBC, 得到平行四边形是正方形。 【标准解答】证明：（1）在中，分别是的中点且 BGAEFHDC又是的中点，且 四边形是平行四边形 （2）证明：分别是的中点且 又，且，且 平行四边形是正方形8（2008年上海）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形ECDBAO【解析】（1）利用等边三角形三线合一得
6、，对角线互相垂直的平四边形是菱形。（2）由等边三角形得AEC= , ,得EAD= ，于是 , , 从而四边形是正方形【标准解答】证明：（1）四边形是平行四边形，ECDBAO又是等边三角形，即平行四边形是菱形；）（2）是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， 四边形是正方形 9（2008年青岛）已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于（1）求证：；（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由ABCDEFG【解析】（1）根据正方形的性质及CE=CG可得BCGDCE 。（2）由旋转不变性知CE=AE ，于是得BE =DG ，四边形DE BG是平行四边形。【标准
7、解答】证明：（1） 四边形ABCD是正方形，ABCDEFGBC=CD，BCD=90BCD +DCE=180，BCD=DCE=90又CG=CE，BCGDCE （2）DCE绕D顺时针旋转得到DAE ， CE=AE CE=CG，CG=AE 四边形ABCD是正方形，BE DG，AB=CDABAE =CDCG，即BE =DG四边形DE BG是平行四边形 10（2008年聊城）如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于（1）求证：；（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论FDOCBEA【解析】（1）由矩形对角线互相平分及平行线的内错角相等得到BOEDOF.(2) 当时，四
8、边形是菱形, 可先证四边形是平行四边形再推出是菱形。【标准解答】FDOCBEA（1）证明：四边形是矩形，（2）当时，四边形是菱形 证明：四边形是矩形，FDOCBEA又由（1）得，四边形是平行四边形又，四边形是菱形11（2008年泰州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=。（1）在边CD上找一点E，使EB平分AEC，并加以说明； （2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F。求证：点B平分线段AF； PAE能否由PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由。【解析】（1）当直角三角形的两直角边分别为1、时，一定由一个角为
9、 600 ，由此得 EB平分AEC。（2）由 CEBF得= = 进而得BF=2CE，AB=BF。 在Rt ADE中，AE= =2 ，可得 AE=BF，再由PB=得PB=PE于是可得PASPFB。即可说明PAE可以PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。旋转度数为1200 且是、【标准解答】（1）当E为CD中点时，EB平分AEC。由D=900 ，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，CEB=600 ，从而AEB=CEB=600 ，即EB平分AEC。、（2）CEBF，= BF=2CE。AB=2CE，点B平分线段AF、能。证明：CP=，CE=1，C=900 ，EP=。在Rt ADE中，AE= =
10、2，AE=BF，又PB=，PB=PEAEP=BP=900 ，PASPFB。PAE可以PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。旋转度数为1200 且是、1（2008年江西省）如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为（当点分别与重合时，记）（1）当时（如图2所示），求的值（结果保留根号）；（2）当为何值时，点落在对角形上？请说出你的理由，并求出此时的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：0.0300.290.290.130.03（4）若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图
11、4中描出部分点后，勾画出点运动所形成的大致图形AHFDGCBE图1图2B(E)A(F)DCGHADCB图3HHDACB图4（参考数据：）【解析】【标准解答】解：（1）过作于交于，于， ， B(E)A(F)DCGKMNH（2）当时，点在对角线上，其理由是：过作交于，过作交于平分，ADCBHEIPQGFJ即时，点落在对角线上（以下给出两种求的解法）方法一：，在中， 方法二：当点在对角线上时，有，解得（3）0.130.0300.030.130.290.500.500.290.130.0300.030.13 （4）由点所得到的大致图形如图所示：HACDB 2（2008年无锡）一种电讯信号转发装置的发射
12、直径为31km现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）图4图3图2图1【解析】【标准解答】（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形
13、的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求（3分）（图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，由，得，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形所以，
14、至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求BFDAEHO图2图3DCFBEAOADCB图13（2008年河北）如图，在中，分别是的中点点从点出发沿折线以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止设点运动的时间是秒（）（1）两点间的距离是 ；（2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，求出的值若不能，说明理由；（3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值；（4）连结，当时，请直接写出的值AECDFGBQKP【解析】【标准解答】AECDFOBQK图5HPG解：（1）25
15、（2）能如图5，连结，过点作于点，由四边形为矩形，可知过的中点时，把矩形分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），AECDFBQK图6PG此时由，得故（3）当点在上时，如图6，AECDFBQK图7P(G)由，得当点在上时，如图7AECDFBQK图8PGH已知，从而，由，得解得（4）如图8，；如图9，AECDFBQK图9PG（注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻，如图8；此后，点继续上行到点时，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻，如图9；
16、当时，点均在上，不存在）4（2008年贵阳市）如图8，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接ED、BF、BD（1）求证：（2）若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论 ABCDEF【解析】【标准解答】（1）在平行四边形ABCD中，AC，ADCD，E、F分别为AB、CD的中点AE=CF （2）若ADBD，则四边形BFDE是菱形. 5（2008年湖北荆门）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米
17、价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？(2)ADFBEC(1)EFGHABDC【解析】【标准解答】解：(1) 四边形EFGH是正方形图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90后得到的,故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形.因此四边形EFGH是正方形 (2)设CE=x, 则BE=0.4x,每块地砖的费用为y,那么 y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.
18、4-x)10 =10(x-0.2x+0.24) =10(x-0.1)2+0.23 (0x0.4) 当x=0.1时,y有最小值,即费用为最省,此时CE=CF=0.16（2008年襄樊）如图，是同一直线上的三个点，四边形与四边形都是正方形连接（1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由【解析】【标准解答】解：（1） 四边形和四边形都是正方形， ）（2）存在和绕点顺时针方向旋转后与重合7(2008年宜宾)已知:如图,菱形ABCD中, E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.(1)求证:AE
19、=AF.(2)若B=60,点E，F分别为BC和CD的中点，求证:AEF为等边三角形.【解析】【标准解答】证明：(1)四边形ABCD是菱形，AB=AD,又BE=DFAE=AF(2)连接ACAB=BC, 是等边三角形，E是BC的中点AEBC, ,同理又AE=AF是等边三角形。8(2008年黑龙江双鸭市) 已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明BBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【解析】【标准解答】解：（1）成立BMEACND如图，把绕点顺时针，得到，则可证得三点共线（图形画正确）证明过程中，证得：证得：（2）专心-专注-专业